专题09 多边形及其内角和-【一遍过】2023年暑假七年级升八年级数学考点衔接一遍过（人教版）（原卷版+解析版）

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（一）多边形的相关概念
多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
内角：多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。
外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
正多边形概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
（二）多边形对角线条数
一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
（三）多边形的内角和及外角和
n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°
n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°（与多边形的形状和边数无关）。
注意：正多边形的内角计算，及外角计算
新知训练
考点1：多边形的概念与分类
典例1：（2022·全国·八年级专题练习）在同一平面内，由_____________图形叫多边形．组成多边形的线段叫做__________，相邻两边的公共端点叫多边形的__________．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做__________．多边形__________叫做它的内角，多边形的边与它邻边__________组成的角叫多边形的外角．连接多边形__________的线段叫做多边形的对角线．
【答案】 不在同一条直线上的n（n≥3）条线段首尾顺次连接组成的 多边形的边 顶点 n边形 相邻两边组成的角 延长线 不相邻两个顶点
【分析】利用多边形定义、多边形内角、多边形外角及多边形对角线定义填空即可．
【详解】在同一平面内，由不在同一条直线上的n（n≥3）条线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形．
组成多边形的线段叫做多边形的边，
相邻两边的公共端点叫多边形的顶点．
如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做n边形．
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，
多边形的边与它邻边延长线组成的角叫多边形的外角．
连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
故答案为：不在同一条直线上的n（n≥3）条线段首尾顺次连接组成的；多边形的边；顶点；n边形；相邻两边组成的角；延长线；不相邻两个顶点．
【点睛】本题主要考查多边形的定义，属于基础题，熟练掌握多边形的定义是解题关键．
【变式1】（2020·全国·七年级假期作业）在平面内，__________，__________的多边形叫正多边形．
【答案】 各边都相等 各内角也相等
【分析】根据正多边形的概念即可得出答案．
【详解】如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形．
故答案为：各边都相等，各内角也相等．
【点睛】本题考查了正多边形的概念，熟练掌握概念是解题的关键．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）下图中的正多边形分别是：____________________________________________________________.

【答案】正三角形，正方形，正五边形，正六边形，正八边形
【分析】根据正多边形的定义求解即可.
【详解】根据正多边形的特征可知这些多边形分别为：正三角形，正方形，正五边形，正六边形，正八边形.
故答案为正三角形，正方形，正五边形，正六边形，正八边形.
【点睛】理解多边形的定义，根据定义进行正确解答.
【变式3】（2022·全国·七年级专题练习）我们熟悉的平面图形中的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形、圆等，它们是由若干条_____________的线段首尾顺次相连组成的_______图形．
【答案】 不在同一直线上 封闭平面
【解析】略
考点2：多边形对角线条数问题
典例2：（2023春·江苏徐州·七年级徐州市第二十六中学校考阶段练习）连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，如，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么，n边形有___________________条对角线．
【答案】nn−32
【分析】根据对角线的定义，得到从一个顶点出发，该顶点可以与除去它本身和与它相邻的两个点之外的任意一个顶点形成对角线，得到从n边形的一个顶点出发有n−3条对角线，进行求解即可．
【详解】解：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，可知，
从n边形的一个顶点出发有n−3条对角线，
∵n边形有n个顶点，
又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线，
∴n边形有nn−32条对角线．
故答案为：nn−32．
【点睛】本题考查求多边形对角线的条数．理解并掌握多边形的对角线的定义，是解题的关键．
【变式1】（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图所示，从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，最多可以作出___________条对角线．
【答案】5
【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出n−3条对角线可得答案．
【详解】从八边边形ABCDEFGH的一个顶点出发，最多可以引出对角线的条数是8−3=5，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了多边形对角线，关键是掌握计算公式．
【变式2】（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市实验学校校考期末）若从某个多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对⻆线，则它的边数为________．
【答案】9
【分析】根据从n边形的一个顶点引出的对角线有n−3条列出方程求解即可．
【详解】解：设该多边形的边数为n，
则n−3=6，解得：n=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查多边形对角线的条数问题、解一元一次方程，熟知从n边形一个顶点引出的对角线的条数公式是解答的关键．
【变式3】（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉___________条木条．
【答案】3
【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6−3=3条对角线，
所以至少要钉上3根木条．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键．解题时注意：过n边形的一个顶点作对角线，可以做(n−3)条．
考点3：多边形截角后的边数问题
典例3：（2022秋·陕西西安·七年级统考期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________．
【答案】5或6或7
【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．
【详解】解：如图所示：
六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．
故答案为：5或6或7．
【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
【变式1】（2022秋·全国·七年级专题练习）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是_________边形.
【答案】三、四、五
【详解】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，
故答案为三、四、五.
【变式2】（2023春·江苏·七年级期中）已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是___________．
【答案】720°或900°或1080°
【分析】先求出原多边形是七边形，剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．
【详解】解：∵多边形的内角和是900°，
∴n−2×180=900，
解得：n=7，即原多边形是七边形，
因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
当多边形的边数减少了1条边，内角和=7−1−2×180°=720°；
当多边形的边数不变，内角和=7−2×180°=900°；
当多边形的边数增加一条边，内角和=7+1−2×180°=1080°．
答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是720°或900°或1080°，
故答案为：720°或900°或1080°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键．
【变式3】（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为 _____．
【答案】16或17或18
【分析】根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【详解】解：设新多边形的边数为n，
则(n−2)⋅180°=2700°，
解得n=17，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为16，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为17，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为18，
所以多边形的边数可以为16或17或18．
故答案为：16或17或18．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．解题的关键是掌握多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．
考点4：多边形的内角和问题
典例4：（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在五边形ABCDE中，∠P=100°，∠BCD的平分线与∠CDE的平分线交于点P，则∠A＋∠B＋∠E=______．
【答案】380°/380度
【分析】根据三角形的内角和得到∠PCD+∠PDC=180°−∠P=180°−100°=80°，根据角平分线的定义得到∠BCD+∠EDC=2∠PCD+2∠PDC=2×80°=160°，根据五边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：在△PCD中，
∵∠P=100°，
∴∠PCD+∠PDC=180°−∠P=180°−100°=80°，
∵PC平分∠BCD，PD平分∠EDC，
∴∠BCD+∠EDC=2∠PCD+2∠PDC=2×80°=160°，
∵∠A+∠B+∠E+∠BCD+∠EDC=5−2×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠E=540°−∠BCD−∠EDC=540°−160°=380°．
故答案为：380°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，解答本题的关键是掌握多边形形的内角和定理以及角平分线定理．
【变式1】（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______．
【答案】360°/360度．
【分析】延长FE交AB于M，FE与CD相交于N，由三角形的外角得∠A+∠F=∠BEN，∠D+∠DEF=∠CNM，再由四边形内角和为360°即可求解．
【详解】解：延长FE交AB于M，FE与CD相交于N，
∴∠A+∠F=∠BEN，
∠D+∠DEF=∠CNM，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F
=∠A+∠F+∠B+∠C+∠D+∠DEF
=∠BEN+∠B+∠C+∠CNM
=360°，
故答案为：360°．
【点睛】本题考查了三角形的外角及四边形内角和；通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”将角进行转换到四边形中是解题的关键．
【变式2】（2023·江苏盐城·统考一模）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠ABC=125°，则∠A+∠C+∠D+∠E=______°．
【答案】305
【分析】如图，连接BE，利用三角形，四边形内角和定理、周角的定义求解即可．
【详解】解：如图，连接BE，
根据三角形与四边形的内角和定理得：
∠ABE+∠AEB+∠A=180°，∠BED+∠D+∠C+∠EBC=360°，
∵∠ABC=125°，
∴∠ABE+∠CBE=360°−125°=235°，
∴∠A+∠C+∠D+∠AED=180°+360°−235°=305°．
故答案为：305．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、四边形的内角和定理，周角的定义的理解与运用能力．三角形内角和等于180°．作出适当的辅助线获取角之间的关系是解本题的关键．
【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______度．
【答案】360
【分析】首先根据三角形外角的性质可知：图示这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠A+∠C=∠2，∠B+∠D=∠1，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠1+∠2+∠E+∠F=360°，
故答案为：360．
【点睛】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，正确掌握三角形外角的性质是解题关键．
考点5：多（少）算一个角的问题
典例5：（2020秋·湖北荆州·八年级校考阶段练习）小明在求某个多边形的内角和时，由于看漏了一个角而求得的度数和为2035°，那么这个多边形的边数为________．
【答案】14
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，所求出的多边形的边数再加上1即可．
【详解】解：设除去的内角为α，则（n-2）•180°=2035°+α，
∵2035°÷180°=11…55°，
∴n-2=11+1=12，
解得n=14，
所以，这个多边形的边数n的值是14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式得知多边形的内角和是180°的整数倍是解题的关键．
【变式1】（2020春·甘肃张掖·八年级统考期末）小明在计算内角和时，不小心漏掉了一个内角，其和为1160°，则漏掉的那个内角的度数是_____________．
【答案】100°
【分析】根据n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得1160°，可以解方程（n-2）•180°≥1160°，由于每一个内角应大于0°而小于180度，则多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角．
【详解】解：设多边形的边数是n．
依题意有（n-2）•180°≥1160°，
解得：n≥849
则多边形的边数n=9；
九边形的内角和是（9-2）•180=1260度；
则未计算的内角的大小为1260-1160°=100°．
故答案为：100°
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．
【变式2】（2020秋·山东德州·八年级统考期末）小明同学在计算一个多边形(每个内角小于180°)的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的和是2020°，则少算了这个内角的度数为 _________．
【答案】140°
【分析】n边形的内角和是（n−2）•180°，少计算了一个内角，结果得2020°，则内角和是（n−2）•180°与2020°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n−2）•180°≥2020°，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角．
【详解】设多边形的边数是n，
依题意有（n−2）•180°≥2020°，
解得：n≥1329，
则多边形的边数n＝14；
多边形的内角和是（14−2）•180＝2160°；
则未计算的内角的大小为2160°−2020°＝140°．
故答案为：140°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．
【变式3】（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____．
【答案】11
【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形边数为n，
1510°