高中数学北师大版 (2019)必修 第一册一元二次函数单元测试当堂检测题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册一元二次函数单元测试当堂检测题，共8页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，在上定义运算，《几何原本》卷的几何代数法，与不等式的解集相同的不等式有，设，，给出下列不等式恒成立的是等内容，欢迎下载使用。
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修2019第二单元 一元二次函数、方程与不等式。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
本题可将转化为，通过解即可得出结果.
【详解】
，即，，
则，解得或，
故不等式的解集为，
故选：B.
2．若，则下列关系一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用基本不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得到答案；
【详解】
对A，当，故A错误；
对B，当时，，故B错误；
对C，同向不等式的可加性，故C正确；
对D，若，不等式显然不成立，故D错误；
故选：C.
3．不等式的解集是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
的两根为，，
所以原不等式的解集为：，
故选：D.
4．不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据不等式的解集求出参数，从而可得，根据该形式可得正确的选项．
【详解】
因为不等式的解集为，
故，故，故，
令，解得或，
故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为，
故选：C．
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】
由题意得：不等式的解为或，
根据充分、必要条件的定义可得“或”是“”必要不充分条件.
故选：B
6．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据新定义，整理可得恒成立，在上的最小值为，所以，即可得解.
【详解】
由，
则即，
所以恒成立，
在上的最小值为，
所以，
整理可得，
解得，
实数的最大值为，
故选：D
7．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分，两种情况，当，对恒成立，当时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.
【详解】
当时，原不等式可化为，对恒成立；
当时，原不等式恒成立，需，
解得，
综上.
故选：D
8．《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
计算出和，由可得出合适的选项.
【详解】
由图形可知，，，
由勾股定理可得，
在中，由可得.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．与不等式的解集相同的不等式有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】
解出各选项中的不等式，即可得出结论.
【详解】
对于不等式，，故不等式的解集为.
对于A选项，不等式可变形为，解得或；
对于B选项，不等式即为，，故不等式的解集为；
对于C选项，不等式等价于，C选项满足条件；
对于D选项，对于不等式，，故不等式的解集为.
故选：CD.
10．设，，给出下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
选项A，B可用作差法比较大小；选项C，D可用基本不等式求范围.
【详解】
由可得，故A正确；
由可得，故B错误；
由，当且仅当时取等号，故C正确；
由，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
11．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】
讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.
【详解】
由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.
故选：AB.
12．对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】
根据不等式的性质和反比例函数单调性可确定正确；通过反例可知错误.
【详解】
对于，在上单调递减，当时，，正确；
对于，当时，；当时，，则时，；
综上所述：若，则，正确；
对于，若，则，，，正确；
对于，若，则，，不满足，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．若，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】
由，结合基本不等式即可.
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当即时，取等号成立.
故的最小值为，
故答案为：
14．不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】
直接解一元二次不等式即可
【详解】
解：由，得，
，得，
所以不等式的解集为，
故答案为：
15．已知，则的最小值为______.
【答案】7
【分析】
配凑出定值，用基本不等式求得最小值．
【详解】
∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，解题关键是凑配出积为定值．注意条件：一正二定三相等．
16．若不等式对一切恒成立，则的最小值是__________．
【答案】.
【分析】
分离参数，将问题转化为求函数最大值的问题，则问题得解.
【详解】
不等式对一切成立，
等价于对于一切成立．
设，则．
因为函数在区间上是增函数，
所以，所以，所以的最小值为．
故答案为：.
【点睛】
本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解下列不等式：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）当时原不等式的解集为，当时原不等式的解集为，或，当时原不等式的解集为，或．
【分析】
（1）将一元二次不等式化简，将左边配成完全平方式，即可得出不等式的解集；
（2）由题意，一元二次不等式所对应的一元二次方程的两个根为 和1，分类讨论和1的大小，从而求得它的解集．
【详解】
解：（1）因为，所以，即，所以，即原不等式的解集为
（2）的不等式：，即，
此不等式所对应的一元二次方程的两个根为和1．
当，即时，此时不等式即，它的解集为；
当，即时，它的解集为或；
当，即时，它的解集为或．
综上可得：当时原不等式的解集为，当时原不等式的解集为或，当时原不等式的解集为或．
18．设集合，．
（1）若集合，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由判别式小于0可得；
（2）题意说明，即在上恒成立，分离参数后，由基本不等式求得函数的最小值可得结论．
【详解】
解：（1）∵，∴，∴，
（2）∵是的必要条件，∴，
∵，∴，，
∵，当且仅当，即时取等号，
∴，∴．
19．已知不等式的解集为．
（1）解不等式；
（2）b为何值时，的解集为R？
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）由已知条件结合韦达定理可求出的值，进而求出一元二次不等式求其解集；
（2）由（1）得的解集为，所以判别式小于等于零，可求出的范围.
【详解】
（1）由题意知且－3和1是方程的两根，
∴
解得.
∴不等式，即为，
解得或.
∴所求不等式的解集为或；
（2），即为，
若此不等式的解集为，则，
解得.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法和由一元二次不等的解集求参数，考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了计算能力，属于中档题.
20．已知正数满足．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据基本不等式，求的最大值；
（2）利用，展开求式子的最小值.
【详解】
（1），
，
，
当时等号成立，
的最大值是；
（2） ，
等号成立的条件是
，解得：，，
所以，当，时，的最小值是.
【点睛】
本题考查根据基本不等式乘积的最大值和求和的最小值，意在考查公式的熟练掌握，以及转化与计算能力，属于基础题型.
21．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
【答案】（1）长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元；（2）长为16米，宽为米时，总造价最低，为38882元．
【分析】
（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．设污水处理池的宽为x米，则长为米．依题意求出总造价，再根据基本不等式可求得结果；
（2）根据题意得到，再根据g（x）＝x（），在[，16]上是增函数，可求得结果.
【详解】
（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．
则总造价f（x）＝400×（2x）+248×2x+80×162＝1296x12960
＝1296（x）+12960≥1296×212960＝38880（元），
当且仅当x（x＞0），即x＝10时，取等号．
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．
（2）由限制条件知，∴．
设g（x）＝x（），
由对勾函数性质易知g（x）在[，16]上是增函数，
∴当x＝时（此时16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值1296×（）+12960＝38882（元）．
∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查了对勾函数的单调性，属于中档题.
22．已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
【分析】
(1)由已知可得的两个根为1和2，将根代入方程中即可求出的值.
(2)代入，分，，三种情况进行讨论求解.
【详解】
（1）由条件知，关于的方程的两个根为1和2，
所以，解得．
（2）当时，，即，
当时，解得或；当时，解得；
当时，解得或．
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【点睛】
本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数值，考查了含参一元二次不等式的求解，属于基础题.