专题08 三角形有关的角-【一遍过】2023年暑假七年级升八年级数学考点衔接一遍过（人教版）（原卷版+解析版）

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（一）三角形的分类
（1）按角分类:
三角形 直角三角形
斜三角形 锐角三角形
钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
（2）按边分类:
三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
（二）三角形相关的角
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
新知训练
考点1：三角形的分类
典例1：（2022秋·辽宁抚顺·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中直角三角形有______个．
【变式1】（2022秋·山西朔州·八年级校考阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a-b+c-a2=0，若按边进行分类，则△ABC为______三角形．
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）三角形按边的关系可分为_________和___________，而等腰三角形又分
为___________________和_____________.三角形按内角大小可为___________、____________和_____________.
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是_________，钝角三角形有______个．
考点2：三角形的内角和定理
典例2：（2023春·七年级课时练习）如图，∠B=46°，∠A+10°=∠1，AB∥CD，则∠ACD=________°．
【变式1】（2022春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，直线l1∥l2，直线AB交l1，l2于D，B两点，AC⊥AB交直线l1于点C．若∠1=20°，则∠2=__________．
【变式2】（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平线，∠A=40º，∠BPC=________．
【变式3】（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）如图，∠1:∠2:∠3=1:3:6，则∠4=___________．
考点3：与平行线有关的内角和问题
典例3：（2023秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，已知l1∥l2，∠A=55°，∠2=105°，则∠1的度数为__________．

【变式1】（2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=160°，则∠B的度数为___________．
【变式2】（2022春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，直线AB∥EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点，若∠BCD=99°，∠CDE=21°，则∠DEF的度数为________．
【变式3】（2021春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知，AB//CD，点P是CD上一点，PM平分∠BPC,PN⊥PM交直线AB于点N，若∠ABP=∠CPM，则∠N的度数为_______°．
考点4：与角平分线有关的内角和问题
典例4：（2023春·江苏·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点P．若∠APC=130°，则∠B=_____°．
【变式1】（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B=60°，则∠DAE=___________度．
【变式2】（2022秋·宁夏中卫·八年级统考期末）如图，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ，已知∠A=70°，则∠F的度数为________．
【变式3】（2023春·七年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点，若∠A＝60° ，则∠P=_____．
考点5：与折叠有关的内角和问题
典例5：（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市南渝中学校校考期中）如图，点D、E分别在AB、AC上，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠BDF+∠FEC=100°，则∠A是___________°．
【变式1】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的A1处， 若∠A=30°，∠BDA1=80°，则∠CEA1=_________．
【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）在“妙折生平--折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B=30°，∠C=50°，点D是AB边上的固定点(BDc，则以a、b、c为边一定能组成三角形
【变式3】（2022秋·湖南怀化·八年级校考期中）三角形的一个外角等于___________．
考点9：外角的性质
典例9：（2023春·全国·七年级期中）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2022BC和∠A2022CD的平分线交于点A2023，则∠A2023=______．
【变式1】（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=______°（点A，B，P是网格线交点）．
【变式2】（2023春·江苏·七年级期中）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠C=50°，则∠CDO+∠CFO的度数为______．
【变式3】（2022秋·贵州铜仁·八年级校考期中）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，则∠1+∠2=___________．
新知检测
一、单选题
1．（2022春·河北唐山·七年级统考期中）如图，AB∥CD，DE⊥CE，若∠DCE=56°，则∠1的度数为（）
A．34°B．56°C．44°D．124°
2．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40∘，∠ACD=120∘，则∠A等于（ ）
A．80∘B．70∘C．60∘D．50∘
3．（2023秋·山东泰安·七年级校考阶段练习）一个三角形的三个内角中 （ ）
A．至少有一个钝角B．至少有一个直角
C．至多有一个锐角D．至少有两个锐角
4．（2022·河南·校联考模拟预测）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为（ ）
A．90°B．80°C．75°D．65°
5．（2022春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期中）如图①，一张四边形纸片ABCD，∠A=50°，∠C=150°，若将其按照图②所示方式折叠后，恰好MD'//AB，ND'//BC,则∠D的度数为( )
A．75°B．70°C．85°D．80°
6．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=80°，则∠BDC的度数是（ ）
A．110°B．100°C．120°D．130°
7．（2022春·重庆开州·七年级统考期末）如图，AB∥CD,DB⊥BC,∠1=35°，则∠2的度数是( )
A．35°B．50°C．55°D．60°
8．（2022春·四川达州·九年级专题练习）如图，已知直线a ∥ b，∠1＝50°，∠2＝20°，则∠3的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
9．（2022秋·八年级课时练习）如图，∠1=∠2=66°，∠3=36°则下列结论错误的是（ ）
A．∠CFE=∠2+∠CB．∠B=30°
C．AB∥CDD．∠1=∠C+∠3
10．（2022春·河南·九年级校考期中）若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO=α，∠DCO=60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°-αB．120°-αC．60°+αD．60°-α
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，若∠A=31°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（ ）
A．90°B．180°C．211°D．242°
13．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）
A．134°B．124°C．114°D．104°
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，∠A＝∠B，∠C＝α，DE⊥AC，FD⊥AB，则∠EDF等于( )
A．αB．90°－12αC．90°－αD．180°－2α
15．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB∥CD，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5°B．21°C．22.5°D．22°
二、填空题
16．（2023春·广西南宁·八年级南宁三中校考开学考试）ΔABC的三个内角之比为2:3:5，则此三角形是_________．
17．（2023秋·广东东莞·八年级统考期中）如图，已知∠ACB＝90°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝____°．
18．（2022春·河北沧州·七年级统考期末）如图，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为点F，∠ABG=40°，则∠CEF=________．
19．（2022春·四川成都·七年级校联考期末）如图所示，若∠1+∠2+∠3+∠4=250°，则∠5=______．
20．（2023春·天津红桥·七年级统考期中）如图，已知AB//CD，AD平分∠BAC，∠1=70°，则∠ADC的度数是________．
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，△ABC中，AG平分∠BAC，D在AB上，连接CD，延长AC至E，CF平分∠DCE与AG的延长线交于F，∠F=45°，∠BCD=21°，则∠B=______°．
22．（2023春·黑龙江·七年级统考期末）已知：AD，AE分别是ΔABC的高，角平分线，∠ABC=20°，∠ACD=60°，则∠EAD的度数为________________度.
23．（2022秋·广东东莞·八年级校联考期末）在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为_________．
24．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 _____．
25．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE=β．下列各式：①α＋β；②α﹣β；③β−α；④180°﹣α﹣β；⑤360°﹣α﹣β．以上结果可以作为∠AEC的度数的是___．（填序号）
三、解答题
26．（2022春·四川达州·七年级校考期中）如图，已知AB∥CD，若∠C=40°，∠E=20°，求∠A的度数．
27．（2022秋·河南许昌·八年级校考阶段练习）在△ABC中，∠B=∠A+16°，∠C=∠B+10°，求△ABC的各内角的度数．
28．（2023春·河南三门峡·七年级校考期中）如图，已知∠1+∠2=180°，且∠3=∠B．
（1）求证：∠AFE=∠ACB；
（2）若CE平分∠ACB，且∠2=110°，∠3=50°，求∠ACB的度数．
29．（2022秋·广西玉林·八年级统考期中）如图，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1=50°，∠2=60°，求∠A的度数．
30．（2023秋·辽宁抚顺·八年级校考阶段练习）在△ABC中，已知∠A比∠B的3倍小15°，∠C比∠B大10°，求△ABC各内角的度数．
31．（2023春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，点E是两条内角平分线的交点，点F是两条外角平分线，点A1是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点的交点．
（1）求∠A1EC的度数；
（2）求∠BFC的度数；
（3）探索∠A1与∠A的数量关系，并说明理由；
（4）若∠A=100°，在（3）的情况下，作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，以此类推，∠AnBC与∠AnCD的平分线交于点An，求∠An的度数．(直接写出结果)
32．（2021春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知：如图，△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE 是∠ABC 的平分线，若∠DAC=30°，∠BAC=80°，求：∠AOB 的度数．
33．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝36°，∠C＝70°．求∠EAD的度数．
34．（2023春·七年级课时练习）如图，已知PM∥AN，且∠A＝40°，点C是射线AN上一动点（不与点A重合），PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，交射线AN于点B，D．
(1)填空：∠APM的度数为______，∠BPD的度数为______；
(2)当点C运动到使∠PBA＝∠APD时，求∠APB的度数；
(3)在点C运动过程中，∠PCA与∠PDA之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．
35．（2023秋·湖北荆州·八年级校考期中）已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）
（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．