苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第01讲一元二次方程的定义与解法(原卷版+解析)

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1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
【基础知识】
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
【考点剖析】
一．一元二次方程的定义（共3小题）
1．（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x
C．5x2﹣4＝0D．ax2+bx+c＝0
2．（2021秋•宜兴市月考）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝ ．
3．（2021秋•玉屏县期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
二．一元二次方程的一般形式（共4小题）
4．（2021秋•南京期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
5．（2021秋•海州区校级期中）一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1、0B．1、3C．1、﹣3D．﹣1、﹣3
6．（2021秋•黄石期末）将方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化为一般形式是 ．
7．（2020秋•常州期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
三．一元二次方程的解（共5小题）
8．（2021秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣12
9．（2022•常州模拟）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）+5＝ ．
10．（2022•邗江区一模）关于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n为实数且m≠0），m恰好是该方程的根，则m+n的值为 ．
11．（2021•南海区二模）若关于x，y的二元一次方程组的解x＞0，y＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）若x是一个直角三角形的直角边长，y是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程m2﹣8m+16＝0的解，求这个直角三角形的面积．
12．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共4小题）
13．（2021秋•盐都区期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝5B．x1＝5，x2＝﹣5C．x1＝x2＝﹣5D．x1＝x2＝25
14．（2021秋•东台市期中）解方程：2x2＝6．
15．（2020秋•邗江区校级月考）求满足条件的x值：
（1）3（x﹣1）2＝12； （2）x2﹣3＝5．
16．（2018秋•鼓楼区期末）求4x2﹣25＝0中x的值．
五．解一元二次方程-配方法（共3小题）
17．（2020秋•香洲区期末）解方程：x2﹣4x+1＝0（配方法）．
18．（2022•碑林区校级三模）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）
19．（2019秋•榕城区期中）用配方法解方程：2x2﹣4x＝1．
六．解一元二次方程-公式法（共3小题）
20．（2019•合浦县二模）解方程：x2+3x﹣2＝0．
21．（2019•鼎城区模拟）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
22．（2019•常德）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
23．（2021秋•广陵区期末）解方程：
（1）x2+5x+4＝0． （2）4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．
24．（2021秋•泗阳县期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．
八．换元法解一元二次方程（共3小题）
25．（2022春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）
A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2
26．（2021秋•山亭区期末）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则a2+b2＝ ．
27．（2020春•开江县期末）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2019•怀集县一模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．
2．（2019秋•竞秀区期末）将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x+4）2＝7B．（x+4）2＝25C．（x+4）2＝﹣9D．（x+8）2＝7
3．（2021秋•顺德区月考）把一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式，则a，b，c的值分别是（ ）
A．1，﹣3，2B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，﹣3，10
4．（2019秋•苏州期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x+2＝3B．x+y＝1C．x2﹣2x﹣3＝0D．x21
5．（2021•吴中区开学）方程（x+1）2＝1的根为（ ）
A．0或﹣2B．﹣2C．0D．1或﹣1
二．填空题（共3小题）
6．（2018春•商南县期末）若（x﹣1）2＝4，则x＝ ．
7．（2018春•西城区期末）将一元二次方程x2+8x+13＝0通过配方转化成（x+n）2＝p的形式（n，p为常数），则n＝ ，p＝ ．
8．（2016•江阴市校级开学）如果（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝ ．
三．解答题（共9小题）
9．（2020秋•沭阳县期末）解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0． （2）8（x+1）3＝27．
10．（2021秋•新北区校级期中）用恰当的方法解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0； （2）x2+4x﹣1＝0；
（3）x2﹣3x﹣2＝0； （4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
11．（2021秋•南京期末）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）100（x﹣1）2＝121．
12．（2022•常州模拟）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0； （2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．
13．（2016秋•盐都区期末）
（1）解方程：（x+1）2＝9； （2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
14．（2021•吴中区开学）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0； （2）（x+1）2＝2（x+1）．
15．（2018秋•武进区校级期末）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6＝0．
16．（2018秋•京口区校级月考）（阅读理解题）阅读材料，解答问题：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，然后设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．当y1＝1时，x2﹣1＝1．所以x2＝2．所以x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4．所以x2＝5．所以x＝±，故原方程的解为x1，x2，x3，x4；上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）已知方程x2﹣2x﹣3，若设x2﹣2x＝a，那么原方程可化为 （结果化成一般式）
（2）请利用以上方法解方程：（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．
17．（2020秋•饶平县校级期中）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：
例：解方程：．
解：设（t≥0）
∴原方程化为2t﹣3＝0
∴
而
∴
∴
请利用上面的方法，解出下面两个方程：
（1）（2）