第2部分-预习-第18讲 正多边形和圆（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第18讲 正多边形和圆（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共13页。学案主要包含了八边形等内容，欢迎下载使用。

知识点1.正多边形及有关概念（重点）
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点归纳：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
知识点2.正多边形的有关计算（重点）
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点3.正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
考点1.求正多边形的中心角
【例1】已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．
【变式1-1】如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（ ）
A．72°B．60°C．48°D．36°
【变式1-2】（2024•河北三模）如图，正五边形内接于，连接，，则
A．B．C．D．
【变式1-3】（2024•威县校级三模）如图，，分别是的内接正五边形的边，上的点，，则
A．B．C．D．
【变式1-4】（2024•聊城模拟）如图，在中，点为上的点，．若，且是的内接正边形的一边，则的值为
A．8B．9C．10D．12
考点2.正多边形的有关计算
【例2】已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S.
【变式2-1】（2023秋•东阳市期末）如图，在正六边形中，，点在边上，且．若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 ．
【变式2-2】如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为 ．
【变式2-3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是BC的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
考点3.圆的内接正多边形的探究题
【例3】 如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)
【变式3-1】（2023•山西模拟）如图，正方形内接于，连接，点是的中点，过点作的切线与的延长线相交于点．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）求的度数．
【变式3-2】（2022秋•尧都区期末）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，等边三角形中，在、边上分别取点、，使，连接、，发现，且，试说明：．
（2）如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么 度，并说明理由．
（3）如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么 ，且 度．（正边形内角和，正多边形各内角相等）
【变式3-3】．（2023秋•张店区校级月考）如图，正六边形中，点在边上，，与六边形外角的平分线交于点．
（1）当点不与点、重合时，求证：．
（2）当点在正六边形一边上运动（点不与点重合）时，猜想与的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
考点4.作圆的内接正多边形
【例4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
【变式4-1】如图，点是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）画出的内接正．
（2）在上画出、两点，使得．（画一种即可）
【变式4-2】（2022秋•江门期末）如图，在等边三角形中．
（1）请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）；
（2）若，求的半径．
【变式4-3】（2023秋•兴国县期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径．
2．以为圆心，为半径作圆弧，与交于点，．
3．连接，，．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点开始，以长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值．
一．选择题（共8小题）
1．（2024•南关区一模）如图，在正六边形中，的面积为4，则的面积为
A．16．B．12C．8D．6
2．（2024春•海淀区校级期末）如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为
A．16B．12C．8D．6
3．（2024•安庆二模）将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点，分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为
A．8B．C．D．4
4．（2024•蜀山区二模）苯（分子式为的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图，图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为
A．B．C．D．
5．（2024•榕江县校级二模）如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是
A．B．C．D．
6．（2024春•阳新县校级月考）在正五边形中，连接对角线、、，其中、相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是
A．B．C．D．
7．（2024•河北二模）如图，正五边形中，，连接，点在线段上，连接，，将五边形分成面积为，，，，的五部分，则下列式子不能确定大小的是
A．B．C．D．
8．（2024•石家庄模拟）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接、、，则的度数是
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题）
9．（2024•头屯河区二模）正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于 度．
10．（2024•仓山区校级模拟）正多边形的一个内角等于，则该正多边形的边数为 ．
11．（2024•榆阳区校级模拟）如图，点是正八边形的中心，连接、，则 ．
12．（2023秋•钢城区期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 ．
13．（2024•越秀区校级模拟）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ．
14．（2024•雨花台区模拟）如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为 ．
三．解答题（共3小题）
15．（2023秋•同心县期末）如图，四边形内接于，，求的度数．
16．（2023秋•林芝市期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长．
17．（2024•义乌市模拟）在直角坐标系中，正方形的两边、分别在轴、轴上，点的坐标为、．
（1）将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标；
（2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点、、．求证：平分．
（3）若、，为延长线上一动点，过、、三点作，交于．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.初步认识正多边形与圆的关系。
2.理解正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，会进行正多边形的有关计算。
3.掌握等分圆周画圆内接正多边形的方法。