辽宁省鞍山市立山区2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省鞍山市立山区2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．收入2元记作+2元，那么支出3元记作（ ）
A．5元B．﹣5元C．+3元D．﹣3元
2．下面简单几何体从正面看是（ ）
A．B．C．D．
3．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若关于x方程是一元二次方程；则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．下列从左到右的变形中，一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲乙经过多少日相逢?若设甲经过日相逢，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（）
A．B．C．D．
10．如图，菱形中，，E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，的延长线交于点M，连接，，．下列结论：
①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
11．计算： ．
12．如图，在x轴、y轴的正半轴上分别截取，，使，再分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为，则a的值为 ．

13．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为 .
14．如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为 ．
15．如图，正方形和正方形的边长分别为7和3，点E，G分别在边，上，点H在，两边上运动，连接，，当为等腰三角形时， ．

三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．已知：如图，在平行四边形中，O为对角线的中点，过点O的作直线分别交于两点，连结．求证：四边形为菱形．
18．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
19．为落实“双减”要求，丰富学生校园生活，提升学生综合素养，某学校开展了学科月活动．学校随机抽取了部分学生对学科月最喜欢的活动进行调查：
A．知识竞赛； B．象棋大赛； C．剪纸大赛； D．书签设计大赛．
并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：

(1)求共调查了多少名学生?补全条形统计图；
(2)求扇形统计图中“D．书签设计大赛”对应扇形的圆心角度数；
(3)学校有500名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场活动时间为60分钟．由下面的活动日程表可知，A和C两场活动时间与场地已经确定．在确保参加活动的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，D二场活动，补全此次活动日程表，并说明理由．
20．图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．
（参考数据：，，）
(1)求图（2）中点B到一楼地面的距离；
(2)求日光灯C到一楼地面的距离．（结果保留整数）
21．如图，为的直径，D，E为上两点，连接，，，延长，交于点B，．
(1)求证：；
(2)过点D作的切线，交于点F，若，，求的长．
22．【问题初探】
在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，是等腰三角形，，过点B作于点D，若，，求的长．
同学们经过思考后，交流出两种解题思路：
思路1：在和中，分别利用勾股定理即可求出的长；
思路2：如图2，在上截取，连接，先证出，再利用相似求出的长；
（1）请利用思路2求出的长；
【类比分析】
思路2是利用转化的思想，将二倍角问题转化为等角进行研究，为了使学生进一步感悟转化思想，王老师提出下面问题，请解答．
（2）如图3，在Rt中，，，点E在边上，且，若，求的长；
【学以致用】
（3）如图4，是等腰三角形，，交的延长线于点D，E是边上一点，，，，求的长．
23．【发现问题】
蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．

【提出问题】
在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．

为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（）
豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230
“学科月活动”主题日活动日程表
（座位数）地点时间
1号多功能厅（110座）
2号多功能厅（205座）
13:00-14:00
A
15:00-16:00
C
第一层正六边形模具的个数x
1
2
3
4
…
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y
1
7
19
37
…
《2024年辽宁省鞍山立山区九年级三模数学模拟试题》参考答案
1．D
收入2元记作+2元，那么支出3元记作-3元，
故选D．
2．C
解：这个简单几何体从正面看是
，
故选：C．
3．A
解：．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．C
A选项：，故不正确；
B选项：，故不正确；
C选项：，正确；
D选项：，故错误；
故选：C．
5．A
∵方程是一元二次方程，
∴，
解得．
故选：A．
6．B
解：、，错误，不符合题意；
、，正确，符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
故选：．
7．B
解：∵直线经过一、二、四象限，
∴，，
∴
则直线的图象经过第一、二、三象限，
故选：B．
8．C
解：设甲经过x日与乙相逢，根据题意得：
，
故选：C．
9．D
解：如图，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
故选∶D．
10．B
解：延长交于一点N，如图所示：
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴
∴
∴
∵
∴
∴；故①是正确的
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴ ,
∴是的中位线
∴
故②是正确的；
∵菱形中，
∵ E是边中点，连接，把四边形沿翻折，A，B的对应点分别为F，G，
∴
∴
∴
∵在菱形中，
∴
∴，故③是正确的；
连接，如图：
∵菱形中，，E是边中点，
∴
∴
∵
∴
∵
∴故④是错误的
故选：C
11．/
解：
，
故答案为：．
12．4
解：由作图过程可知，在线段的垂直平分线上，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴是的平分线，
∴，解得；
故答案为：4．
13．
根据题意得：其正面的数字是偶数的概率为
故答案为：
14．
解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥AG于点G，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，如图所示：
∵四边形OABC为正方形，
∴AO=AB=BC=OC，，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴，
，，
∴，
∴，
∴AE=OF，OE=CF，
∵BH⊥AG，AG⊥y轴，
∴，
，，
∴，
∴，
，
∵BM⊥y轴，CN⊥y轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
同理可得：四边形和四边形为矩形，
，，，
设点A的坐标为：，（），
，
，
，
，
即，
∵正方形OABC的面积为12，
，
在Rt△OAE中，，
即，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
15．或
解： ∵为等腰三角形
当，
此时为点，且在直线的延长线上，如图：

过点作
∵四边形和四边形为正方形
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形，
∴
∵为等腰三角形
∴，与点H在，两边上运动相矛盾；
∴舍去
当，点在上，如图：延长交于一点

如图：点在上，过点H作

∵四边形和四边形为正方形
∴
∴
∴四边形是矩形，同理得四边形是矩形，
∴
∴
则
∵正方形和正方形的边长分别为7和3，
∴
则
即
∴
当时，点H在上，如图

，故不成立；
当点H在上，过点H作，如图所示：

∵四边形和四边形为正方形
∴
∴
∴四边形是矩形
∴
则
∴
综上：或，
故答案为：或．
16．（1）；（2）
解：（1）原式
；
（2）原式
．
17．证明见解析
∵平行四边形中，
∴，
∴，
∵O为对角线的中点，
∴，
∵，
∴；
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
18．(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元
(2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②
（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，
依题意得，
解得；
则；
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，
依题意得，解得，
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②依题意得，
解得或，
，
∴，
．
19．(1)50名，图见解析
(2)
(3)见解析，理由见解析
（1）解：共调查的学生人数为（名），
D类型的人数为（名），
补全条形统计图如下：

（2），
答：扇形统计图中“D．书签设计大赛”对应扇形的圆心角度数是72度；
（3）喜欢B类型的人数为（人），
喜欢B．象棋大赛的学生只能利用2号厅
喜欢D类型的人数为（人），
喜欢D．书签设计大赛的学生只能利用1号厅
补全此次活动日程表如下：
20．(1)
(2)
（1）解：过点B作于E，如图：
设m，
的坡度为，
,
，
在Rt中，由勾股定理得：，
解得：，
，，
答：B到一楼地面的距离为；
（2）过点C作于F交于G，过点D作于J交于H，
由题意知：，，
∵，，
∴，
∴四边形，四边形是矩形，
，，，
由（1）可知，，
，
在Rt中，，
，
，
答：日光灯C到一楼地面的距离约为．
21．(1)证明见解析
(2)12
（1）证明：
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
是的切线，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
22．（1）；（2）；（3）
（1）解：如答图1：在上截取，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∵是等腰三角形，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵,，
∴
解得或（不合题意，舍去）
∴；
（2）解：如答图2：延长到点F，使，连接，作于点H，
∵，，
∴垂直平分，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∵,
∴，
解得或（不合题意，舍去）
∴
∵，，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
．
（3）解：如答图3，在的延长线上取一点F，使，连接，作于点H，
∵，
∴垂直平分，，
∵，
∴，即
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得或（不合题意，舍去）,
∴
23．(1)
(2)8个
(3)469个
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将点代入关系式，得：
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由（2）知，，
将代入，得，
解得，，（不合题意，舍去）
所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具；
（3）解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，

由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离，
∴，
∴
∵的长为，
∵的周长为，
∴的直径，即，
∴，
设第一层有x个正六边形模具，
∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算，
所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为，
①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有，
解得，，
∵x为整数，
∴x最大取12；
②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有，
解得，，
∵x为整数，
∴x最大取13；
将代入，得，；
将代入得，，
∵，
∴最多可以放下469个正六边形模具
“学科月活动”主题日活动日程表
（座位数）地点时间
1号多功能厅（110座）
2号多功能厅（205座）
13:00-14:00
A
B
15:00-16:00
D
C