2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练44 椭圆（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练44 椭圆（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于( )
A.72B.32C.3D.4
答案:A
解析:由已知得F1(-3,0),∵PF1⊥x轴,
∴P(-3,±12),∴|PF1|=12,又|PF1|+|PF2|=4,∴|PF2|=4-12=72.
2.已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,过椭圆C的下顶点且斜率为34的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切,则椭圆C的离心率为( )
A.55B.12C.33D.22
答案:A
解析:由已知得过椭圆C的下顶点(0,-b)且斜率为34的直线的方程为y=34x-b,即34x-y-b=0,点F(c,0),则c=34c-b342+1,
即(2c-b)(c+2b)=0,因为b>0,c>0,所以b=2c.
又a2=b2+c2,a>0,所以a=5c,
所以e=ca=55.
3.已知F1,F2分别为椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l平分∠F1PF2的外角,过点F2作直线l的垂线,垂足为M,则|OM|=( )
A.10B.8C.5D.4
答案:C
解析:如图,设F1P的延长线与直线F2M交于点Q.
由直线l平分∠F1PF2的外角,l⊥F2Q,可得|PQ|=|PF2|,M为F2Q的中点.
又O为F1F2的中点,所以|OM|=12|F1Q|.
由椭圆的定义,可知|F1Q|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|OM|=5.
4.设F1,F2为椭圆x24+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,PF1·PF2的值为( )
A.0B.2C.4D.-2
答案:D
解析:根据题意可知,当P,Q分别在椭圆短轴端点处时,四边形PF1QF2的面积最大.不妨令P(0,1),
∵F1(-3,0),F2(3,0),
∴PF1=(-3,-1),PF2=(3,-1),
∴PF1·PF2=-2.
5.(多选)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )
A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12
D.若PF1=F1Q,则椭圆C的长轴长为5+17
答案:ACD
解析:由|F1F2|=2可得F2(1,0),所以PF2⊥x轴.
A中,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|=2a-(|QF2|-|QP|)≥2a-|PF2|=2a-1,当且仅当Q,P,F2三点共线且点Q在第一象限时,取到最小值为2a-1,所以A正确.
B中,因为P在椭圆内,所以b>1,短轴长2b>2,故B不正确.
C中,因为P在椭圆内,所以长轴长2a>|PF1|+|PF2|=1+5,所以离心率e=2c2ab>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为43的等边三角形,则椭圆C的方程为 .
答案:x29+y26=1
解析:∵△F2AB是面积为43的等边三角形,
∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可得|F1A|=|F1B|=b2a.
又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,
∴b2a=33×2c.①
又S△F2AB=12×2c×2b2a=43,②
a2=b2+c2,③
由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,
∴椭圆C的方程为x29+y26=1.
7.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-2,0),且四边形ABCD的面积为163,则椭圆C1的离心率e为 .
答案:22
解析:联立x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1,两式相减得x2-y2a2=x2-y2b2,又a≠b,所以x2=y2=a2b2a2+b2,
故四边形ABCD为正方形,其面积为4a2b2a2+b2=163.(*)
由题意知a2=b2+2,将其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,所以a2=4,所以椭圆C1的离心率e=22.
8.已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m与PF1交于点M.求点M的轨迹方程.
解:由题意得F1(-1,0),F2(1,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4>|F1F2|,
所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
其中长轴长为4,焦距为2,则短半轴长为3,
所以点M的轨迹方程为x24+y23=1.
9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
解:椭圆方程可化为x2m+y2mm+3=1,m>0.
∵m-mm+3=m(m+2)m+3>0,∴m>mm+3.
∴a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3.
由e=32,得m+2m+3=32,∴m=1.
∴椭圆的标准方程为x2+y214=1,∴a=1,b=12,c=32.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标分别为F1(-32,0),F2(32,0),四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,-12),B2(0,12).
二、综合应用
10.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1的离心率为e1,双曲线C2:x2a2-y2b2=1的离心率为e2,其中,a>b>0,e1e2=33,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为( )
A.x22+y2=1B.x24+y22=1
C.x26+y23=1D.x216+y28=1
答案:C
解析:椭圆C1:x2a2+y2b2=1的离心率e1=c1a=1-b2a2,双曲线C2:x2a2-y2b2=1的离心率e2=c2a=1+b2a2,由e1e2=33,得1-b2a21+b2a2=33,则a=2b.由x2+2y2-2b2=0,x-y+3=0,得3x2+12x+18-2b2=0,由Δ=122-4×3×(18-2b2)=0,解得b2=3,则a2=6,故椭圆C1的方程为x26+y23=1.故选C.
11.(多选)设椭圆的方程为x22+y24=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列说法正确的是( )
A.直线AB与OM垂直
B.若点M的坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0
C.若直线方程为y=x+1,则点M的坐标为(13,43)
D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=423
答案:BD
解析:对于A选项,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则M(x1+x22,y1+y22).
由已知得x122+y124=1,x222+y224=1,两式相减,整理得y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-2,即kAB·kOM=-2≠-1,
故选项A错误.
对于B选项,因为kAB·kOM=-2,kOM=1,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选项B正确.
对于C选项,若直线方程为y=x+1,点M(13,43),则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以选项C错误.
对于D选项,直线方程为y=x+2,与椭圆方程x22+y24=1联立,得到2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-43,所以|AB|=-43-02+23-22=423,故选项D正确.
12.(多选)设椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的动点,则下列结论正确的是( )
A.离心率e=32
B.|PF2|的最大值为3
C.△PF1F2的面积的最大值为23
D.|PF1+PF2|的最小值为2
答案:AD
解析:因为椭圆C:x24+y2=1,所以a=2,b=1,c=a2-b2=3,所以e=ca=32.故A正确.
设点P(x,y),则PF2=(3-x,-y),
因为点P在椭圆C上,
所以|PF2|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+1-x24=3x24-23x+4.
因为-2≤x≤2,所以当x=-2时,|PF2|2最大,即|PF2|最大,此时|PF2|max=2+3.故B错误.
因为S△PF1F2=12×2c·|y|=3|y|,所以当|y|最大时,△PF1F2的面积最大.
又-1≤y≤1,所以当y=±1时,△PF1F2的面积取得最大值,为3.故C错误.
设坐标原点为O,则|PF1+PF2|=2|PO|=2x2+y2=23x24+1.
因为-2≤x≤2,所以1≤3x24+1≤4,
所以2≤|PF1+PF2|≤4.故D正确.故选AD.
13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,短轴长为2,点P为椭圆上任意一点,则1|PF1|+4|PF2|的最小值是 .
答案:94
解析:据题意ca=32,b=1,a2=b2+c2,解得a=2,c=3,于是|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以1|PF1|+4|PF2|=14(1|PF1|+4|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=14(5+|PF2||PF1|+4|PF1||PF2|)≥94,当且仅当|PF2|=2|PF1|,即|PF2|=83,|PF1|=43时,等号成立.
14.(2023广东江门一模)黄金椭圆是一条优美曲线,生活中许多椭圆形的物品,都是黄金椭圆,它完美绝伦,深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质:①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点;②长轴长、短轴长、焦距依次组成等比数列.根据以上信息,黄金椭圆的离心率为 .
答案:-1+52
解析:设左顶点A(-a,0),上顶点B(0,b),
则直线AB的方程为bx-ay+ab=0,
以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点,
则原点到直线AB的距离aba2+b2=c,即a2b2=a2c2+b2c2,即(a2-c2)b2=a2c2,
即b4=(ac)2,所以b2=ac.
长轴长、短轴长、焦距依次组成等比数列,
则(2b)2=2a×2c=4ac,
所以b2=ac.
综上,b2=ac,即a2-c2=ac,
两边同除以a2得1-e2=e,又00)的左焦点为F,经过原点的直线与椭圆C交于A,B两点,总有∠AFB≥120°,则椭圆C离心率的取值范围为 .
答案:(0,12]
解析:如图所示,设椭圆的右焦点为E,则四边形AFBE是平行四边形,
∵∠AFB≥120°,
∴∠FAE≤60°.
设|AE|=m,|AF|=n,由椭圆的定义可知,m+n=2a,
则mn≤(m+n)24=a2.
在△AFE中,由余弦定理知,cs∠FAE=m2+n2-EF22mn=(m+n)2-2mn-EF22mn=4a2-4c22mn-1=2(a2-c2)mn-1≥2(a2-c2)a2-1=1-2e2.
∵∠FAE≤60°,
∴cs∠FAE∈[12,1),
∴1-2e2≥12,
∴e2≤14.
又00)上两点.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过点P的直线l交椭圆C于另一点B,且△ABP的面积为9,求直线l的方程.
解:(1)将点A(0,3),P(3,32)的坐标分别代入椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的方程,得0a2+9b2=1,9a2+94b2=1,得a2=12,b2=9,
所以a=23,c2=a2-b2=12-9=3,
所以c=3,
所以离心率e=ca=323=12.
(2)由(1)知椭圆C的方程为x212+y29=1.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,B(3,-32),|PB|=3,点A到直线PB的距离d=3,
此时S△ABP=12×3×3=92≠9,不满足条件.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-32=k(x-3).
联立直线l与椭圆C的方程,得y=k(x-3)+32,x212+y29=1,
消去y,得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0.
设点B(x0,y0),
则3+x0=24k2-12k4k2+3,3x0=36k2-36k-274k2+3.
所以|PB|=1+k2|x0-3|=1+k2·(x0+3)2-4×3x0=6k2+1|2k+3|4k2+3.
又点A到直线l的距离d=|3k+32|k2+1,
所以△ABP的面积S=12·6k2+1|2k+3|4k2+3·|3k+32|k2+1=9.
解得k=12或k=32.
所以直线l的方程为y=12x或y=32x-3.
17.(2024北京,19)已知椭圆方程C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点和短轴的端点构成边长为2的正方形,过点(0,t)(t>2)的直线l与椭圆交于点A,B,C(0,1),连接AC交椭圆于D.
(1)求椭圆方程和离心率;
(2)若直线BD的斜率为0,求t.
解:(1)如图,∵四边形B1F1B2F2为边长为2的正方形,
∴b=c=2,
∴a2=4,
∴椭圆方程为x24+y22=1,e=ca=22.
(2)若AD的斜率不存在,则易知B,D两点重合,不符合题意.
若AD的斜率存在,设AD:y=kx+1,代入x2+2y2=4,消去y,整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ显然大于0,设点A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-4k1+2k2,x1x2=-21+2k2.
∵kBD=0,
∴B,D关于y轴对称.设点B(-x2,y2),
∴kAB=y2-y1-x2-x1,
∴lAB:y-y1=y2-y1-x2-x1(x-x1),
令x=0,得y=x1y2+x2y1x1+x2=x1(kx2+1)+x2(kx1+1)x1+x2=2kx1x2+(x1+x2)x1+x2=2k·-21+2k2-4k1+2k2-4k1+2k2=2.
∵2>2,∴t=2.
三、探究创新
18.如图,把半椭圆:x2a2+y2b2=1(x≥0)和圆弧:(x-1)2+y2=a2(x