辽宁省鞍山市立山区2025年中考模拟数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省鞍山市立山区2025年中考模拟数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】A
【解析】∵收入3元记作元，
∴支出5元，记作元，
故选：A．
2. 如图是由个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】从正面看，可得选项B的图形．
故选：B．
3. 办公中常用的A4纸，其厚度一般为每张，则100张这样的纸摞在一起的厚度用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
4. 如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：，
滑梯斜面的坡度，
，
，
，
故选：C．
5. 等式就像平衡的天平，与如图所示的事实具有相同性质的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么D. 如果，那么
【答案】C
【解析】观察图形，使等式的两边都加，得到，利用等式性质1，所以成立．
故选：C．
6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从中随机抽取一张，有四种等可能的情况，
其中抽到“夏至”有两种等可能的情况，
．
故选C．
7. 我国航天领域发展迅速，从“天宫一号”到“天和”核心舱的发射，正式迈入“空间站时代”．下列与中国航天相关的图标中可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. 不是中心对称图形，不符合题意；
B. 不是中心对称图形，不符合题意；
C. 是中心对称图形，符合题意；
D. 不中心对称图形，不符合题意；
故选C．
8. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步行（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有两车是空的；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，设有x辆车，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设有x辆车，
根据题意得：．
故选：B．
9. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意得：
，
，
，，
，
在中，
，
故选：B.
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将代入一次函数解析式得：，
∴点A的坐标为，
同理可得，点B的坐标为
又∵四边形是矩形，
∴，，
则直线可由直线向下平移3个单位长度得到，
∴直线的函数解析式为，
令直线的函数解析式为，
将点B坐标代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
由得：，
则，
∴点C的坐标为，
故选：D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 方程的根为____________．
【答案】
【解析】由原方程，得，
则或，
解得：，，
故答案为：，．
12. 如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 _____．
【答案】
【解析】∵将半径为4的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，
∴围成圆锥的弧长所对圆心角度数是，
围成圆锥的弧长为，
∴圆锥的底面半径为，
∴圆锥的高为．
故答案为：．
13. 如图，是的角平分线，，，则的长为______．
【答案】
【解析】，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，解得：（负值舍去），
故答案为：
14. 如图，在平面直角坐标系中，点，均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】如图，作轴，垂足为，连接，
点、在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
即，解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则______．
【答案】
【解析】延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，如图，
由作图可知平分，
，
，，
，
在中，，
在中，，
，
，
，，
，
，
平分，
，
．
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共75分．
16. 计算：
（1）；
（2）.
解：（1）
；
（2）
．
17. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“多香满校园”的读书活动，现需购买甲、乙两种读本供学生阅读．若购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元．
（1）求甲种读本和乙种读本的售价各是多少元？
（2）若学校购买甲、乙两种读本，总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的，求学校最多能购买乙种读本多少本？
解：（1）设甲种读本每本x元，乙种读本每本y元．
根据题意，得：，解得：，
答：甲种读本每本8元，乙种读本每本10元．
（2）设学校购买乙种读本m本，则购买甲种读本3m本．
根据题意，得：，
解这个不等式，得：
答：学校最多能购买乙种读本20本．
18. 做家务劳动，能锻炼学生的动手和解决问题的能力，还能增强学生对家庭的责任感，某中学为了解该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，随机抽取部分学生调查了他们在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，将全部做家务的时间（单位：小时）进行整理后分为四组：：，：，：，：，并绘制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中部分对应的圆心角为______度；
（3）若该中学共有名学生，请估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于小时的人数．
解：（1）这次抽样调查的学生人数是：（名），
组学生人数为：（名），
补全频数分布直方图如下：
故答案为：．
（2）对应的扇形圆心角的度数是：，
故答案为：．
（3）（名），
故估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于小时的人数为人．
19. 为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是元，超市规定每箱售价不得少于元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱，每箱售价每提高元，每天要少卖出箱．
（1）求每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式；
（2）当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？
解：（1）根据题意得，；
即每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式为；
（2）根据题意得：
，
，且，
当时，w有最大值，．
故当每箱售价定为元时，每天销售的利润最大，最大利润是元．
20. 如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．）
（1）求的长度；（保留1位小数）
（2）通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短．
解：（1）过点D作，垂足为E．
∴．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴．
故的长为．
（2）由（1）可得，在中，，
即．
在中，，
即．
又，
即．
线路1：，
线路2：，
∵，
∴线路2比线路1短．
21. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点
（1）求证：与相切；
（2）当时，求阴影部分的面积．
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
与相切；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
22. 数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
（1）四边形的形状为______；
（2）如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点M作，垂足为点
①求的值；
②若，，请直接写出四边形的面积．
解：（1）四边形的形状为正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，，
将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，
，，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）猜想：，
证明：如图，连接，
四边形是矩形，
，
，
由折叠，得，
，，
，，，
，
，，
，
，
平分，
，
又，，
，
，
；
（3）①如图，过点M作于点H，作于点P，过点E作于点
，
四边形是矩形，
，，
又，，
，
，
，，，
，
平分，，，
，
，
；
②由（2）知是等腰直角三角形，
，，
，
，，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积
23. 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．
例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．
问题：
（1）已知点，，则的外接抛物线的解析式为______；
（2）如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标；
（3）如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标；
（4）已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
①当是等腰直角三角形时，求的面积；
②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围．
解：（1），，
抛物线的对称轴为直线，即y轴，
在抛物线上，
设抛物线解析式为，
将代入得，
即的外接抛物线的解析式为；
故答案为：；
（2）设与y轴交于点M，
为等边三角形，
，，
，
，
设，则，
，
将B坐标代入得，，
解得，（不合题意，舍去，
点A的坐标是，点B的坐标是；
（3）如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点，
设点，点，则，，，，
，
，，
，
，
，
，
，解得或（舍去），
设直线的解析式为，
由，得：，
又，
，
当时，，
点P的坐标是；
（4）①如图，设抛物线的对称轴交于点，
由抛物线和等腰直角三角形的对称性，
得，，，
设，
对称轴为，
点B的坐标为，点C的坐标为，
将点B，C的坐标分别代入，
得，
解得或（舍去），
，，
；
②点A和点B在x轴上，点C在y轴上，若当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形，如图，
此时或，
抛物线开口向上，
；
若时，则可先讨论的c的值，如图，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得：或舍去，
此时时，；
综上，或．