2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练41 直线的交点坐标与距离公式（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练41 直线的交点坐标与距离公式（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.若O为坐标原点,P为直线x-y+2=0上的动点,则|OP|的最小值为( )
A.22B.2C.3D.2
答案:B
解析:由已知得原点O到直线x-y+2=0的距离d=22=2,
故|OP|的最小值为2.
2.已知点A(cs 10°,sin 10°),B(cs 100°,sin 100°),则|AB|=( )
A.1B.2C.3D.2
答案:B
解析:|AB|=(cs10°-cs100°)2+(sin10°-sin100°)2
=cs210°-2cs10°cs100°+cs2100°+sin210°-2sin10°sin100°+sin2100°
=2-2(cs10°cs100°+sin10°sin100°)
=2-2cs(10°-100°)=2-2cs90°
=2.
3.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则直线l1与l2之间的距离为( )
A.423B.42C.823D.22
答案:C
解析:∵l1∥l2,∴a≠2,且a≠0,1a-2=a3≠62a,解得a=-1,∴两直线方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+23=0,∴直线l1与l2之间的距离为d=6-232=823.
4.点P(cs θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为( )
A.[125,175]B.[75,125]C.[75,175]D.[125,245]
答案:C
解析:由点到直线的距离公式,得点P到直线3x+4y-12=0的距离为d=|3csθ+4sinθ-12|32+42=|5sin(θ+φ)-12|5,
其中sin φ=35,cs φ=45.因为5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],所以d∈[75,175].
5.若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值为( )
A.1B.2
C.-2或1D.-1或2
答案:C
解析:因为直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,所以这三条直线必有两条直线平行.又直线2x+y-4=0与x-y+1=0不平行,所以当直线2x+y-4=0与ax-y+2=0平行时,a=-2;当直线x-y+1=0与ax-y+2=0平行时,a=1.所以实数a的值为1或-2.
6.直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点 ,点P(1,1)到该直线的距离的最大值为 .
答案:(-2,3) 13
解析:依题意,直线l的方程可化为λ(y-3)+x+2=0,所以直线l恒过定点Q(-2,3),点P(1,1)到该直线的距离的最大值为|PQ|=32+22=13.
7.直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程为 .
答案:x-2y=0
解析:由y=2x+3,y=x+1,解得直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),所以可设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.
在直线l上取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,由点到直线的距离公式得|k-2+2k-1|k2+1=|2-2+3|22+1,解得k=12(k=2舍去),所以直线l2的方程为x-2y=0.
8.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为 .
答案:6x-y-6=0
解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以b-4a-(-3)·1=-1,-3+a2-b+42+3=0,解得a=1,b=0,点M'的坐标为(1,0).又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y=6-02-1(x-1),即6x-y-6=0.
9.已知正方形ABCD的两个顶点A,B在直线x+y-4=0上,另两个顶点C,D分别在直线2x-y-1=0,4x+y-23=0上,则正方形ABCD的边长为 .
答案:22或142
解析:因为AB∥CD,所以可设直线CD的方程为x+y+m=0,由2x-y-1=0,x+y+m=0,得C(1-m3,-1-2m3),
由4x+y-23=0,x+y+m=0,得D(m+233,-23-4m3).
所以|CD|=1-m3-m+2332+-1-2m3--23-4m32=223|m+11|.
又直线AB与CD之间的距离d=|m+4|2,所以223|m+11|=|m+4|2,解得m=-8或m=-32,所以正方形ABCD的边长为22或142.
10.已知直线l1:x+y+2=0;l2:mx+2y+n=0.
(1)若l1⊥l2,求m的值;
(2)若l1∥l2,且它们间的距离为5,求m,n的值.
解:(1)若l1⊥l2,则m+2=0,解得m=-2.
(2)直线l1的方程可化为2x+2y+4=0.若l1∥l2,则m2=22≠n4,解得m=2.又两直线之间的距离为5,则|n-4|22+22=5,解得n=4+210或n=4-210.
二、综合应用
11.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为( )
A.(-2,4)B.(-2,-4)
C.(2,4)D.(2,-4)
答案:C
解析:设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则y-2x+4×2=-1,y+22=2×-4+x2,解得x=4,y=-2,所以BC所在直线的方程为y-1=-2-14-3(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),所以AC所在直线的方程为y-2=3-2-1-(-4)(x+4),即x-3y+10=0.由3x+y-10=0,x-3y+10=0,解得x=2,y=4,所以点C的坐标为(2,4).故选C.
12.若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则k的取值情况是( )
A.只有唯一值B.有两个不同的值
C.有三个不同的值D.无穷多个值
答案:C
解析:若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则其中有2条直线互相平行,第三条直线和这2条平行线都相交,此时k=-2或k=0,或者三条直线经过同一个点,即直线x-2y+2=0和x=2的交点(2,2)在直线x+ky=0上,此时k=-1.综上,k=-2或k=0或k=-1.
13.(多选) (2024新高考Ⅰ,11)如图,造型可以看作图中的曲线C的一部分,已知曲线C过坐标原点O,且曲线C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a-2),得曲线C的方程为y2=(4x+2)2-(x-2)2(x>-2).设f(x)=(4x+2)2-(x-2)2(x>0),则f'(x)=-2x(x3+4x2-16)(x+2)3(x>0).令g(x)=x3+4x2-16(x>0),则g'(x)=3x2+8x.∴在区间(0,+∞)内,g'(x)恒大于0.∴函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.又g(1)=-110,∴∃x1∈(1,2),使得g(x1)=0.∴当01.∴曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.当点(x0,y0)在曲线C上时,有y02=(4x0+2)2-(x0-2)2≤(4x0+2)2,
∴y0≤4x0+2(x0>-2),∴D正确.故选ABD.
14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为 .
答案:5
解析:由y=2x,x+y=3,解得x=1,y=2.将x=1,y=2代入mx+ny+5=0,得m+2n+5=0.所以m=-5-2n.所以点(m,n)到原点的距离d=m2+n2=(5+2n)2+n2=5(n+2)2+5≥5,
当n=-2时取等号,此时m=-1.
所以点(m,n)到原点的距离的最小值为5.
15.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n= .
答案:345
解析:由题意,可知纸的折痕既是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线,也是点(7,3)与点(m,n)连线的垂直平分线,易求得纸的折痕所在直线的方程为y=2x-3,
于是3+n2=2×7+m2-3,n-3m-7=-12,解得m=35,n=315.
故m+n=345.
16.已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4).
(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小;
(2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||的值最大.
解:(1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则n-0m-2=-2,m+22-2·n+02+8=0,解得m=-2,n=8,
所以A'(-2,8).因为P为直线l上一点,
所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时,等号成立,此时点P为直线A'B与直线l的交点,
则有x=-2,x-2y+8=0,解得x=-2,y=3.所以当点P的坐标为(-2,3)时,|PA|+|PB|的值最小.
(2)因为A,B两点在直线l的同侧,P为直线l上一点,直线AB与l相交,所以||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,等号成立,此时点P为直线AB与l的交点.
由题意可知直线AB的方程为y=x-2.
由y=x-2,x-2y+8=0,解得x=12,y=10.所以当点P的坐标为(12,10)时,||PB|-|PA||的值最大.
三、探究创新
17.已知平面上一点M(5,0),若一条直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.给出直线:①y=x+1;②y=2;③y=43x,其中是“切割型直线”的是( )
A.②③B.①
C.①②D.①③
答案:A
解析:由题意可知,点M到直线y=x+1的距离为|5-0+1|2=32>4,点M到直线y=2的距离为2