第2部分-预习-第02讲一元二次方程的解法（配方法）（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第02讲一元二次方程的解法（配方法）（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共11页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式3-1，变式3-2，变式3-3等内容，欢迎下载使用。

知识点1：直接配平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点2：配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
知识点3：配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
考点1：用直接开平方法解一元二次方程
【例1】(1)4x2＝9； (2)(x＋3)2－2＝0.
【变式1-1】解方程(x-3)2=49．
【变式1-2】解关于的方程：．
【变式1-3】解关于的方程： ．
考点2：直接开平方法的应用
【例2】若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则eq \f(b,a)＝________.
【变式2-1】若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．
【变式2-2】某工厂今年月份产品数是万件，要求月份达到万件，求这个工厂月份和月份的月平均增长率．
【变式2-2】有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？
考点3：配方
【例3】用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1
C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
【变式3-1】．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）解一元二次方程，配方后得到，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程配方后可变形为，则k的值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
考点4：用配方法解一元二次方程
【例4】用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.
【变式4-1】用配方法解方程：．
【变式4-2】用配方法解方程：．
【变式4-3】用配方法解方程：．
考点5：配方法的应用
【例5】已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求eq \f(x－2y,x2＋y2)的值．
【变式5-1】已知，求的值．
【变式5-2】用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0.
【变式5-3】证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．
易错点1混淆方程配方与代数式配方
若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则．
易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误
如何用配方法解方程
一、单选题
1．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）用配方法解方程，配方后结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少（ ）
A．有最小值是2B．有最大值是2C．有最小值是6D．有最大值是6
3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）下面是小明用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（ ）．
第一步：把常数项移到方程的右边，得：
第二步：两边都加____________
A．B．C．D．
4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
二、填空题
5．（23-24九年级上·湖北随州·期末）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为 ．
6．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则 ．
7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知，代数式 ．
8．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则 ．
9．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ．
10．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）观察下列图形，第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈，…，第 个图形中一共有130个小圆圈……
11．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知关于的方程，方程的解是 ．
12．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式，则A的最小值为 ．
三、解答题
13．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)
14．（23-24九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，并回答问题．
小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：．
．①
．②
．③
．④
．⑤
．⑥
问题：
(1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）；
(2)发生错误的原因是： ；
(3)写出这个方程的解： ．
15．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
(1)【直接应用】代数式的最小值为______；
(2)【类比应用】若多项式，试求的最小值；
(3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．

16．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】
【尝试运用】
（1）解一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
（2）利用配方法求的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程，求的值．
17．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
二次项系数化为1，得 第一步
移项，得 第二步
配方，得，即 第三步
由此，可得 第四步
所， 第五步
任务一：填空：
①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______；
②“第二步”变形的数学依据是______；
③小明同学解题过程中，从第步______开始出现错误，请直接写出正确的结果______；
任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：．
18．（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式的最小值．
解：，
∵，∴
∴当时，的最小值是4．
(1)【类比探究】
求代数式的最小值；
(2)【举一反三】
若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；
(3)【灵活运用】
已知，则________；
(4)【拓展应用】
如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
19．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考
【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
【知识运用】
周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最值．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．
3．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
4．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．
方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x1＝eq \r(,a)，x2＝－eq \r(,a).
方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不
符合实际情况的负值舍去．
方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下
二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．
材料一：解方程：．
解：把常数项移到方程的右边，得．
两边都加，得，即．
两边开方，得，即或，
所以，．
在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．
材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题．
例如：．
∵，
∴，即有最小值1．