初中数学北师大版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系优质ppt课件

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A．由解方程引入:解方程: ①x2x10 b24ac145 ②x24x40 b24ac16160 ③2x23x40 b24ac9320 此方程无实数根,可见,由b24ac的值,可以判断方程根的情况.
B．新课:一、判别式1.方程ax2bxc0(a0)根的判别式是:b24ac.（1）b24ac0  方程有两个不相等的实数根 （2）b24ac0  方程有两个相等的实数根 （3）b24ac0  方程没有实数根.
2、判别式的应用 （1）直接判断一元二次方程根的情况;（2）由题目给出的一元二次方程根的情况,求出a、b、c 中待定系数的值或取值范围.例1 不解方程,判断下列方程根的情况.（1）2x23x10（2）（3）5x27x50（4）kx2(2k1)xk10(k0)
（1）2x23x10（2）（3）5x27x50（4）kx2(2k1)xk10(k0)解（1）(3)2421980 ∴方程（1）有两个不等的实根. （2） ∴方程（2）有两个相等的实数根. （3）(7)245549100 0 ∴方程（3）无实数根. （4）(2k1)24k(1k) 4k24k14k4k28 k210 （无论k为何值均有8 k210） ∴方程（4）有两个不等实根.
今后遇到二次方程马上先由判断一下根的情况这是解题 的良好习惯.
例2 关于x的方程(m2)x22(m1)xm10在下列条件下, 分别求m的非负整数值.（1）方程只有一个实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根.解:（1）当m20即m2时方程为一元一次方程2x30, 即m2时,已知方程只有一个实数根.
（2）当方程有两个相等的实根时,必须且只需 解出 ∴m3时,方程有两个相等的实数根.（3）当方程有两个不相等实数根时,必须且只需 解出 又m是非负整数 ∴m0或m1 小结:使用时必须在a0的前题下.
例3. m取什么值时,关于x的方程2x2(m2)x2m20有两个相等的实数根？并求出这时方程的根.解:∵方程有两个相等的实数根,∴(m2)28(2m2)m212m20(m2)(m10)0∴m12 m210当m12时 当m210时∴所求m2或m10 ,方程的根为1或3.
例4 求证:无论a为任何实数,关于x的方程x2(2a1)xa30总有两个不相等的实数根.证:(2a1)24(a3)4a28a134(a1)29即0无论a为任何实数 (a1)20 ∴4(a1)290∴无论a为任何实数,方程x2(2a1)xa30总有两个不等实根.由例4可知:要说明0常将它配成完全平方式正数.观察下表.
Ⅰ观察两根之和,两根之积与a、b、c的关系;Ⅱ两根之和一次项系数的相反数;两根之积常数项.
Ⅲ推广 方程ax2bxc0(a0 b24ac0)变形为 由求根公式 与上述观察结果对比,可得到根系关系.
二、根系关系1、关于x的方程ax2bxc0(a0,b24ac0)的两根x1、x2与系数a、b、c的关系是: 注:应用根系关系的前题是a0且02、根系关系的应用:（1）已知方程的一根,求另一根及字母系数的值.（2）已知两根之间的关系,确定方程中字母系数的值.
例5 已知方程 的一个根是1,求k及另一根解法一:设方程的另一根为x1∴所求 ,
解法二 ∵1是方程的根∴ ∴方程为 x21∴所求 另一根为引申:若 x21 则对应的方程是什么？即以 ,1为根的方程为 0
例6 方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5①∵两根互为相反数 ∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数.③∵方程一根为0, ∴两根之积2m10 且0, ∴ 时,方程有一根为零.
引申:1、若ax2bxc0 (a0 0)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0 ;（4）若一根为1,则abc0 ;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.