人教A版 (2019)必修 第二册事件的相互独立性达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册事件的相互独立性达标测试，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列事件中，A，B 是相互独立事件的是 ( )
A. 一枚硬币掷两次，A 表示 “第一次为正面”，B 表示 “第二次为反面”
B. 袋中有 2 白，2 黑的小球，不放回地摸两球，A 表示 “第一次摸到白球”，B 表示 “第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，A 表示 “出现点数为奇数”，B 表示 “出现点数为偶数”
D. A 表示 “人能活到 20 岁”，B 表示 “人能活到 50 岁”
2.已知 A，B 是相互独立事件，且P(A)=12，P(B)=23，则P(AB)=( )
A. 16 B. 13 C. 12 D. 56
3.甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是 ( )
A. 甲获胜的概率是16
B. 甲不输的概率是12
C. 乙输了的概率是23
D. 乙不输的概率是12
4.某射手每次射击击中目标的概率都是0.8，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为 ( )
A. 0.384 B. 0.64 C. 0.32 D. 0.128
5.从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋中各摸出1个球，则23表示 ( )
A. 2个球不都是红球的概率
B. 2个球都是红球的概率
C. 至少有1个红球的概率
D. 2个球中恰有1个红球的概率
6.甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是 ( )
A. 25 B. 715 C. 1130 D. 16
二、多选题
7.下列关于相互独立事件的说法正确的是 ( )
A. 若 A，B 是相互独立事件，则P(B|A)=P(B)
B. 若事件 A，B，C 两两独立，则 A，B，C 相互独立
C. 若 A，B 是相互独立事件，则 A 与B，A与 B，A与B也相互独立
D. 若 A，B 是相互独立事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.5，则P(A∪B)=0.8
8.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是 ( )
A. 13 B. 23 C. 12 D. 56
9.已知甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 ( )
A. P(B)=25
B. P(B|A1)=511
C. 事件 B 与事件A1相互独立
D. A1，A2，A3是两两互斥的事件
三、填空题
10.已知A，B是相互独立事件，且P(A)=14，P(B)=23，则P(AB)= .
11.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的期望为______分钟.
12.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是______.
四、解答题
13.电路中有 3 个开关 A、B 和 C。开关 A 和 B 串联后，再与开关 C 并联。每个开关独立工作，且闭合的概率都是12，求灯亮的概率.
14.某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖.
(1) 求中三等奖的概率；
(2) 求中奖的概率.
15.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判。设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判.
(1) 求第4局甲当裁判的概率；
(2) 求前4局中乙恰好当1次裁判的概率.
答案
一、单选题
1.答案：A
解析：对于 A，第一次掷硬币的结果不影响第二次掷硬币的结果，所以事件 A 与 B 相互独立；对于 B，不放回摸球，第一次摸到白球后，袋中球的情况改变，会影响第二次摸到白球的概率，所以 A 与 B 不相互独立；对于 C，A 与 B 是互斥事件，不是相互独立事件；对于 D，人能活到 50 岁是以能活到 20 岁为前提，所以 A 与 B 不相互独立。
2.答案：B
解析：因为 A，B 是相互独立事件，根据相互独立事件概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B)=12×23=13。
3.答案：A
解析：“甲获胜” 是 “和棋或乙胜” 的对立事件，所以甲获胜的概率为1−12−13=16；甲不输的概率为甲获胜或和棋的概率，即16+12=23；乙输了即甲获胜，概率为16；乙不输的概率为和棋或乙胜的概率，即12+13=56。
4.答案：A
解析：根据独立重复试验的概率公式，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X ，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k。所以3次射击中恰有2次击中目标的概率为C32×0.82×(1−0.8)3−2=3×0.64×0.2=0.384。
5.答案：C
解析：“至少有1个红球” 的对立事件是 “2个球都不是红球”，2个球都不是红球的概率为(1−13)×(1−12)=23×12=13，所以至少有1个红球的概率为1−13=23。
6.答案：B
解析：三人中恰有两人合格分三种情况：甲、乙合格，丙不合格，概率为23×34×(1−25)=23×34×35=310；甲、丙合格，乙不合格，概率为23×(1−34)×25=23×14×25=115；乙、丙合格，甲不合格，概率为(1−23)×34×25=13×34×25=110。所以三人中恰有两人合格的概率为310+115+110=9+2+330=715。
二、多选题
7.答案：ACD
解析：若 A，B 是相互独立事件，则P(B|A)=P(AB)P(A)=P(A)P(B)P(A)=P(B)，A 正确；事件 A，B，C 两两独立，不一定 A，B，C 相互独立，因为还需要满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) ，B 错误；若 A，B 是相互独立事件，则 A 与B，A与 B，A与B也相互独立，C 正确；若 A，B 是相互独立事件，P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)=0.6+0.5−0.6×0.5=0.8，D 正确。
8.答案：AC
解析：“有且只有一人能通过” 包含 “甲通过，乙不通过” 和 “甲不通过，乙通过” 两种情况。“甲通过，乙不通过” 的概率为12×(1−13)=12×23=13；“甲不通过，乙通过” 的概率为(1−12)×13=12×13=16。所以有且只有一人能通过的概率为13+16=12。
9.答案：BD
解析：P(A1)=510=12，P(A2)=210=15，P(A3)=310；P(B|A1)=511，B 正确；P(B|A2)=411，P(B|A3)=411。由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922≠25，A 错误；因为P(B|A1)≠P(B)，所以事件 B 与事件A1不相互独立，C 错误；A1，A2，A3不可能同时发生，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，D 正确。
三、填空题
10.答案：12
解析：因为A，B相互独立，所以A与B也相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=(1−14)×23=34×23=12。
11.答案：83
解析：设该学生在上学路上遇到红灯的次数为X，X∼B(4,13)，根据二项分布的期望公式E(X)=np（其中n是试验次数，p是一次试验中某事件发生的概率），可得E(X)=4×13=43。因为停留总时间ξ=2X，根据期望的性质E(aX)=aE(X)（a为常数），所以E(ξ)=2E(X)=2×43=83。
12.答案：0.24；0.96
解析：三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5=0.24；“三人中至少有一人达标” 的对立事件是 “三人都不达标”，三人都不达标概率为(1−0.8)×(1−0.6)×(1−0.5)=0.2×0.4×0.5=0.04，所以三人中至少有一人达标的概率为1−0.04=0.96。
四、解答题
13.解：灯亮的条件取决于电路的逻辑结构：
开关 A 和 B 串联，因此 A 和 B 串联部分闭合当且仅当 A 和 B 同时闭合。
该串联部分再与开关 C 并联，因此灯亮当且仅当 C 闭合或（A 和 B 同时闭合）。
设事件：
C: 开关 C 闭合，P(C)=12。
D: 开关 A 和 B 同时闭合（即串联部分闭合），P(D)=P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=12×12=14（因为开关独立）。
灯亮对应事件 C∪D（即 C 闭合或 D 发生）。由于事件 C 和 D 可能同时发生（非互斥），使用概率加法公式：
P(C∪D)=P(C)+P(D)−P(C∩D)
其中，P(C∩D) 是 C 闭合且 A 和 B 同时闭合的概率。由于开关独立：
P(C∩D)=P(C)⋅P(A)⋅P(B)=12×12×12=18
代入公式：
P(C∪D)=12+14−18=48+28−18=58
14.解：
(1) 从四个小球中有放回地取两次，所有可能的结果有4×4=16种。
两个小球号码相加之和等于3的情况有(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共4种。
所以中三等奖的概率P1=416=14。
(2) 两个小球号码相加之和等于5的情况有(2,3)，(3,2)，共2种；两个小球号码相加之和等于4的情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种。
所以中奖的概率P2=2+3+416=916。
15.解：
(1) 第4局甲当裁判，说明第2局甲胜，第3局甲负。
因为各局比赛结果相互独立，且各局中双方获胜的概率均为12，所以第4局甲当裁判的概率P1=12×12=14。
(2) 前4局中乙恰好当1次裁判有两种情况：
情况一：第1局乙、丙比赛，乙负，第2局甲、丙比赛，丙负（乙当裁判），第3局甲、乙比赛，甲负，第4局乙、丙比赛，概率P21=12×12×12×12=116；
情况二：第1局乙、丙比赛，乙胜，第2局甲、乙比赛，乙负（乙当裁判），第3局甲、丙比赛，丙负，第4局甲、乙比赛，概率P22=12×12×12×12=116。
所以前4局中乙恰好当1次裁判的概率P2=P21+P22=116+116=18。