高中北师大版 (2019)第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.1 一元二次函数教案及反思

这是一份高中北师大版 (2019)第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.1 一元二次函数教案及反思，共12页。教案主要包含了复习引入，探究新知，初步应用，归纳小结，布置作业，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1．熟练掌握二次函数一般形式和顶点形式，及利用配方法化二次函数一般式为顶点式的方法；掌握二次函数与的图象变换方法，并由二次函数图象得到其相关性质．
2．利用函数解决相关数学问题，体会数学内容之间的内在联系，提高学生直观想象与数学运算素养．
教学重难点
重点：1．二次函数的平移变化；
2．二次函数的图象性质．
难点：探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移变换规律求函数解析式，并把平移变换规律迁移到其他函数．
课前准备
PPT课件
教学过程
一、复习引入
问题1：在初中，我们学习了一元二次函数.二次函数解析式都有哪些形式？二次函数的图象是什么形状？怎么画二次函数图象？
师生活动：学生在教师的引导下，思考并作出解答.
预设的的答案：函数称为一元二次函数的一般式，函数称为一元二次函数的顶点式，其中点为抛物线的顶点.函数称为一元二次函数的交点式，仅限于与轴有交点的抛物线.
设计意图：教师通过回顾和设置疑问，将学生吸引到本节课的内容当中.
二、探究新知
实践1：在同一坐标系中做出下列函数的图象； ； ；
师生活动：学生作图过程中，教师提醒学生注意与的图象具有怎样的对称性，以便提高作图的速度.学生作完图后，教师要学生观察图象讨论提出的问题，回答问题.教师借助多媒体手段，展示函数图象随值变化的过程.
★资源名称： 【数学探究】二次函数图象与系数关系
★使用说明：本资源为《二次函数图象与系数关系》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，直观观察二次函数图象与系数关系．
注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．
预设的的答案：
（1） 对，，抛物线开口向上，区间（，0]上，函数值随自变量的增大而减小；在区间上，函数值随自变量的增大而增大；函数在处有最小值，记作.，抛物线开口向下；在区间（，0]上，函数值y随自变量x的增大而增大； 在区间上，函数值随自变量的增大而减小；函数在处有最大值，记作：.
（2）与关于轴对称.
(3)三个图象都关于轴对称.
(4)开口大小偏小，，开口大小偏大.
（5）二次函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到 ；二次函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的－2倍，得到 .
设计意图：通过做图，让学生在做图的过程中观察函数的性质以及各个函数之间的联系，归纳出二次项系数和函数图象开口大小的关系.
追问1：由的图象如何得到的图象？
预设的的答案：次函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到 的图象 .
追问2：的图象有什么性质？
预设的的答案：
（1）对于当时，抛物线开口向上，区间（，0]上，函数值y随自变量的增大而减小；在区间上，函数值随自变量的增大而增大；函数在处有最小值，记作.当时，抛物线开口向下；在区间（，0]上，函数值y随自变量x的增大而增大； 在区间上，函数值随自变量的增大而减小；函数在处有最大值，记作：
（3）抛物线开口向下中的越大，抛物线张口越小.
追问3：的图象与的图象有什么内在关系？
一般地，
所以，与关于轴对称.
设计意图：对函数性质的研究，从特殊到一般，更容易接受与理解.
实践2：在同一坐标系中做出下列函数的图象： ；； .
设计意图：通过图象的变换总结出各个不同函数之间变换的规律，观察并总结一元二次函数图象的性质.
师生活动：小组各成员之间合作交流，共同总结，之后教师进行点评和补充．
★资源名称： 【数学探究】二次函数的平移
★使用说明：本资源为《二次函数的平移》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，观察并总结一元二次函数图象的性质．
注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．
预设的答案：向左平移1个单位得到，再向上平移3个单位得到+3；向右平移一个单位得到，再向下平移3个单位得到.
追问4：一元二次函数有哪些性质？
预设的答案：
一元二次函数有如下性质：
（1）函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是对称轴是直线；
（2）当时，抛物线开口向上，区间上，函数值y随自变量的增大而减小；在区间上，函数值随自变量的增大而增大；函数在处有最小值，记作.当时，抛物线开口向下；在区间上，函数值随自变量的增大而增大； 在区间上，函数值随自变量的增大而减小；函数在处有最大值，记作：.
(3)一般地，抛物线的图象，可以由得图象移动而得到，当时，向左平移 QUOTE 个单位长度，当时，向右平移个单位长度.的图象可以由平移得到，当时，向上平移个单位长度，当时，向下平移个单位长度.
动动手：将下列二次函数进行配方
预设的答案：
师生活动：学生完成二次函数配方练习，教师引导学生归纳做题的一般方法.
一般地，一元二次函数的一般形式化成顶点式的方法——配方法；

一元二次函数的顶点为
设计意图：为引入函数的一般式做铺垫.
问题2：由图象如何得到的图象？
预设的答案：
二次函数图象的变换规律：
当时，向左平移个单位长度．
当时，向右平移 QUOTE 个单位长度
当时，向上平移 QUOTE 个单位长度
当时，向下平移个单位长度
写成一般形式
二次函数图象的变换原则 ：
左右平移的原则：“左加右减”，上下平移的原则：“上加下减”
设计意图：遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，做到重点突出，使学生对难点的掌握更容易.
问题3：如何作出二次函数的图象？
因为二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
设计意图：引导学生对一元二次函数图象的画法有整体的把握，利用函数图象研究函数性质更形象，更直观， 同时体现了数形结合的思想方法.
追问5：一元二次函数有哪些性质？
预设的答案：
（1）一元二次函数的图象是一条抛物线
当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下
抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线
（2）若，抛物线开口向上
在区间上，函数值随自变量的增大而减小．
在区间上，函数值随自变量的增大而增大．
当时，函数取得最小值，记作.
（的情况同学们自行完成）
设计意图：对一元二次函数的图象性质有了整体的认识.
三、初步应用
例1.已知一元二次函数.
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
师生活动：学生自主思考，教师引导学生规范作答.
预设的答案：
解：（1）由配方法
函数的图象即
（2）函数图象开口向上，对称轴为；
在区间上，函数值随自变量的增大而减小，在区间上，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数取得最小值3，即
设计意图：巩固一元二次函数的性质以及函数的平移变换.
课堂练习
画出二次函数，的图象，求一下它们的开口方向、对称轴和顶点.
预设的答案：
解：如图所示

抛物线的开口向下，对称轴是进过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，记为，顶点是；抛物线的开口向下，对称轴是，顶点是.
追问6：抛物线经过怎样的变换可以得到抛物线？
求一下抛物线的开口方向、对称轴和定点坐标.
预设的答案：
解：抛物线的开口方向向下、对称轴是，顶点是.
把抛物线向下平移1个单位，再向左平移1个单位，就得到抛物线
【课堂练习一】
1．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
师生活动：学生独立完成，口头回答.
预设的答案：C
抛物线向左平移2个单位得到抛物线．
再向上平移3个单位得到抛物线.故选：C.
设计意图：检验一元二次函数图象平移变换的学习效果.
【课堂练习二】
2．已知二次函数
的图象如图所示，有下列四个结论：
①
②
③
④．
其中所有正确结论的序号有_______
师生活动：学生独立完成，小组合作讨论，核对答案.
预设的答案：① ② ③
根据图象开口向下，∴；
∵，①正确；
∵图象与轴有两个交点，∴，②正确；
∵，∴③正确；
∵，∴④不正确．
故答案是①②③
设计意图：考查一元二次函数的图象特征与系数的关系，属于基础题.
四、归纳小结，布置作业
问题4：本节课你学到了什么知识？用到了哪些数学思想方法？
预设的答案：
1.到平移变换的步骤；
2.的作图步骤；
3.二次函数的性质（1）开口方向；（2）顶点坐标；（3）对称轴；（4）增减性；（5）最大值或者最小值.
作业布置：教材第33页练习1，2.
五、目标检测设计
1、已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
设计意图：一元二次函数图象的性质及图象的平移变换.
已知二次函数图象过点，图象向左平移2个单位后关于轴对称，向下平移1个单位后与轴只有一个交点，求二次函数的函数式.
设计意图：一元二次函数解析式的求法.
参考答案：
2、由题意，变换后的函数图象关于轴对称，又与轴只有一个交点，所以顶点就在原点.设此时的函数为，向上平移1个单位为，再向右平移2个单位为，即为原来的二次函数，其图象过点，代入，得 .故次函数为，即.

的图象
.
的图象
的图象
.
的图象
的图象
的图象
的图象