北师大版 (2019)必修 第一册一元二次函数课堂教学ppt课件

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一、二次函数的配方法【问题思考】1.y=4x2-4x-1如何配方?你能由此求出方程4x2-4x-1=0的根吗?
由此可得二次函数的值域、顶点等性质,y=ax2(a≠0)与y=ax2+bx+c(a≠0)图象间的关系以及二次方程求根公式等.所以配方法是非常重要的数学方法.
3.做一做:若抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在y轴上,则m的值为(　　)A.-3B.3C.-2D.2
二、一元二次函数图象的变换【问题思考】1.y=2x2和y=2(x+1)2+3的图象之间有什么关系?提示:由y=2x2的图象经过向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可以得到函数y=2(x+1)2+3的图象.2.一元二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线,可以由y=ax2(a≠0)的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
3.做一做:一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到的新图象的二次函数是(　　)A.y=x2B.y=2x2+2C.y=4x2D.y=2x2-2解析:将一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到的新图象的解析式为y=4x2.答案:C
三、一元二次函数解析式的三种形式【问题思考】1.我们知道y=x2-2x=(x-1)2-1=x(x-2),那么点(1,-1),数0,2与y=x2-2x有什么关系?提示:点(1,-1)是函数y=x2-2x的图象的顶点,0和2是函数的图象与x轴的交点的横坐标.
2.抽象概括(1)一元二次函数的一般式:y= ax2+bx+c (a≠0).(2)如果已知一元二次函数的顶点坐标为(-h,k),则可将一元二次函数设为y= a(x+h)2+k(a≠0) .(3)如果已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2(即抛物线与x轴交点的横坐标),可设一元二次函数为y= a(x-x1)(x-x2)(a≠0) .
3.做一做:一元二次函数的顶点坐标是(2,3),且经过点(3,1),则这个一元二次函数的解析式为　　　　　　　　　　. 解析:设y=f(x)=a(x-2)2+3,则f(3)=a(3-2)2+3=a+3=1,得a=-2,得y=-2(x-2)2+3.答案:y=-2(x-2)2+3
四、一元二次函数的性质【问题思考】1.填表.
2.做一做:若函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)A.{-3}B.(-3,+∞)C.(-∞,-3]D.[-3,+∞)解析:由函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上单调递减,结合图象(图略)知-(2a-1)≥7,所以a≤-3.答案:C
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)一元二次函数y=2x2与y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向相反.( √ )(2)函数y=2(x-1)2+1的图象可由函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.0( √ )
探究一 求一元二次函数的解析式
【例1】 已知一元二次函数的图象过点(2,-1)和(-1,-1),且它的最大值为8,求一元二次函数的解析式.
求一元二次函数的解析式,应根据已知条件的特点,灵活运用解析式的形式,选取最佳形式,利用待定系数法求解.当已知抛物线上任意三点时,设一般式;已知抛物线的顶点坐标常设顶点式;已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,常设两根式.
【变式训练1】 已知一元二次函数的图象的对称轴是直线x=-1,并且经过点(1,13)和(2,28),求一元二次函数的解析式.
探究二 一元二次函数的单调性
【例2】 函数y=x2+bx+c在区间(-∞,1)上随x的增大而减小,则实数b的取值范围是　. 
答案:(-∞,-2]
二次函数的单调性取决于两点:(1)图象的开口方向;(2)对称轴的位置.在解题时可借助图象进行分析.
【变式训练2】 已知函数y=x2+(a+1)x+1在区间[-1,1]上为单调函数,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　. 
答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)
探究三 一元二次函数的最值
【例3】 已知函数y=f(x)=x2-4x-4.若x∈[3,4],求函数f(x)的最值.分析:先配方→结合一元二次函数的图象和已知求解解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8的图象开口向上,对称轴为直线x=2,所以当x∈[3,4]时,函数y=x2-4x-4单调递增,所以当x=3时,f(x)取得最小值9-12-4=-7,当x=4时,f(x)取得最大值16-16-4=-4.
1.本例中将定义域“[3,4]”改为“[-3,4]”,其他条件不变,求函数y=f(x)的最值.解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8在区间[-3,2]上单调递减,在区间[2,4]上单调递增,所以f(x)的最小值为-8.又因为x=-3时,y=17,x=4时,y=-4,所以f(x)的最大值为17.
2.本例中函数不变,将问题变为:若函数y=f(x)=x2-4x-4在区间(-∞,1]上单调,求函数y=f(x)的最值.解:因为函数y=f(x)的图象为开口向上的抛物线,对称轴为直线x=2,所以函数y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减.所以ymin=12-4×1-4=-7,无最大值.综上,y的最小值为-7,无最大值.
解法1:y>0对∀x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对∀x∈[1,+∞)恒成立.设g(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞),则问题转化为g(x)>0在x∈[1,+∞)上恒成立,又g(x)在区间[1,+∞)上单调递增,从而g(x)min=3+a.于是当且仅当g(x)min=3+a>0,即a>-3时,g(x)>0对x∈[1,+∞)恒成立,故实数a的取值范围是(-3,+∞).
解法2:y>0对∀x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对∀x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x对x≥1恒成立.令μ=-x2-2x=-(x+1)2+1,其在区间[1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,μ取得最大值,μmax=-3.因此a>-3.故实数a的取值范围是(-3,+∞).
忽视对参数的讨论致误【典例】 已知一元二次函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.错解 由题意,可知该函数的图象为开口向下的抛物线,对称轴为直线x=a,所以x=a时,y取最大值,ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1.综上所述,a=2或a=-1.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:本题有两处错误:(1)忽视了函数在区间[0,1]上取最大值3;(2)没有讨论对称轴是不是在区间[0,1]上.
正解:由题意,可知该函数的图象的对称轴为直线x=a,当a≤0时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而减小,则函数在x=0处取得最大值,即ymax=1-a=3,得a=-2,满足a≤0,所以a=-2符合条件;当0