（寒假）沪教版数学九年级重难点讲练测第05讲 正多边形与圆（2份，原卷版+解析版）

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考点一：正多边形的中心角
考点二：正多边形和圆
考点三：弧长与扇形面积
【基础知识】
一、正多边形的相关概念
1.正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形
2.正n边形的对称性
正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n．
当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点．
3.正多边形的外接圆和内切圆
任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．
正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．
正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
每一个中心角==它的每一个外角
4.正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边是圆的外切正多边形.
5.正多边形的画法
（1）用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
（2）用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
二、正多边形的相关计算
设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积.
【考点剖析】
考点一：正多边形的中心角
一、单选题
1．（2022·上海·校联考模拟预测）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2022秋·上海·九年级上海市西南模范中学校考阶段练习）正十边形的中心角等于______度．
3．（2022秋·上海金山·九年级校考阶段练习）正五边形的中心角的度数是_____．
4．（2022·上海浦东新·统考二模）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n=___．
5．（2022·上海·统考模拟预测）一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的中心角为____
6．（2022·上海·九年级专题练习）如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个多边形的对角线条数是_____．
7．（2022·上海松江·统考二模）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是_______．
考点二：正多边形和圆
一、单选题
1．（2022·上海杨浦·统考二模）下列命题中，正确的是（ ）
A．正多边形都是中心对称图形B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等D．各边相等的圆外切多边形是正多边形
2．（2022·上海黄浦·统考二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形
B．正六边形的每一个外角都等于中心角
C．正六边形每条对角线都相等
D．正六边形的边心距等于边长的一半
3．（2022·上海黄浦·格致中学校考二模）如果一个正九边形的边长为，那么这个正九边形的半径是（）
A．B．C．D．
4．（2022秋·上海普陀·九年级统考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（ ）
A．2，B．2 ，πC．，D．2，
二、填空题
5．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）半径为1的圆的内接正三角形的边长为________．
6．（2022·上海闵行·统考二模）如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.
7．（2022秋·上海·九年级上海市娄山中学校考期中）已知正六边形的边长为，那么它的边心距等于__________．
8．（2022·上海金山·统考二模）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=_______．
9．（2022秋·上海徐汇·九年级统考阶段练习）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为________cm．
10．（2022·上海青浦·统考二模）已知正多边形每个内角的度数为，则正多边形的边长与半径的比值为________．
11．（2022秋·上海虹口·九年级统考期中）半径为4的圆的内接正三角形的边长为______．
12．（2022·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）若正四边形的半径是1，则它的边长是________．
13．（2022·上海·九年级专题练习）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是_______________．
14．（2022·上海·九年级专题练习）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．
15．（2022·上海·九年级专题练习）已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于_____．
16．（2022·上海·九年级专题练习）如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为正多边形的中心，若，则从该正多边形的一个顶点出发共有______条对角线．
17．（2022·上海·九年级专题练习）如图，正六边形的边长为2，则的周长为__．
18．（2022·上海·九年级专题练习）正六边形的边长、半径、边心距之比为_________________．
19．（2022·上海·九年级专题练习）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．
20．（2022秋·上海闵行·九年级校考期中）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____．
考点三：弧长与扇形面积
一、单选题
1．（2022·上海静安·统考二模）如图，中，，，点是重心，将绕着点按顺时针方向旋转，使点A落在BC延长线上的处，此时点B落在点，点G落在点.联结CG、、、.在旋转过程中，下列说法：①；②与相似；③；④点所经过的路程长是.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
2．（2022秋·上海·九年级阶段练习）如图，扇形的弧与相切于点P，若，，，则图中阴影面积是______．（结果保留）
3．（2022·上海松江·校考三模）如图，在中，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为___________．
4．（2022春·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，中，，将绕顶点C按顺时针方向旋转方向至的位置，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留）
5．（2022·上海杨浦·统考二模）新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于_________．
6．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧的长为______．（结算结果保留）
7．（2022秋·上海·九年级校考期中）若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm2．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020·上海·二模）若一个正n边形(n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·上海浦东新·二模）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·上海崇明·一模）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．3B．4C．5D．无法确定
4．（2019·上海上海·九年级期中）正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A．1：B．：1C．：2D．2：
5．（2020·上海杨浦·二模）如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2020·上海嘉定·二模）半径长为2的半圆的弧长为____(计算结果保留π)．
7．（2020·上海大学附属学校三模）正五边形绕着它的中心至少旋转_______度，能与它本身重合．
8．（2021·上海闵行·一模）正六边形的边心距与半径的比值为__________（结果保留根号）．
9．（2020·上海奉贤·一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径的长为1，如果用它的面积来近似估计的面积，那么的面积约是___．
10．（2021·上海·二模）如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____．
11．（2018·上海·九年级期末）正八边形的中心角为______度．
12．（2018·上海崇明·二模）如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____．
13．（2020·上海长宁·二模）已知正三角形的边心距为，那么它的边长为________．
14．（2021·上海松江·二模）已知正三角形ABC外接圆的半径为2，那么正三角形ABC的面积为______________．
15．（2021·上海金山·二模）已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于_____．
16．（上海金山·九年级期末）正六边形的边长为，面积为，那么关于的函数关系式是____．
17．（2019·上海·九年级期末）如果一个正六边形的半径为，那么这个正六边形的周长为______.
18．（2021·上海浦东新·模拟预测）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．
19．（2020·上海嘉定·二模）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量，，那么向量用向量，表示为____．
三、解答题
20．（2021·上海·九年级专题练习）如图，是的内接正五边形．求证：.
21．（2020·上海闵行·二模）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．
（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．