宁夏银川市六盘山高级中学2025年高考数学二模试卷（含解析）

这是一份宁夏银川市六盘山高级中学2025年高考数学二模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3}，B={3,4}，则集合{4}=( )
A. ∁U(A∪B)B. (∁UA)∪(∁UB)C. (∁UA)∩BD. (∁UB)∩A
2.若复数z满足1+iz=i，则z的虚部为( )
A. −1B. 1C. −iD. i
3.已知向量AB=(5,1)，BC=(m,9)，CD=(8,5).若A，C，D三点共线，则m=( )
A. 54B. −11C. 11D. −54
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4=6，则S5的值为( )
A. 15B. 14C. 13D. 12
5.已知sin(α+β)=35，tanα=2tanβ，则sin(α−β)=( )
A. 113B. 15C. 33D. 34
6.若命题：“∀a，b∈R，都有a−csb>b−csa”为真命题，则a，b的大小关系为( )
A. abC. a≤bD. a≥b
7.将1，2，3，⋯，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为( )
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
8.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=−35，AB⊥BD，则E的离心率为( )
A. 52B. 173C. 102D. 5
二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10，则( )
A. 两组数据的平均数相等
B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差
C. 第一组数据的上四分位数(第75百分位数)是8
D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数
10.已知圆C：(x+2)2+y2=4，直线l：(m+1)x+2y−1+m=0(m∈R)，则( )
A. 直线l与圆C可能相切
B. 当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C. 直线l与直线2x−(m+1)y=0垂直
D. 若圆C与圆x2+y2−2x+8y+a=0恰有三条公切线，则a=8
11.四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥面ABCD，PA=2，AB=1，动点M在线段PC上，则( )
A. 四棱锥P−ABCD的外接球表面积为6π
B. MB+MD的最小值为 303
C. 不存在点M，使得AC⊥BM
D. 点M到直线AB的距离的最小值为2 55
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若定义在R上的函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，且f(0)=3，则f(2)= ______．
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n，则数列{4an⋅an+1}的前n项和Tn= ______．
14.已知定义域均为D的函数f(x)，g(x)，若∀x∈D，f(x)≥ax+b≥g(x)，则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的隔离直线.若f(x)=x2+x−xlnx−3(x≥1)，g(x)=−x2+4x−4(x≥1)，则曲线y=f(x)和y=g(x)的隔离直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(2,y0)在抛物线上，且|PF|=4．
(1)求抛物线C的方程．
(2)已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为8 2，求直线AB的方程．
16.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,bcsC− 33csinB=a．
(1)求B；
(2)已知b=6，BD为∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD= 3,M为线段AC上一点，且AM=12MC，求△BDM的周长．
17.(本小题12分)
如图①所示，四边形ABCQ是直角梯形，AQ//BC，AQ⊥AB，且AQ=2BC=2AB=4，D为线段AQ的中点.现沿着CD将△QCD折起，使Q点到达P点，如图②所示，连接PA，PB，其中M为线段PA的中点．
(1)求证：DM⊥PB；
(2)若二面角A−CD−P的大小为60°，则在线段PC上是否存在一点N，使得直线PB与平面BDN所成角的正弦值为14？若存在，求CNCP的值；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，求点A到平面BDN的距离．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−mx2+(2−m)x．
(1)若m=1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的极值点在区间(2,3)内，求m的取值范围；
(3)若f(x)有两个零点，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
n(n∈N∗,n≥3)个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的n−1个人中的任何一个.第一次传球由甲手中传出，第k(k∈N∗)次传球后，球在甲手中的概率记为An(k)，球在乙手中的概率记为Bn(k)．
(1)求A5(2)，B5(2)，A5(3)，B5(3)；
(2)求An(k)；
(3)比较Bn(k+1)与n−2n−1An(k)的大小，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对于A，A∪B={1,2,3,4}，则∁U(A∪B)={5}，故选项A错误；
对于B，∁UA={4,5}，∁UB={1,2,5}，所以(∁UA)∪(∁UB)={1,2,4,5}，故选项B错误；
对于C，∁UA={4,5}，所以(∁UA)∩B={4}，故选项C正确；
对于D，∁UB={1,2,5}，所以(∁UB)∩A={1,2}，故选项D错误．
故选：C．
利用集合交集、补集以及并集的定义对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集、补集以及并集的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由1+iz=i，
得z=−1+ii=(−1+i)(−i)−i2=1+i，
可得复数z的虚部为1．
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为向量AB=(5,1)，BC=(m,9)，
所以AC=AB+BC=(m+5,10)，
因为A、C、D三点共线，则AC/​/CD，
CD=(8,5)，
所以5(m+5)=8×10，解得m=11．
故选：C．
求出向量AC，由题意可得AC/​/CD，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于m的等式，解之即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由等差数列的性质可得：2a3=a2+a4=6，解得a3=3，
而S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=15
故选：A．
由等差数列的性质可得：a3=3，而由求和公式可得S5=5a3，代入可得答案．
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为知sin(α+β)=35，tanα=2tanβ，
由tanα=2tanβ，可得sinαcsβ=2csαsinβ，
又因为sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=35，
所以sinαcsβ=25,csαsinβ=15，
所以sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ=15．
故选：B．
先根据tanα=2tanβ，得出sinαcsβ=2csαsinβ，再结合两角和差的正弦公式分析求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵命题：“∀a，b∈R，都有a−csb>b−csa”为真命题，
∴命题：“∀a，b∈R，都有a+csa>b+csb”为真命题．
令f(x)=x+csx，x∈R．
则f′(x)=1−sinx≥0，
∴f(x)为增函数．
又∵a+csa>b+csb，
∴a>b．
故选：B．
根据题目条件可得出：命题：“∀a，b∈R，都有a+csa>b+csb”为真命题；再构造函数f(x)=x+csx，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，全称量词命题真假的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，
则数字9在左上角，数字1在右下角，如图，
易得2和3必须排在d或f的两个位置，有A22种方法，
从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在a，b位置，有C42种方法，
最后两个数字从上到下由大到小排在c，e位置，有1种方法，
所以填写方格表的方法共有A22C42×1=12种．
故选：A．
确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可．
本题考查排列组合的应用，注意分析1和9的位置，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设|AF2|=m，|BF2|=n，
由双曲线的定义可得|AF1|=2a+m，|BF1|=2a+n，
由cs∠BAC=−35，可得cs∠F1AF2=35，
在直角三角形AF1B中，sin∠F1AF2=2a+n2a+m=45①，
(2a+n)2+(m+n)2=(2a+m)2②，
在△AF1F2中，可得4c2=m2+(2a+m)2−2m(2a+m)⋅35③，
由①②可得n=2a3，m=4a3，
代入③可得4c2=16a29+100a29−8a3×10a3×35，
即为9c2=17a2，
则e=ca= 173，
故选：B．
设|AF2|=m，|BF2|=n，由双曲线的定义可得|AF1|，|BF1|，在直角三角形AF1B中，在△AF1F2中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
9.【答案】AD
【解析】解：根据题意可得第二组数从小到大排序为5，5，8，9，9，10，10，中位数为9>8，
平均数17(10+5+5+8+9+9+10)=8，方差17[(10−8)2+⋯+(10−8)2]=4>87，
根据题意可得第一组数从小到大排序为7，7，7，8，8，9，10，中位数为8，
平均数17(10+7+7+8+8+9+7)=8，方差17[(10−8)2+⋯+(7−8)2]=87，
因为7×75%=5.25，所以第一组的第75百分位数为9，
综上可得，A，D正确．
故选：AD．
根据题意，由平均数，方差，极差以及中位数的定义，代入计算，即可判断．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：A项，整理直线l：(m+1)x+2y−1+m=0(m∈R)，
可得出m(x+1)+x+2y−1=0，
解方程组x+1=0x+2y−1=0可得x=−1y=1，直线l过定点A(−1,1)，
圆C：(x+2)2+y2=4的圆心为C(−2,0)，半径为r=2，
则|AC|= (−2+1)2+(0−1)2= 20，则y1+y2=8m，则x1+x2=m(y1+y2)+4=8m2+4，
所以|AB|=x1+x2+4=8m2+8．
原点O到直线x−my−2=0的距离为2 1+m2，
所以S△AOB=12×(8m2+8)×2 1+m2=8 1+m2=8 2，
解得m=±1，
所以直线AB的方程为x=y+2或x=−y+2，即y=x−2或y=−x+2．
(1)根据抛物线定义列式求出p，得解；
(2)设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线联立方程组，得y1+y2=8m，求得x1+x2=8m2+4，根据三角形AOB的面积列方程，求得m，也即求得直线AB的方程．
本题考查直线与抛物线的综合，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵bcsC− 33csinB=a，根据正弦定理得sinBcsC− 33sinCsinB=sinA，
∴sinBcsC− 33sinCsinB=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
∴−1 3sinCsinB=csBsinC，
∵sinC≠0，∴−1 3sinB=csB，∴tanB=− 3，
又∵B∈(0,π)，∴B=2π3．
(2)∵BD为∠ABC的平分线，B=2π3，∴∠ABD=∠CBD=π3，
又S△ABC=S△ABD+S△CAD，BD= 3，
∴12acsin23π=12c⋅ 3sinπ3+12a⋅ 3sinπ3，
化简得ac= 3(a+c)，①
根据余弦定理，得b2=a2+c2−2accs2π3，即(a+c)2−ac=36，②
由①②可得a+c=4 3(舍去负值)，ac=12，
∴a，c是关于x的方程x2−4 3x+12=0的两个实根，解得a=c=2 3．
又BD为∠ABC的平分线，∴BD⊥AC，
又AM=12MC，AC=6，
∴DM=AD−AM=3−2=1，BM= BD2+DM2=2，
∴△BDM的周长为3+ 3．

【解析】(1)利用正弦定理边化角，结合和差公式展开化简可得；
(2)利用面积公式和余弦定理列方程组求解出a，c，可知△ABC为等腰三角形，然后结合已知即可得解．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
17.【答案】证明见解析；
存在，23；
2．
【解析】(1)证明：在图①中，由题意可知四边形ABCD为正方形，且CD=DQ=AD=2，
则在②中，有CD⊥PD，CD⊥AD，且PD∩AD=D，则CD⊥平面PAD，
又AB/​/CD，∴AB⊥平面PAD，而DM⊂平面PAD，则AB⊥DM．
又PD=AD，且M为PA的中点，∴DM⊥PA，
∵AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，
∴DM⊥平面PAB，而PB⊂平面PAB，可得DM⊥PB；
(2)解：由(1)知：CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，
由已知可得∠ADP为二面角A−CD−P的平面角，则∠ADP=60°，
可得△PAD是等边三角形，则PA=AD=PD=2．
取AD的中点为O，连接PO，则PO⊥AD，
又平面ABCD∩平面PAD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，且PO= 3，
以O为坐标原点，分别以OA、OP所在直线为x、z轴，
在平面ABCD中，过O作AD的垂线为y轴建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，P(0,0, 3)、D(−1,0,0)、B(1,2,0)、C(−1,2,0)，
则DB=(2,2,0)、DC=(0,2,0)、CP=(1,−2, 3)、BP=(−1,−2, 3)，
设CN=λCP=(λ,−2λ, 3λ)，(0≤λ≤1)，
则DN=DC+CN=(λ,2−2λ, 3λ)，
设平面BDN的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅DN=λx+(2−2λ)y+ 3λz=0m⋅DB=2x+2y=0，取y= 3λ，得m=(− 3λ, 3λ,3λ−2)，
记直线PB与平面BDN所成角为θ，
则sinθ=|cs〈BP,m〉|=| 3λ−2 3λ+3 3λ−2 32 2× 3λ2+3λ2+(3λ−2)2|=| 3(λ−1) 2× 15λ2−12λ+4|=14，
即3(λ−1)22(15λ2−12λ+4)=116，解得λ=23，
因此CN=23CP，则CNCP=23；
(3)解：由(2)知：m=(−2 33,2 33,0)，
则平面BDN的一个法向量可以为n=(−1,1,0)，且BA=(0,−2,0)，
则点A到平面BDN的距离为d=|BA⋅n||n|=|−2| 1+1+0= 2．
(1)要证DM⊥PB，只需证DM与PB所在的平面垂直，证明AB⊥平面PAD，可得DM⊥平面PAB，即可证明DM⊥AB；
(2)先由二面角的大小，求得OP的长度，再根据第一问所得的结论建系，设点，利用空间向量表示线面角的正弦值，解方程求出CNCP的比值；
(3)利用投影的向量求法求出点到面的距离．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)；
(13,12)；
(0,1)．
【解析】解：(1)当m=1时，f(x)=−x2+x+lnx，f(x)的定义域为(0,+∞)．
则f′(x)=−2x+1+1x=−2x2+x+1x=−(2x+1)(x−1)x，
令f′(x)>0，可得00，
∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又∵g(1)=0，
∴1m>1，解得00，利用导函数判断g(x)在(0,+∞)上单调递增，借助g(1)=0可得出1m>1求解即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数零点个数问题，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】A5(2)=14，B5 =0，A5(3)=34×14=316，B5(3)=14+34×14=716；
1n[1−(−1n−1)k−1]；
Bn(k+1)≥n−2n−1An(k)．
【解析】解：(1)由题意知，
所以A5(2)=14.B5(2)=0，A5(3)=34×14=316，B5(3)=14+34×14=716．
(2)由题意知，An(k+1)=1n−1[1−An(k)],An(1)=0．
所以An(k+1)−1n=−1n−1[An(k)−1n]，An(1)−1n=−1n≠0，
所以An(k)−1n=−1n(−1n−1)k−1，则An(k)=1n[1−(−1n−1)k−1]；
(3)由题意知Bn(k+1)=An(k)+1n−1[1−An(k)−Bn(k)]，
则Bn(k+1)=n−2n−1An(k)+1n−1−1n−1Bn(k)，
所以Bn(k+1)−n−2n−1An(k)=1n−1[1−Bn(k)]≥0(当k=1时取等号)，
所以Bn(k+1)≥n−2n−1An(k)．
(1)列出5人传球三次的树状图，根据概率乘法公式和加法公式得解；
(2)由题意知，An(k+1)=1n−1[1−An(k)]，An(1)=0，根据数列的构造法求通项公式；
(3)由题意知Bn(k+1)=An(k)+1n−1[1−An(k)−Bn(k)]，作差法比大小．
本题考查数列的应用，涉及数列的递推与计算，属于难题．