宁夏回族自治区银川市金凤区宁夏六盘山高级中学2025届模拟预测 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（ ）
A．两组数据的平均数都是6分
B．两组数据的中位数都是6分
C．两组数据的极差相等
D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
5．在长方体中，与平面所成角的大小为，与平面所成角的大小为，那么异面直线与所成角的余弦值是
A．B．C．D．
6．若，设函数的零点为，零点为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线E：的两条渐近线与抛物线C：分别相交于点O，M，N，其中O为坐标原点，若的面积为2，则E的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式的各项系数之和为4096
B．展开式中含项的系数为45
C．展开式中存在常数项
D．展开式中第6项的系数最大
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．在上单调递减
11．数列 满足 ，且 ，数列的前 项和为 ，从 的前 项中任取两项，它们之和为奇数的概率为 ，数列的前 项积为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知，则的值为 ．
13．已知等差数列的前n项和为，若，则 .
14．若曲线与曲线有公切线，则的取值范围是 .
四、解答题
15．如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．
1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．
16．在三角形中，角的对边分别为，已知.
（1）若三角形的面积为，且，求；
（2）若，且，求.
17．中药是中华民族的瑰宝，除用来治病救人外，在调理身体､预防疾病等方面也发挥着重要的作用.某研究机构为了解草药A对某疾病的预防效果，随机调查了100名人员，数据如下：
（1）依据小概率值的独立性检验，分析草药对预防该疾病是否有效；
（2）已知草药对该疾病的治疗有效的概率的数据如下：对未服用草药的患者治疗有效的概率为，对服用草药的患者治疗有效的概率为.若用频率估计概率，现从患此疾病的人中随机抽取1人使用草药进行治疗，求治疗有效的概率.
附：参考公式：，其中.
参考数据：
18．已知圆与椭圆相交于点，且椭圆的离心率为
（1）求r的值和椭圆C的方程；
（2）过M点的直线l交圆O和椭圆C分别于两点.
①若，求直线l的方程；
②设直线MA的斜率为k，直线NA的斜率为，过M点斜率为的直线交椭圆C于异于M的P点，若，则直线PB是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不存在，说明理由.
19．已知函数，其中．
(1)若是偶函数，求；
(2)当时，讨论在上的零点个数；
(3)已知，若，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，得，
所以.
故选D．
2．【答案】C
【详解】由题意得，,
则，或，
则，或，
故选C.
3．【答案】A
【详解】由题意可得，解得，所以，，
因此，.
故选A.
4．【答案】B
【详解】甲组数据的平均数分.
乙组数据的平均数分.
所以两组数据的平均数均为分，A选项正确.
将甲组数据、、、、从小到大排列为、、、、，数据个数是奇数，最中间的数是，所以甲组数据的中位数为分.
将乙组数据，，，，从小到大排列为，，，，，数据个数是奇数，最中间的数是，所以乙组数据的中位数为分.B选项错误.
甲组数据中最大值是，最小值是，则甲组数据的极差为分.
乙组数据中最大值是，最小值是，则乙组数据的极差为分.
所以两组数据的极差相等，C选项正确.
对于甲组数据，，，则.
对于乙组数据，，，则.
因为，所以甲组的方差小于乙组的方差，D选项正确.
故选B.
5．【答案】B
6．【答案】C
【详解】，，
可以看作是直线与函数和交点的横坐标，
作出图象，如图，
与互为反函数，图象关于直线对称，而直线与直线垂直，因此直线与和图象交点也关于直线对称，
所以，由图象知．
，
又，，所以，
，
所以所求范围是．
故选C．
7．【答案】D
【详解】设，，由双曲线和抛物线的对称性知，
，解得．E的渐近线方程为：，即，
∴，所以E的离心率为．
故选D.
8．【答案】D
【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，①，
所以，即②，
联立①②可解得，，
所以不等式可化为，
因为，则，故，
设，则，故，
因为，，所以，
故在上是增函数，则，
又因为在时是增函数，所以，则，
因为在恒成立，所以．
所以正实数a的取值范围是.
故选D．
9．【答案】BCD
【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，得，解得，
令，得，即展开式的各项系数之和为1024，故A错误；
由通项，令，解得，
所以展开式中含项的系数为，故B正确；
若展开式中存在常数项，令，解得，故C正确；
由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的系数最大，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】BCD
【详解】A选项，由于，所以的值可以为负数，A选项错误.
B选项，
，
所以为奇函数，B选项正确.
C选项，
，
所以的图象关于直线对称，C选项正确.
D选项，，所以在区间上递增，
令，，
令，，
其中，
所以，
所以在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知在上单调递减，D选项正确.
故选BCD
11．【答案】AD
【详解】对于A ，当时，，即 ，
又因为
的偶数项所成的数列是以首项为4，公差为2的等差数列，
，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由选项A得的奇数项所成的数列是以首项为，公差为的等差数列，
偶数项所成的数列是以首项为4，公差为2的等差数列，
，故C错误；
当时，
，
又 ,
所以 ，故D正确.
故选AD．
12．【答案】
【详解】因为，
则．
13．【答案】1
【详解】由有，而
∴结合等差数列的前n项和公式及通项公式
即可得
14．【答案】
【详解】设是曲线上一点，由，因此过点的切线的斜率为，所以切线方程为：，而，即，
设是曲线上一点，
由，所以过点的切线的斜率为，所以切线方程为：，而，
即，当这两条切线重合时，就是两个曲线的公切线，因此有：
，因为，所以
设函数，，
因为，所以，所以函数是减函数，
，当时，，因此，
所以.
15．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得，，平面
又平面BDE，，
又，，平面
2在图2中，，，，即面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，
由题意得，，由勾股定理可得，则，，
过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
．
设平面ACD的一个法向量为，
由得,取得，
设，则m，，，得
设CP与平面ACD所成的角为，
．
所以
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，，由正弦定理得
即
因为所以，即
又，即，
又，所以
则
（2）因为，设，则
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得
所以，则.
17．【答案】（1）有效
（2）
【详解】（1）解：由列联表中数据得：，
根据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立，
即认为草药对预防该疾病有效；
（2）设事件M表示“草药B的治疗有效”，事件表示“患者未服用草药A”，事件表示“患者已服用草药A”，
则，
，
所以由全概率公式得：，
.
18．【答案】（1）
（2）①，②过定点，
【详解】（1）由圆，与椭圆相交于点，
所以，又离心率为且，所以，
所以椭圆，
（2）①因为过点的直线交圆和椭圆分别于两点，
所以直线的斜率存在，则可设直线的方程为，
由，得，则可得，
同理，由，解得，
又点，则，，
因为，则，
因为，所以，即直线的方程为
②过定点，证明如下
根据题意可知，则，又由可得，
由①知，同理得，
由题意，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，且是方程的两个根，
即是的两个根，所以，
则设直线的方程为，
所以，直线过定点
19．【答案】(1)；
(2)函数在有两个零点；
(3).
【详解】（1）因为函数是偶函数，所以.
即，，
所以，
所以，所以，又，所以.
（2）当时，，，可得，
令，则.
当时，，所以，
当时，，所以在单调递增，
又，，
所以存在，使得，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而，，，所以在上存在一个零点.
综上，函数在有两个零点.
（3）当时，
若时，，所以，
若时，
因为，可得，则成立；
只需考虑，此时令，
则，在单调递增，
又，，
所以存在，使得，
可得，
若，则，在单调递减；
若，则，在上单调递增.
所以，解得.
此时，所以，从而.
所以的取值范围为．
未患病
患病
合计
服用草药
48
12
60
未服用草药
22
18
40
合计
70
30
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828