专题12 全等三角形的判定（AAS、ASA、HL）-【一遍过】2023年暑假七年级升八年级数学考点衔接一遍过（人教版）（原卷版+解析版）

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（一）全等三角形判定（AAS、ASA）
（1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（二）直角三角形的判定（HL）
（1）直角三角形全等
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
新知训练
考点1：用ASA、AAS证明三角形全等
典例1：（2023·广东广州·华南师大附中校考一模）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD=BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC.求证：AC=DF．
【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知：如图，E是BC上一点，∠BED=∠B+∠BCA，AB∥CD，BC=CD．求证：AC=ED．
【变式2】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．
【变式3】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
考点2：全等的性质与ASA、AAS综合
典例2：（2023·浙江温州·统考一模）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC，点E在线段BD上，∠A=∠DEC=90°，AB=CE．
(1)求证：△ABD≌△ECD；
(2)当∠DCB=55°时，求∠ABD的度数．
【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习） 已知：如图，在△ABC中，D是BC边中点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F，
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若AD=5，CE=2，求△ABC的面积．
【变式2】（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校考开学考试）
(1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
(2)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，A-1,0，C1,3，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，求点B坐标．
【变式3】（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD经过点E．求证：CE=DE．
考点3：用HL证明三角形全等
典例3：（2023春·七年级单元测试）如图，已知AD、BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
(1)求证：△ABM≌△DCN；
(2)试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
【变式1】（2023春·广东深圳·八年级统考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点F为BC延长线上一点，点E在AC上，且AF=BE．
(1)求证：△ACF ≌ △BCE；
(2)若∠ABE=23°，求∠BAF的度数．
【变式2】（2023春·七年级课时练习）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABF=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，且AB=AD，AC=AE，连接CD，EB．
(1)求证：∠CAD=∠EAB；
(2)试判断CF与EF的数量关系，并说明理由
【变式3】（2023秋·四川绵阳·八年级校考期末）已知：如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．
(1)求证：△ADE≅△BEC；
(2)若DE=10，试求△CDE的面积．
考点4：全等的性质与HL综合
典例4：（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图（1），AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC=DE，AC=CE．
(1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．
(2)如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．
【变式1】（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB=CD，BF=DE，BD交AC于点M．
(1)求证：AE=CF，MB=MD；
(2)当E，F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【变式2】（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF．
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若AC=20，BE=6，求AB的长．
【变式3】（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知：两个等腰直角三角板△ACB和△DCE（AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°）如图所示摆放，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE与BD有何关系并说明理由；
（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC＝DC），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
考点5：添加条件证明三角形全等
典例5：（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，若______________，则△ABC≌△DEF．请在给出的三个条件：①AB=DE，②AB∥DE，③AC=DF中选择合适的两个，补充在上面的问题中，并完成解答．
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，AB=DE，AC=AD．
(1)请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若∠CAD=66°，∠B=110°，求∠BAE的度数．
【变式2】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，在ΔAFD和ΔCEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD=CB；②AE=CF；③DF=BE；④DA∥BC．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．
条件为： （填序号）．
结论为： （填序号）．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
(1)若要使ΔACD≌ΔEBD，应添上条件： ；
(2)证明上题；
(3)在△ABC中，若AB＝5，AC=4，可以求得BC边上的中线AD的取值范围是 ．
新知检测
一、单选题
1．（2023秋·云南昭通·八年级统考期中）下列条件中，能判定两个三角形全等的是（ ）
A．有三个角对应相等B．有两条边对应相等
C．有两边及一角对应相等D．有两角及一组等角所对的一边对应相等
2．（2022秋·河北保定·八年级统考期中）如图，用纸板挡住部分三角形后，能用尺规画出与此三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
A．ASAB．AASC．SASD．HL
3．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=BEB．DB=DEC．AE=BDD．∠BCE=∠ACE
4．（2023秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为点E，F，且 CE=DF，AC=BD，那么 Rt△AEC≌Rt△BFD 的理由是（ ）
A．HLB．SSSC．SASD．AAS
5．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期中）如图，在ΔABC 和ΔDEF 中，∠A=∠D，∠B=∠DEF，要使△ABC≌△DEF，需要添加下列条件中的（ ）
A．AB=EFB．AC=DEC．BC=DFD．AB=DE
6．（2022秋·甘肃平凉·八年级校联考期中）如图，AB=CD，AD=CB，AC、BD相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
7．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，AC与BD相交于点O，AB=DC，要使△ABO≌△DCO，则需添加的一个条件可以是（ ）
A．OB=OCB．∠A=∠DC．OA=ODD．∠AOB=∠DOC
8．（2022秋·山东聊城·八年级统考期中）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=7，CF=4，则BD的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
9．（2023春·八年级单元测试）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DFB．AE∥CFC．AE=CFD．∠1=∠2
10．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长线于点E，AB=5，AC=7，则AD的取值不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．（2022秋·河北沧州·八年级统考期中）如图，在△AED和△CFB中，已知BE＝DF，添加下列一组条件后，不能判定△AED≌△CFB的是（ ）
A．BC＝AD，CF＝AEB．∠B＝∠D，CF＝AE
C．BC＝AD，∠B＝∠DD．∠B＝∠D，∠C＝∠A
12．（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在河岸BF上取两点C、D；使CD=BC，再作DE⊥BF，垂足为D，使A、C、E三点在一条直线上，测得ED=20米，因此AB的长是（ ）
A．10米B．20米C．30米D．40米
13．（2023秋·八年级单元测试）如图，已知∠ADB＝∠ADC，欲证△ABD≌△ACD，还必须从下列选项中选一个补充条件，则错误的选项是( )
A．∠BAD＝∠CADB．∠B＝∠CC．BD＝CDD．AB＝AC
14．（2023秋·江苏无锡·八年级宜兴市树人中学校考阶段练习）如图，要判定△ABD≌△ACD，已知AB＝AC，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）
A．CD⊥AD，BD⊥ADB．CD＝BDC．∠1＝∠2D．∠CAD＝∠BAD
15．（2023春·云南文山·八年级统考期末）下列说法正确的个数有（ ）
①x2+kx+9是完全平方式，则k=±6；②分别以9cm，12cm，15cm为边长的三角形是直角三角形；③一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；④一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
16．（2023秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，已知OA=OB，请添加一个条件使得△AOD≌△BOC，则可添加的条件是_______________________ ．（只填一个即可）
17．（2023秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，已知∠ABC＝∠ABD，要使△ABC≌△ABD，请添加一个条件__________．
（不添加辅助线，只需写出一个条件即可）
18．（2023秋·广西河池·八年级统考期中）如图，已知CD＝FB，AC＝EF，要使△ABC≌△EDF，应添加的一个条件是 ___．
19．（2023春·七年级单元测试）下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.
20．（2023秋·江苏无锡·八年级阶段练习）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是__________．
21．（2023秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，已知ΔABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和ΔABC全等的图形是______.
22．（2023秋·湖南娄底·八年级统考期末）已知如图，在△ABF和△DEC中，∠A=∠D，AB=DE，若再添加条件_____=_____，则可根据SAS证得△ABF≌△DEC．
23．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，A2，5，则B的坐标是______．
三、解答题
26．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，A，B，D依次在同一条直线上，在AD的同侧作∠A=∠D=90∘，AC=BD，∠ABC=∠DEB． 求证△ABC≌△DEB．
27．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．
28．（2022秋·浙江·八年级期末）已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠AED，BC＝ED．
求证：AB＝AE．
29．（2023秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．
求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）AB＝AC．
30．（2023·河北保定·统考一模）如图，∠BCD=90°，BC=DC，直线PQ经过点D．设∠PDC=α（45°