专题10 全等三角形的性质-【一遍过】2023年暑假七年级升八年级数学考点衔接一遍过（人教版）（原卷版+解析版）

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（一）全等图形
（1）概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.
（2）全等图形特征：
①形状相同。
②大小相等。
③对应边相等、对应角相等。
小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。
（二）全等三角形
（1）概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’
读作：∆ABC全等于∆A’B’C’
对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’
对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’
对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’
（三）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
新知训练
考点1：全等图形的识别
典例1：（2023春·七年级课时练习）请观察图中的5组图案，其中是全等形的是________（填序号）；
【答案】（5）
【分析】根据全等形的定义：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形进行判断即可．
【详解】（1）形状、大小不相等，不是全等形；
（2）大小不同，不是全等形；
（3）形状，大小都不相同，不是全等形；
（4）形状，大小都不相同，不是全等形；
（5）形状，大小都相同，是全等形；
故答案为：（5）．
【点睛】本题考查全等形的识别．熟练掌握形状、大小相同，能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）下列图形中是全等图形的是__________．（填序号）
【答案】⑤和⑦
【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．
【详解】解：由全等形的定义可知：⑤和⑦是全等图形，
故答案为：⑤和⑦．
【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识别各图形的形状是解题的关键．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．
【答案】 （6） （3）（5）
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解：（1）与（6）是全等图形，
（2）与（3）（5）是全等图形，
故答案为：（6），（3）（5）．
【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【变式3】（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有______对．
【答案】4
【分析】设每个小方格的边长为1，分别表示出每个图形的各边长，再根据三角形全等的判定方法，对应边相等，对应角相等的多边形是全等多边形可得答案．
【详解】解：如图，设每个小方格的边长为1，
则（1）的各边分别是AB=2,AC=5,BC=3，
（6）的各边分别是DE=2,EF=5,DF=3，
由边边边公理可得两个三角形全等；所以（1）（6）全等．
（2）的各边长分别是：PQ=2，QN=2,KN=1，PK=5，且 QK=1，
（3）的各边长分别是：HT=2，HO=2,MO=1，TO=5,且HO=1，
∴△PQK≌△THO,△NQK≌△MHO,
∴∠QPK=∠HTO,∠QNK=∠HMO,∠PQN=∠THM,∠PKN=∠TOM,
由四边形全等的定义可得：图形（2）与（3）全等，
同理：（2）（5）全等，（3）（5）全等．
故全等形有四对，
故答案为：4.
【点睛】此题主要考查学生对全等形的概念与判定的理解及运用，同时考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等形的判定方法．
考点2：将已知图形分割成全等图形
典例2：（2022秋·河南三门峡·八年级统考期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．
【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故选B．
【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（ ）
A．0个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案．
【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等．
故选：C．
【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______．
【答案】7
【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．
【详解】解：分割方案如图所示：
由图可得，最长分割线的长度等于7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质.
【变式3】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为________．
【答案】6
【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边.
【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.
【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.
考点3：全等三角形的对应元素
典例3：（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC与△BAD全等，可表示为________，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是________，其余的对应边是________．
【答案】 △ABC≌△BAD ∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD AB与BA，BC与AD
【分析】由△ABC≌△BAD，结合图形可得其余的对应角与对应边．
【详解】解：∵△ABC≌△BAD，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，
∴其余的对应角是∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD；
其余的对应边是AB与BA，BC与AD．
故答案为：△ABC≌△BAD，∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD，AB与BA，BC与AD
【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的关键．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:_______.
【答案】BC和BC,CD和CA,BD和AB
【分析】全等三角形就是能够完全重合的三角形，因而得出能重合的角就是对应角，重合的边就是对应边．
【详解】∵△ABC≌DBC，且∠A和∠D，∠ABC和∠DBC是对应角，
∴对应边是BC和BC，CD和CA，BD和AB，
故答案为：BC和BC，CD和CA，BD和AB.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，是需要识记并会应用的内容，找对应边时要根据已知条件.
【变式2】如图，已知△ABD≌△ACE，且∠BAD和∠CAE、∠ABD和∠ACE是对应角，则另一对对应角是_______，对应边是_______，______，_____ .
【答案】 ∠ADB和∠AEC AB和AC AD和AE BD和CE
【分析】根据全等三角形的概念，对应角，对应边，直接求解即可．
【详解】解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB和∠AEC是对应角；AB和AC 是对应边；AD和AE是对应边；BD和CE是对应边.
故答案为：∠ADB和∠AEC，AB和AC，AD和AE，BD和CE．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是利用全等三角形的性质写出对应边和对应角，特别注意要应用好“对应关系”.
【变式3】（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点A的坐标为1,3，点B的坐标为1,-1，点C的坐标为3,4，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是________.
【答案】-1,4或-1,-2或3,-2
【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：符合题意的有3个，如图，
∵点A、B、C坐标为1,3，1,-1，3,4，
∴D1的坐标是-1,4，D2的坐标是-1,-2，D3的坐标是3,-2，
故答案为：-1,4或-1,-2或3,-2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大．
考点4：全等三角形的性质
典例4：（2023春·湖南长沙·九年级湖南师大附中博才实验中学校考期中）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE=1，CD=2，则AE的长是___________．
【答案】1
【分析】首先根据全等三角形的性质可得，AC=CD=2，再由AE=AC-CE，即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△DEC，CD=2，
∴AC=CD=2，
∵AE=AC-CE，CE=1，
∴AE=2-1=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，熟练掌握和运用全等三角形的性质是解决本题的关键．
【变式1】（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数是_____．
【答案】25°/25度
【分析】由全等的性质得出∠BCA=∠ECD，从而可证∠BCE=∠ACD=65°．再由AF⊥CD，即得出∠CAF=90°-∠ACD=25°．
【详解】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠BCA=∠ECD，
∴∠BCA-∠ECA=∠ECD-∠ECA，即∠BCE=∠ACD=65°．
∵AF⊥CD，
∴∠CAF=90°-∠ACD=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题考查全等的性质，垂线的定义，求一个角的余角．熟练掌握全等三角形对应角相等是解题关键．
【变式2】（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=8，DO=3，平移距离为4，则阴影部分面积为_______________；
【答案】30
【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEO的面积，再根据平移的性质可得DE=AB，然后求出OE，根据平移的距离求出BE=4，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解:∵△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,
∴△ABC≌△DEF,
∴阴影部分面积等于梯形ABEO的面积,
由平移的性质得,DE=AB,BE=4,
∵AB=9,OD=3,
∴OE=DE-OD=9-3=6,
∴阴影部分的面积=12×(6+9)×4=30.
故答案为:30
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEO的面积是解题的关键．
【变式3】（2022秋·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且C'D∥EB'∥BC，BE，CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的度数为___________．
【答案】100°/100度
【分析】延长C'D交AB'于H，利用全等三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的性质证明∠BFC=∠C'+∠AHC'，再求出∠C'+∠AHC'即可．
【详解】延长C'D交AB'于H，
∵△AEB≌△AEB'，
∴∠ABE=∠AB'E，
∵C'H∥EB'，
∴∠AHC'=∠AB'E，
∴∠ABE=∠AHC'，
∵ △ADC≌△ADC'，
∴∠C'=∠ACD，
∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，
∴∠BFC=∠AHC'+∠C'+∠CAD，
∵∠CAD=∠DAC'=∠CAB'=40°，
∴∠C'AH=120°，
∴∠AHC'+∠C'=60°，
∴ ∠BFC=60°+40°=100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的性质等知识，熟记全等三角形的性质是解题的关键
新知检测
一、单选题
1．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A与点D是对应点，则下列结论错误的是（ ）
A．∠COA=∠BODB．∠A=∠D
C．CA=BD D．OB=OA
【答案】D
【分析】根据对顶角相等，全等三角形对应角相等，全等三角形对应边相等解答即可．
【详解】解：A、∠COA=∠BOD（对顶角相等），故本选项不符合题意；
B、∵△OCA≌△OBD，
∴∠A=∠D，故本选项不符合题意；
C、∵△OCA≌△OBD，
∴CA=BD，故本选项不符合题意；
D、OB与OA不是对应边，不一定相等，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确找出对应边和对应角是解题的关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝56°，则∠CAF的度数为（ ）
A．36°B．24°C．56°D．34°
【答案】D
【分析】根据三角形全等的性质可得∠ACB=∠DCE，进而可得∠BCE=∠ACD，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得∠CAF的度数．
【详解】解：∵ △ABC≌△DEC，
∴ ∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∵ AF⊥CD，∠BCE=56°，
∴∠CAF=90°-∠ACD=34°，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余，证明∠BCE=∠ACD是解题的关键．
3．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AD=DCB．∠BAD=∠CAEC．AB=AED．∠ABC=∠AED
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AD=AB，故A、C选项错误，不符合题意；
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，故B选项正确，符合题意；
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，故D选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
4．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB=6cm，BD=6cm，AD=5cm，那么BC的长是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．无法确定
【答案】B
【分析】由题意直接根据全等三角形的性质进行分析即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△BAD，AB=6cm，BD=6cm，AD=5cm，
∴BC=AD=5cm．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等，找到全等三角形的对应边是解题的关键．
5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．三角形三条高线交于一点，这点在三角形内部
C．如果两个三角形全等，那么它们的面积也相等
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质、平行线的判定和性质、三角形的角平分线、中线与高进行判断即可．
【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意；
B、三角形三条高线交于一点，这点在三角形内部或三角形的外部或三角形的边上，故不符合题意；
C、如果两个三角形全等，那么它们的面积也相等，正确，故符合题意；
D、两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定和性质、三角形的角平分线、中线与高，正确的理解题意是解题的关键．
6．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）已知，如图所示，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有（ ）对全等三角形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】△ACO和△ADO，△ADB和△ACB，△COB和△DOB全等，
故选C．
7．（2023春·七年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且C'D∥EB'∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=42°，则∠BFC的大小是（ ）
A．96°B．100°C．106°D．110°
【答案】A
【分析】由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．
【详解】解：设∠C'=α，∠B'=β，
∵△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，
∴∠ACD=∠C'=α，∠ABE=∠B'=β，∠BAE=∠B'AE=42°，
∴∠C'DB=∠BAC'+AC'D=42°+α，∠CEB'=42°+β．
∵C'D∥EB'∥BC，
∴∠ABC=∠C'DB=42°+α，∠ACB=∠CEB'=42°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
即126°+α+β=180°．
则α+β=54°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=42°+α+β=42°+54°=96°．
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键．
8．（2022秋·福建莆田·八年级莆田八中校考期中）下列描述：①面积相等的两个三角形是全等三角形；②三个角对应相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等④有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是全等三角形．错误的有( )个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定与性质解答即可．
【详解】①面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故不正确；
②三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，故不正确；
③全等三角形的周长相等，正确；
④有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是全等三角形，故不正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（2023春·七年级课时练习）如图，△ABC≌△CDA，AB=4，BC=6，则AD等于( )
A．4B．5C．6D．不确定
【答案】C
【分析】由全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△CDA，
∴AD=BC=6．
故选C．
10．如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数等于（ ）
A．65°B．50°C．40°D．35°
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得AB=AD，再结合三角形外角性质和内角和定理可以求得∠BAD=50°，最后再由全等三角形性质和角的减法可以得到∠EAC=50° ．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，∠DAE=∠BAC，
∴∠B=∠ADB=∠DAC+∠C=35°+30°=65°，
∴∠BAD=180°-(∠ADB+∠B)=50°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC=∠BAD=50°，
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，灵活运用全等三角形的性质和三角形的内外角性质求解是解题关键 ．
二、填空题
11．（2022秋·山东德州·八年级统考期中）若△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠B=50°，点A的对应点是D，AB=DE，那么∠F的度数是_______．
【答案】60°
【分析】根据全等三角形的性质求解；
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠B=50°，
∴∠F=∠C=180°-∠A-∠B=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，理解相关性质正确推理计算是解题关键．
12．（2022秋·湖北孝感·八年级校联考阶段练习）已知△ABC≌△DEF，且∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，△DEF中最大边长是________，最大角是______度．
【答案】 10 90°
【详解】考点：全等三角形的性质．
分析：△ABC中，最大角为∠A=90°，最大边是斜边BC=10；
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边和对应角相等，则△DEF的最大边长应该是10，最大角是90°．
解答：
∵△ABC≌△DEF，且∠A=90°；
∴△DEF也是直角三角形；
即△DEF的最大角是90°；
已知△ABC的斜边BC=10，故△DEF中最大边长是10．
点评：本题主要考查全等三角形的性质，能够正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解答此类题的关键．
13．（2022秋·辽宁大连·八年级校考期末）如图，点F，C在线段BE上，若△ABC≌△DEF，BE=18，BF=4，则FC的长度是______．
【答案】10
【分析】根据全等三角形的对应边相等，得到：BC=EF，从而得到：CE=BF，再利用：BE=BF+CF+CE，求出CF即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BC-CF=EF-CF，即：BF=CE=4，
∵BE=BF+CF+CE，即：18=4+CF+4，
∴CF=10；
故答案为：10．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
14．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）如图，若△AOB≌△A′OB′，∠B＝30°，∠AOA′＝52°，则∠A′CO＝________．
【答案】82°
【详解】试题解析：∵△AOB≌△A′OB′, ∠B=30∘，
∴∠B′=∠B=30∘,∠AOB=∠A′OB′，
∴∠AOB−∠A′OB=∠A′OB′−∠A′OB，
∴∠AOA′=∠BOB′=52∘，
∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30∘+52∘=82∘.
故答案为82∘.
15．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图，B、C、D在同一直线上，△BAE≌△BCE，△BAE≌△DCE，则∠D＝______.
【答案】30°
【详解】试题解析：∵△BAE≌△BCE，△BAE≌△DCE，
∴∠A=∠ECB=∠ECD，∠ABE=∠CBE=∠D，
又∵B、C、D在同一直线上，
∴∠ECB+∠ECD=180°，
∴∠A=∠ECB=∠ECD=90°，
∴∠ABE+∠CBE+∠D=90°，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°．
故答案为30°．
16．（2021秋·江苏徐州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，则，AB=______，∠E =∠______．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=________．
【答案】 AD ∠C 80°
【详解】∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，∠E=∠C，∠EAC=∠BAD=40°，
∴∠BAC=120°－40°=80°．
故答案为：AD，∠C，80°
三、解答题
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F=∠A，求证：AD∥BF．
【答案】证明见解析
【分析】由全等三角形的性质证明∠A=∠CDE,结合∠F=∠A，证明∠F=∠CDE,从而可得结论.
【详解】解：∵ △ABE≌△DCE，
∴∠A=∠CDE,
∵ ∠F=∠A，
∴∠F=∠CDE,
∴AD∥BF.
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的判定，证明∠F=∠CDE是解本题的关键.
18．（2022秋·湖北荆门·八年级校联考期中）已知：如图， ΔABC≌ΔA'B'C，∠A:∠BCA:∠ABC=3:10:5 ，求 ∠A'，∠B'BC 的度数.
【答案】30°，50°
【分析】求出△ABC的各角的度数，再根据全等三角形对应角相等求出∠BCB′的度数，利用三角形的外角知识求出∠A′，∠B′BC的度数．
【详解】解：∵ ∠A:∠BCA:∠ABC=3:10:5 ，
∴设 ∠A=3x ∠ABC=5x ∠BCA=10x ，
∵ ∠A+∠ABC+∠BCA=180° ， x=10°
∴ ∠A=30° ∠ABC=50° ∠BCA=100° ，
∵ ΔABC≌ΔA'B'C ，
∴ ∠A'=∠A=30° ，
∠B'=∠ABC=50° ，
∵ ∠B'CB=180°-∠BCA=80° ，
∴ ∠B'BC=180°-∠B'-∠B'CB =180°-50°-80°=50°．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，根据比值和三角形内角和定理求出△ABC的各角的度数是解题的关键．
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出对应边和其他对应角．
【答案】AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠D与∠E是对应角．
【分析】先根据△ABE≌△ACD，可以确定点A的对应点是A，点B的对应点是C，点D的对应点是E，然后根据对应顶点，结合图形即可找出对应边和对应角．
【详解】∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，
∴∠E与∠D是对应角，
AB与AC，BE与CD，AE与AD是对应边．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一般情况下，对于图形的全等来说，能够完全重合的部分是相互对应的，实际应用中，应结合图形将对应点写在对应位置上，以免出现错误．
20．（2023秋·八年级课时练习）如图，△ABN≌△DCM，∠B和∠DCM是对应角，AB与DC是对应边，写出其他对应边及对应角．
【答案】见解析
【详解】结合图形，根据对应边和对应角的概念判断．
答案：解：∵△ABN≌△DCM，
∠B和∠DCM是对应角，
AB与DC是对应边，
∴对应边：AN与DM，BN与CM；
对应角：∠BAN=∠CDM，∠ANB=∠DMC．
易错：解：∵△ABN≌△DCM，
∠B和∠DCM是对应角，AB与DC是对应边，
∴对应边：AN与BN，DM与CM；
对应角：∠BAN=∠CDM，∠ANB=∠DMC．
错因：弄错对应边．
满分备考：把两个全等三角形叠合在一起，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角．找对应边和对应角，不能只凭感觉，必须根据找对应边，对应角的方法解决．
21．（2022秋·重庆綦江·八年级校考阶段练习）如图，△ABD≌△ACE，写出对应边和对应角，并证明∠1＝∠2．
【答案】见解析，证明见解析
【分析】根据全等三角形的性质写出对角与对应边，根据∠ADB=∠AEC，根据等角的补角相等即可求解．
【详解】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AB=AC,AD=AE,BD=CE，
∠A=∠A,∠B=∠C,∠ADB=∠AEC；
证明：∵∠ADB=∠AEC，
∴180°-∠ADB=180°-∠AEC，
即∠1=∠2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等角的补角相等，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知△ABF≌△CDE．
(1)若∠B=40°，∠DCF=30°，求∠EFC的度数；
(2)若BD=10,EF=4，求BF的长．
【答案】(1)∠EFC=70°
(2)BF=7
【分析】（1）根据全等三角形的性质得∠B=∠D，根据题意得∠D=∠B=40°，根据∠DCF=30°和三角形的外角即可得；
（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系得BE=DF，根据BD=10,EF=4得BE=(10-4)÷2=3，即可得．
【详解】（1）解：∵△ABF≌△CDE，
∴∠B=∠D，
∵∠B=40°，
∴∠D=∠B=40°，
∵∠DCF=30°，
∴∠EFC=∠B+∠DCF=40°+30°=70°；
（2）解：∵△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
即BE=DF，
∵BD=10,EF=4
∴BE=(10-4)÷2=3，
∴BF=BE+EF=7．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≅△DAE．
(1)求证：BC=DE+CE；
(2)当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，再求出答案即可；
（2）根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC≅△DAE，
∴AE=BC，AC=DE，
又∵AE=AC+CE，
∴BC=DE+CE；
（2）解：∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠E，
又∵△ABC≅△DAE，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB=∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠ACB=90°，
即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
24．（2023春·七年级单元测试）如图，已知△ABC≅△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上．
(1)若∠BED=140°，∠D=75°，求∠ACB的度数；
(2)若BE=2，EC=3，求BF的长．
【答案】(1)65°
(2)7
【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠F，然后再根据全等三角形的对应角相等即可解答；
（2）根据题意求出BC，再根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵∠BED=140°，∠D=75°，
∴∠F=∠BED-∠D=65°，
∵△ABC≅△DEF，
∴∠ACB=∠F=65°；
（2）解∵BE=2，EC=3，
∴BC=BE+EC=2+3=5，
∵△ABC≅△DEF，
∴EF=BC=5，
∴BF=EF+BE=5+2=7．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
25．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由BC=AB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE=CFAB=BC
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°．
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．