宁夏六盘山高级中学2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．设随机变量的方差，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ）

A．120B．180C．221D．300
3．在的展开式中，的系数是（ ）
A．B．C．20D．40
4．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在区间上单调，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（ ）
A．60B．90C．150D．240
7．若，，，则以下不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知在 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ）
A．n=6B．展开式中含的项的系数是
C．展开式的各二项式系数和为64D．展开式的各项系数和为729
10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
B．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
C．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
D．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
11．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
12．已知，则 ．
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）
14．已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ．
四、解答题
15．（1）计算：；
（2）解不等式：，
16．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：当时，.
17．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景.为提高的应用能力，某公司组织，两部门的名员工参加培训.
（1）此次培训的员工中共有名部门领导参加，恰有人来自部门.从这名部门领导中随机选取人，记表示选取的人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格.求每位员工经过培训合格的概率；
18．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中.A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答.
（1）若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；
（2）若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目.
①求乙从A箱中抽出2道代数题的概率；
②求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率.
19．已知函数，．
（1）求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选C.
2．【答案】B
【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法，
Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法；
Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有种涂色方法，
Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法，
综上共有种不同的着色方法.
故选B.
3．【答案】D
【详解】，
的通项为，
所以的系数是.
故选D．
4．【答案】D
【详解】由，，可知，，
又，所以，
所以.
故选D
5．【答案】B
【详解】，因为函数在区间上单调，
所以或，当恒成立，
即或，得或，因为，
所以.
故选B
6．【答案】C
【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列，
5人分为：1,1,3，则有种；
5人分为：1,2,2，则有种，
所以一共有种方法.
故选C.
7．【答案】D
【详解】因为，
令，定义域为，则，
当时，，当 时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，
又，所以，
所以，即.
故选D.
8．【答案】B
【详解】由，且是正整数，
将问题转化成不等式的正整数解的组数.
求方程的正整数解，
可先将看作个“”，将这个“”排成一排，在其中间形成的个空位中选择个空位放入隔板，则隔板隔开形成组“”，每组“”的和分别对应的值，
因此，方程的正整数解的组数为，
方程的正整数解的组数为，
方程的正整数解的组数为，
，
方程的正整数解的组数为，
所以原不等式的非负整数解的组数为
.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式共有7项，则，故A正确；
展开式的通项为，
令，则展开式中含的项的系数是，故B错误；
展开式的各二项式系数和为，故C正确；
令，则展开式的各项系数和为，故D错误；
故选AC
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故A正确；
对于B，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故B错误；
对于C，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故C正确.
对于D，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故D正确；
故选ACD
11．【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
当时，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理，可知在上有且仅有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，由于，故当，单调递减，
当时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
等式左右两边的系数不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是，
即解得，即存在，使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为点，
由题意可知点也是对称中心，故，
即存在，使得是的对称中心，D选项正确.
故选AD.
12．【答案】3
【详解】因为，则或，解得或，
且，所以.
13．【答案】80
【详解】可看作5个相乘，有2个括号提供，还有3个括号都是，
则，系数为80.
14．【答案】
【详解】设曲线与的切点分别为，，
∵，，∴，，
∴，，
∴，，即，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，即，即，即．
15．【答案】（1）；
（2）
【详解】（1）；
（2）由，可得，
由题意可得，所以，即，
所以，解得，
又，解得，所以，又，
所以原不等式的解集为.
16．【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【详解】（1）由已知函数的定义域为，，
函数的导函数为，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
（2）设， ，又，
则，，
所以，
所以当时，，函数在上单调递增，
所以当时，，
所以当时，.
17．【答案】（1）分布列见解析，期望为
（2）.
【详解】（1）的所有可能取值为，，，且服从超几何分布.
，
的分布列为
的数学期望.
（2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
，
即每位员工经过培训合格的概率为.
18．【答案】（1）
（2）①； ②
【详解】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，则.
在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以.
故.
（2）①设事件为“乙从A箱中取出2道代数题”，
设.
乙从A箱中抽出2道代数题的概率为.
②设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”，
事件为“乙从A箱中取出2道代数题”，
事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”，
事件为“乙从A箱中取出2道几何题”，
则.
当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，；
当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，；
当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，.
由全概率公式可得.
19．【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）答案见解析
（3）
【详解】（1）函数，定义域为，，
时，，时，，
有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（3）当时，，
不等式，
令函数，依题意，，恒成立，
求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，
则存在，使，即，
此时，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，由，得，
则，，
所以的取值范围是.