辽宁省鞍山市立山区2025年5月九年级中考三模数学试题（解析版）

这是一份辽宁省鞍山市立山区2025年5月九年级中考三模数学试题（解析版），共28页。试卷主要包含了单选题，四象限，一次函数的图像经过一，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．9的平方根是，用下列式子表示正确的是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依据平方根的定义和性质解答即可．
【详解】解： ．
故选C．
【点睛】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
2．高速公路的建设带动我国经济的快速发展，在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程.这样做包含的数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短
C．两条直线相交，只有一个交点D．直线是向两个方向无限延伸的
【答案】B
【分析】本题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短定理．
【详解】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．
故选B．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题关键．
3．下列各曲线是由不同的函数绘制而成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义逐一判断即可．逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称，中心对称图形的定义等知识点，熟练掌握轴对称，中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：A、该图是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
4．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：整个图形面积，
阴影部分面积，
∴小球停在阴影区域的概率，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
5．如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．分析已知和所求，根据，可得，由与是以点O为位似中心的位似图形，即可得它们的位似比为；根据位似图形的性质可得与的比应等于位似比的平方，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴．
故选：D
6．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质．
【详解】若，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，一次函数的图像经过一、二、四象限；
若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，一次函数的图像经过一、三、四象限；
符合的为选项D，
故选D．
7．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船?其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只?若设有只小船，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确的列方程即可．
【详解】解：设有只小船，则大船有只，
根据题意，得，
故选：A．
8．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出．
【详解】解：在中，，，
，
由作图可知，平分，垂直平分，
，，
，
，
故选：C．
9．关于的二次函数图象经过，对称轴在轴的右侧．则二次函数有（ ）
A．最大值2B．最小值2C．最大值D．最小值
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到且，进而求得值和函数关系式，再求得最小值即可．
【详解】解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值，
∵图象经过点，其对称轴在轴右侧，
∴，
∴且，
∴或（舍去），
∴，
∴该二次函数有最小值，
故选：B．
10．如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的相关定义、构造直角三角形是解题的关键；
作于点D，通过解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】解：作于点D，如图，
在直角三角形中，∵，，
∴，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理可得，
∴，
∴的面积为；
故选：C．
二、填空题
11．如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 ．
【答案】m-2且m≠-1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2-2x-1=0有两个实数根，
∴，
解得：m-2且m≠-1．
故答案为：m-2且m≠-1．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
12．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为 米．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．
【详解】解：由题意知：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
经检验，是所列方程的解，
故答案为：6．
13．如图，扇形的圆心角，半径，点D是上一点．交的延长线于点E，交于点G．若，则 ．
【答案】
【分析】此题重点考查勾股定理、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，因为扇形的半径，所以，而，所以，由，得，则，再证明，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵扇形的圆心角，半径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积，且射线OF与反比例函数（）的交点A恰好在小正方形的边上，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题．由题意得到，求出直线的解析式为，把点的纵坐标为3代入得到，则，得到，由射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，由图可知，点的横坐标为2，点的纵坐标为3，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
设直线的解析式为，把代入得到，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
把点的纵坐标为3代入得到
解得，
∴
∴，
∵射线OF平分由7个边长为1的小正方形组成图形的面积，
∴，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意．
故答案为：
15．如图，在中，，，，P是边上一动点，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，找出动点的运动轨迹是解题的关键．
延长至点，使得，连接，过点作于点，证明，则，那么当时，最短，然后解和解即可求解．
【详解】解：延长至点，使得，连接，过点作于点，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最短，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
16．（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1），，（2），
【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解法，实数的混合运算，特殊三角函数值．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）方程整理后利用因式分解法求解即可；
（2）根据分式的运算法则即可化简，再根据实数的混合运算法则求出的值，再代入的值，进行计算，即可求出答案．
【详解】解：（1）
或
解得：；
（2）
；
∴原式．
17．为传承优秀传统文化，某校为各年级购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元．已知该校花6930元购买《三国演义》连环画的套数是花3300元购买《水浒传》连环画套数的1.5倍，求《三国演义》连环画和《水浒传》连环画的单价各是多少元？
【答案】《水浒传》连环画每套150元，《三国演义》连环画每套210元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设《水浒传》连环画每套x元．则《三国演义》连环画每套元，根据花6930元购买《三国演义》连环画的套数是花3300元购买《水浒传》连环画套数的1.5倍建立方程求解即可．
【详解】解：设《水浒传》连环画每套x元．则《三国演义》连环画每套元，
根据题意，得，
解这个方程，得，
经检验，是原分式方程的解．
所以，．
答：《水浒传》连环画每套150元，《三国演义》连环画每套210元．
18．家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭过期药品的处理方式，对全市家庭作一次简单的随机调查，调查问卷中有六个选项：．直接抛弃；．卖给药贩；．直接焚烧；．送回收点；．放置家中；．继续使用．（被调查的家庭只能从中选取一项）药监部门对所有抽样得到的数据进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据统计图，解答下列问题：
(1)本次调查的家庭共有________户，扇形统计图中选项所在扇形圆心角的度数是________；
(2)请补全条形统计图；
(3)家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有万户家庭，请估计有多少万户家庭过期药品的处理方式是正确的．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)万
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，数形结合是解题的关键．
（1）用选项的人数除以其百分比可求出调查的家庭数量，用乘以选项的占比可求出选项所在扇形圆心角的度数；
（2）求出选项、选项的人数，再补全条形图即可；
（3）乘以送回收点的占比，即可求解．
【详解】（1）解：本次调查的家庭共有（户），
扇形统计图中选项所在扇形圆心角的度数是，
故答案为：，；
（2）：（户），：（户）
补全条形图如下：
（3）（万户）．
答：估计大约有万户家庭过期药品的处理方式是正确的．
19．如图1，油布伞是汉族传统用品之一，使用历史已有1000多年．如图2，伞杆的长为，手柄的长为，当伞合拢时，点D与点C重合，的长为，点E是两伞骨连接处，当伞全张开时，，，求此时的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，）
【答案】
【详解】解：如答图，过点E作，垂足为H．
∵，
当伞合拢时，点D与点C重合，
∴．
设，则．
∴，，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：的长约为．
20．5G网络比4G网络的传输速度快10倍以上，华为集团在2024年元月开始销售一款5G产品．根据市场营销部的调查，该产品的销售价格随销售月份的变化而变化，已知该产品第x个月（x为正整数）的销售价格y（元/台）与x之间的函数关系为，第x个月的销售数量p（万台）与x之间的函数关系为．
(1)若华为集团在第x个月销售该产品的销售额为27500万元，求x的值；
(2)求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是每台多少元？
【答案】(1)4或10
(2)该产品第7个月的销售额最大，该月的销售价格是每台4000元
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，正确理解题意、得出方程和函数关系式是解题的关键；
（1）根据销售额=销售量×销售价，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得解；
（2）设第x个月的销售额为w万元，根据销售额=销售量×销售价列出关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解这个方程，得，
所以x的值是4或10．
（2）解：设第x个月的销售额为w万元．
∵，抛物线开口向上，
∴当时，w有最大值，此时．
答：该产品第7个月的销售额最大，该月的销售价格是每台4000元．
21．如图，内接于，是的直径，是上的一点，连接，交于点，平分，交的延长线于点．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)CE与相切．理由见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可证，根据角平分线的定义可知，可得，根据内错角相等，两直线平行可证，根据两直线平行，同旁内角互补可证，从而可证与相切；
（2）根据圆周角定理可证，又因为，可证，根据相似三角形的性质可得，利用勾股定理可得，根据，，可证，根据相似三角形的性质可得：．
【详解】（1）解：与相切，
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
与相切；
（2）解：是的直径，
，
，
由可知，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
22．（1）如图1，有一正方形纸片，E为边上一点，连接，F，G分别是上的两点，将正方形纸片分别沿直线，折叠，使点D恰好落在线段上的点处，点E恰好落在线段上的点处，再将正方形纸片展平，连接，．求证：；
（2）如图2，已知线段，，，，，求线段的长；
（3）如图3，在中，，，将沿直线折叠，使得点A与点C重合，折痕交于点D，交于点E，展开后连接，F是的中点，连接，，交于点G．
①若，求四边形的面积；
②猜想和的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明见解析，（2），（3）①，②．理由见解析
【分析】（1）根据折叠的性质得，，进而得，，再根据正方形的性质得，，进而得，再根据证明即可；
（2）过点C作于点F，延长交于点G．证得四边形是矩形，所以，．设，证得，则，，所以，解方程求解即可；
（3）①证得，得，求得，由，得，再根据计算即可；
②延长到点H，使，连接，过点D作于点K，设，，证得，则，求得，由面积相等求得，根据勾股定理求得，
由，，得，进而可得结论．
【详解】（1）证明：由折叠的性质得，，
又∵，，
∴，，
∴，
∵为正方形，
∴，即，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）过点C作于点F，延长交于点G，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴，，
∴在．
∴在中，；
（3）①根据折叠的性质得，，，
∵，，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴
；
②．理由如下：
延长到点H，使，连接，过点D作于点K，
设，，
∵F是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
∵，即，
∴，
根据勾股定理求得，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点．
23．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，（）是直线上方抛物线上的两点，且．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围；
(3)过点M作轴交于点D，过点N作轴交于点E，设四边形的周长为．
①求与m之间的函数关系式；
②若四边形为菱形，求m的值；
③若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围．
【答案】(1)点，点
(2)，且
(3)①；②或；③
【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式和两点式，即可求出点B，C的坐标；
（2）根据点B，C的坐标求出直线的解析式，由，（）是直线上方抛物线上的两点，确定，（），且，因为，得，将点M，N的坐标代入即可得出，并确定m的取值范围为且；
（3）①根据已知条件，易证四边形为平行四边形，由,，求得，由（2）得，点的坐标为，过点作于点，易证，得，即，平行四边形的周长，当时，，当时，；
②若平行四边形为菱形，即，由①得，，当时，，即，求解并判断是否符合即可；当时，，即，求解并判断是否符合即可；
③当时，，，当时，，，若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，得．
【详解】（1）解：抛物线的解析式，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
，
点B，C的坐标分别为：点，点；
（2）设直线的解析式为，由点，点，
得，
，，
直线的解析式为，
，（）是直线上方抛物线上的两点，
，（），且，
如图所示，过点作于点，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，m的取值范围为且；
（3）①轴，轴，
，
，
四边形为平行四边形，
，
点的坐标为：，
，
由（2）得，点的坐标为，
，
，
，，
，
，
平行四边形的周长，
当时，，，
当时，，，
综上所述，；
②若平行四边形为菱形，，
由①得，，
，
当时，，即，解得（舍），，
当时，，即，解得，（舍），
综上所述，或；
③当时，，，
当时，，，
如图所示，四边形的周长的图象为抛物线上的实线，
若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，
．
【点睛】本题是二次函数的压轴题，考查了抛物线与坐标轴交点的求解、直线斜率与平行条件的应用、函数关系式的建立与取值范围分析、几何图形周长计算与菱形性质的应用、函数对称性与方程解的个数关系等，要会用“分类讨论”的思想探究分段函数，解题的关键是通过坐标几何关系，将几何图形转化为代数表达式，及结合二次函数图象的特征分析解的个数．