专题11 全等三角形的判定（SSS、SAS）-【一遍过】2023年暑假七年级升八年级数学考点衔接一遍过（人教版）（原卷版+解析版）

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（一）全等三角形的判定（SSS）
（1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
AB=A′B′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（二）全等三角形的判定（SAS）
（1）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如:
图12-2-5
在△ABC和△ABC′中,
AB=A′B′
∠A=∠A
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（3）特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满
足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的
顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
新知训练
考点1：用SSS证明三角形全等
典例1：（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，AD与BC交于点E，CE=DE，EA=EB，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．
【变式1】（2023春·七年级课时练习）已知：AC与BD交于点O，AB=CD，AD=CB．求证：OD=OB (规范证明过程)
证明：在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB______
∴∠ ______ =∠ ______
在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB______
∴OD=OB．
【变式2】（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，AE=FC．求证：△ABC≌△FDE．
【变式3】（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN.
考点2：全等的性质与SSS综合
典例2：（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）如图，AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E，由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中3个正确结论（不要添加字母和辅助线，并对其中一个给出证明）
结论1：
结论2：
结论3：
证明：
【变式1】（2022秋·青海西宁·八年级校考期中）如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：∠3=∠1+∠2．
【变式2】（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）华师大版初中数学教科书八年级上册第61-74页告诉我们作一个三角形与已角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
(1)在作图过程中创造的全等条件是 ．(填写全等的判定方法)
(2)如图，B、E、C、F在一条直线上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF．求证：∠A=∠D．
【变式3】（2022秋·山东威海·七年级统考期末）如图，点E在BD上，AE=CE，AB=BC．求证：AD=CD．
考点3：用SAS证明三角形全等
典例3：（2023秋·江苏常州·八年级统考期末）已知：如图，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD．求证：△AOD≌△BOC．
【变式1】（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，已知EC=BF，AC∥DF，AC=DF，求证：AB=DE．
【变式2】（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，已知：AD=BC，AD∥BC，E，F是AC上两点，且AF=CE．
求证：DE=BF．
证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠_______=∠_______（两直线平行，内错角相等）
∵AF=CE（已知）
∴（等式的基本性质）
即AE=CF
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（ ）
∴DE=BF（ ）
【变式3】（2023春·七年级课时练习）如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．
(1)求证：AC=DB；
(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度数．
考点4：全等的性质与SAS综合
典例4：（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，AC、BD交于M．
(1)如图1，当α=90°时，∠AMD的度数为 ；
(2)如图2，当α≠90°使，求证：△BOD≌△AOC；
(3)如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系?如果存在，请直接写出数量关系；若不确定，说明理由．
【变式1】（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=________度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整；写出此时α与β之间的数量关系，并说明理由．
【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC,CD上，BM=CN，连接AM,BN相交于H．
(1)求证：△ABM≅△BCN；
(2)求∠AHB的度数．
【变式3】（2023·安徽·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF=45°．
(1)若EA是∠BEF的角平分线，求证：FA是∠DFE的角平分线；
(2)若BE=DF，求证：EF=BE+DF．
新知检测
1．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
2．（2023秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，点E在线段AB上，若∠AED+∠BCE=52°，则∠ACD的大小为（ ）
A．25∘B．26∘C．27∘D．28∘
3．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期中）如图，AD，BC相交于点O，且AO＝DO，BO＝CO，则△ABO≌△DCO，理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
4．（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
下列关于小聪作法的理由，叙述正确的是（ ）
A．由SSS可得△O'C'D'≌△OCD，进而可证∠A'O'B'=∠AOB
B．由 SAS可得△O'C'D'≌△OCD，进而可证∠A'O'B'=∠AOB
C．由 ASA可得△O'C'D'≌△OCD ，进而可证∠A'O'B'=∠AOB
D．由“等边对等角”可得∠A'O'B'=∠AOB
5．（2023秋·八年级单元测试）如图,∠ABC=∠DCB=70°, ∠ABD=40°, AB=DC , 则∠BAC= （ ）
A．70°B．80°C．100°D．90°
6．（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）如图，已知AB=AD，BC=DE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，则∠EGF的度数为（ ）
A．120°B．135°C．115°D．125°
7．（2023春·七年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，点B到AC的距离为2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
8．（2022秋·八年级课时练习）图中是全等的三角形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁
9．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
10．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
11．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝7厘米，圆形容器的壁厚是（ ）
A．1厘米B．2厘米C．5厘米D．7厘米
12．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．两个等边三角形全等
B．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等
C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D．有一个锐角相等的两个直角三角形全等
13．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，在△PAB中，PA=PB，D、E、F分别是边PA、PB、AB上的点，且AD=BF，BE=AF．若∠DFE=34°，则∠P的度数为（ ）
A．150°B．112°C．120°D．146°
14．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤
15．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE=BC，连接DE．若∠ADE=30°，则∠ADB的度数是( )
A．60°B．71°C．75°D．76°
二、填空题
16．（2022·全国·八年级假期作业）如图，已知AD=BC，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC≌△BAD．
17．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB=AC，若使△ABD≌△ACD，则需要补充一个条件_____________．
18．（2023秋·福建福州·八年级阶段练习）如图，∠1=∠2，CD=BD，可证△ABD≌△ACD，则依据是_________．
19．（2023秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，为了测量池塘两端点A，B间的距离，小亮先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE．现测得DE=30米，则AB两点间的距离为__________米．
20．（2023春·七年级课时练习）如图，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，将CD绕D逆时针旋转90°至DE，连接AE，若AD=3，BC=5，则△ADE的面积是 _______．
21．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件___时，即可以根据“SSS”得到△ABC≌△FED．
22．（2023·全国·八年级假期作业）下列命题中逆命题成立的有_____（填序号）．
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③全等三角形的对应边相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
23．（2022秋·云南大理·八年级校考期中）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，AD=AC，BC=BD，∠C=∠D=90°，求证：△ABD≌△ABC”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是：_______（写出所有符合条件的结果）．
24．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）如图，已知：等边△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE=DC，CE，BD交于点F．过点E作EG⊥BD于G，则线段CF，FG和BD的数是关系用等式表示是____________．
25．（2023秋·八年级单元测试）如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AD=AB=6km，CD=CB=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l2的距离是________km．
三、解答题
26．（2023春·七年级课时练习）已知：三角形ABC中，AB=AC，证明：∠B=∠C．（取边BC中点D，连接AD）
27．（2023秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD．以CD为边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB＝2cm，求BE的长．
28．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．
求证：△ABC≌△ADC．
29．（2022秋·江苏·八年级专题练习）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．
30．（2023春·江苏·八年级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OE=OF，OB=OD．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)求证：BE∥DF．
31．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知：如图，BC=EF，AD=BE，AC=DF．求证：BC∥EF．
32．（2023春·全国·八年级专题练习）正方形ABCD的边长为4，点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC向点C运动．AE交BD于点F，DG⊥AE于点G，∠DGE的平分线GH分别交BD，CD于点P，H，连接FH，FC．设点E的运动时间为t．
（1）在点E的运动过程中，∠DHG与∠DFC有什么数量关系？请证明你的结论；
（2）当AE把正方形ABCD的面积分成1:2两部分时，请直接写出t的值．
33．（2022秋·福建厦门·八年级福建省厦门第二中学校考期中）已知：如图，点B、C、F、E在同一条直线上，AB=DE，BF=CE，∠B=∠E．求证：∠A=∠D．
34．（2023春·八年级课时练习）如图1，直线AB的解析式为y=kx+6，D点坐标为8,0，O点关于直线AB的对称点C点在直线AD上．
(1)求直线AB的解析式；
(2)如图2，在x轴上是否存在点F，使△ABC与△ABF的面积相等，若存在，求出F点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图3，过点G5,2的直线l:y=mx+b，当它与直线AB夹角等于45°时，求出相应m的值．
35．（2022秋·江苏南京·八年级南京师范大学附属中学江宁分校校考阶段练习）两个大小不同的等腰直角三角形的三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连结DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）判定BE和CD的位置关系，并说明理由．
已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≅△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C=BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B，A'C，则△A'B'C'即为所求作的三角形．