人教版八年级数学下册基础知识专项讲练专题18.38 平行四边形几何模型（中点四边形）（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题18.38 平行四边形几何模型（中点四边形）（基础篇）（专项练习）【定义】中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。特征：中点四边形的形状由四边形的对角线位置关系和数量关系确定【结论1】如图1、四边形ABCD为任意四边形，则四边形EFGH是平行四边形。 图1 【结论2】如图2、四边形ABCD对角线AC垂直于BD,则中点四边形EFGH是矩形。 图2【结论3】如图3、四边形ABCD对角线AC=BD,则中点四边形EFGH是菱形。 图3 【结论4】如图4、四边形ABCD对角线AC=BD,则中点四边形EFGH是正方形。图4一、单选题1．顺次连接四边形ABCD各边的中点，所得四边形是（ ）A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形C．矩形 D．菱形2．已知矩形的对角线长为10，那么顺次连接矩形四边中点所得的四边形的周长为（      ）A．40B．10C．20D．53．顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，能使四边形EFGH为矩形的是（　　）A．AB＝CDB．AB⊥CDC．AC⊥BDD．4．若顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（    ）A．正方形B．对角线相等的四边形C．菱形D．对角线互相垂直的四边形5．顺次连接正方形四边中点得到的四边形是（    ）A．正方形B．菱形C．平行四边形D．矩形6．如图，点O为四边形ABCD内任意一点，E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点，则四边形EFGH的周长为（　　）A．9B．12C．18D．不能确定7．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.（    ）A．B．//C．D．8．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（    ）A．1B．2C．3D．49．如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形10．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBn∁nDn．下列结论正确的有（　　）①四边形A2B2C2D2是矩形；   ②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长是④四边形AnBn∁nDn的面积是．A．①②B．②③C．②③④D．①②③④二、填空题11．四边形中，，顺次连接它的各边中点所得的四边形是________．12．顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是___________．13．如图，顺次连结四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状一定是____．14．如图，点分别为四边形的边的中点，当四边形满足条件_______时，四边形是菱形．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）15．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC⊥BD，AC＝BD，则四边形EFGH是______．16．如图，某小区要在一块矩形ABCD的空地上建造一个如图所示的四边形花园EFGH，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若AB＝10m，AD＝20m，则四边形EFGH的面积为______．17．如图，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 ___cm．18．如图：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面积为8，那么四边形AnBnCnDn的面积为______．三、解答题19．如图，在四边形中，E，F，G和H分别是各边中点．求证：四边形为平行四边形．20．如图，点E、F、G、H分别为矩形ABCD四条边的中点，证明：四边形EFGH是菱形．21．已知：如图四边形四条边上的中点E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形，四边形的形状是什么？并证明结论．22．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．（1）判断四边形EFGH是何种特殊的四边形，并说明你的理由；（2）要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是　 　．23．如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，依次连接，，，，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；24．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．（1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．（2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．（3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．参考答案1．A解：试题分析：连接原四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．解：如图，根据中位线定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH∥BD，∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．故选A．考点：中点四边形．2．C【分析】根据矩形的性质得到AC=BD=10，再根据三角形中位线定理得到EH=GF=BD=×10=5，EF=GH=AC=×10=5，最后求出中点四边形的周长即可．解：如图，因为矩形的对角线相等，所以AC=BD=10，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH=GF=BD=×10=5，EF=GH=AC=×10=5，故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH=5+5+5+5=20．故选:  C．【点拨】本题比较简单，只要熟知矩形的对角线相等，三角形的中位线等于第三边的一半即可．3．C【分析】连接AC，BD，根据中位线的性质及矩形的判定方法即可求解．解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝AC，，GH＝AC，，，∴EF＝GH，，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，∵，，EF、AC、EH、BD在同一平面内，∴EF⊥EH，则∠HEF=90°，∴四边形EFGH为矩形，综上：当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形．故选：C．【点拨】此题主要考查中点四边形的判定，解题的关键是熟知中位线定理与矩形的判定定理．4．D【分析】根据题意画出相应的图形，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到，又为三角形的中位线，根据中位线定理得到，根据两直线平行，同位角相等得到，同理根据三角形中位线定理得到，再根据两直线平行, 同位角相等得到，根据垂直定义得到．解：如图， 四边形是矩形 点、的分别是、的中点是的中位线点、的分别是、的中点是的中位线．故选：D【点拨】此题主要考查中点四边形，熟知矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质是解题的关键．5．A【分析】根据三角形的中位线定理可推出，进一步即可根据正方形的判定推出答案．解：如图， ∵，，，分别为，，，的中点，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，，，∴，∴四边形是菱形，∵，∴四边形是正方形．故选：A．【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，中位线的性质，掌握正方形的性质与判定是解题的关键．6．C【分析】由三角形中位线定理可得EF=AB，FG=BC，HG=DC，EH=AD，再根据题目给出的已知数据即可求出四边形EFGH的周长．解：∵E，F分别为OA，OB的中点，∴EF是△AOB的中位线，∴EF=AB=3，同理可得：FG=BC=5，HG=DC=6，EH=AD=4，∴四边形EFGH的周长为=3+5+6+4=18，故选C．【点拨】本题考查了中点四边形的性质和三角形中位线定理的运用，解题的关键是根据三角形中位线定理得到四边形EFGH各边是原四边形ABCD的各边的一半．7．A【分析】根据中位线的定义与性质可知四边形EGFH是平行四边形，然后找出邻边相等的条件即可证明该四边为菱形．解：由题意知是的中位线∴，是的中位线∴，∴，∴四边形EGFH是平行四边形∵是的中位线，∴当时，∴平行四边形EGFH是菱形故选A．【点拨】本题考查了中位线，菱形的判定．解题的关键在于对知识的灵活运用8．C【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH=BD，EH//BD，FG=BD，FG//BD，EF=AC，EF//AC，HG=AC，HG//AC，∴EH=FG，EH//FG，∴四边形EFGH是平行四边形，当对角线AC⊥BD时，则∠HEF=90°，∴四边形EFGH是矩形，故①符合题意；当对角线BD=AC时，则EF=EH，∴四边形EFGH是菱形，故②符合题意；当四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD不一定互相平分，故③不符合题意；若四边形EFGH是正方形，∴EH⊥HG，EH=HG，∴AC⊥BD，AC=BD，∴AC与BD互相垂直且相等，故④符合题意；综上，正确的是①②④，共3个．故选：C．【点拨】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．9．D【分析】根据连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断，即可求解解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误；故选D．10．C【分析】①由两组对边平行，证明出A1B1C1D1是平行四边形，再根据四边都相等，证明出是菱形.②由①知四边形A2B2C2D2是菱形，根据中位线定理，四边形A4B4C4D4是菱形.③根据中位线性质得到每边长的关系，从而计算出周长.④三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半.解：①连接A1C1，B1D1．∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形； 故①错误；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形； ∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②正确；③根据中位线的性质易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××AC，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BD∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）＝；故③正确；④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，∴S四边形ABCD＝ab÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBn∁nDn的面积是；故④正确；综上所述，②③④正确．故选C．【点拨】本题考查了四边形综合性质，解题关键在于，理清题干给出的条件，从证明什么类项的图形到面积和周长的计算.运用到的菱形证明定理是，四个边都相等的四边形为菱形，运用到大中位线性质为，三角形的中位线平行且等于第三边的一半.11．菱形【分析】根据三角形中位线定理和菱形的判定定理，即可得到答案．解：∵E，F分别是DC，AD的中点，∴EF=AC，EF∥AC，同理，GH=AC，GH∥AC，GF=BD，∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC=BD，∴EF=GF，∴平行四边形EFGH为菱形．故答案是：菱形．【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理，菱形的判定定理是解题的关键．12．正方形【分析】根据中点四边形性质,中位线,正方形性质与判定即可求解．解：顺次连接对角线既相等又垂直的四边形各边的中点所得的四边形是正方形．故答案为：正方形．【点拨】本题考查对角线互相垂直四边形的性质,中点四边形性质,中位线,正方形性质与判定,掌握对角线互相垂直四边形的性质,中点四边形性质,中位线,正方形性质与判定是解题关键.．13．平行四边形解：如图，连接AC，∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC．∴EF=HG且EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形．14．（答案不唯一）【分析】本题属于开放性试题，要判定四边形EFGH是菱形，只要HG=GF=FE=EH即可．解：在四边形ABCD中，∵E、F、G、H分别四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点∴HG=EF=AC，GF=HE=BD∴四边形EFGH是平行四边形若∴平行四边形EFGH是菱形．故答案为.【点拨】判定特殊的四边形，必须根据已知条件，选择适当的方法．菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（3）四边相等的四边形是菱形．15．正方形【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形是平行四边形，且各边互相垂直，再证明邻边相等得到正方形．解：点、、、分别为四边形的边、、、的中点，，，，，又，，且．故四边形是矩形，，，，，四边形是正方形．故答案为：正方形．【点拨】本题考查了中点四边形，涉及矩形的判定以及正方形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．16．100【分析】根据矩形的性质及H、F分别为边AD、BC的中点，推出AH＝BF，得到平行四边形BFHA，推出ABHF，AB＝HF，同理得到BC＝EG，BCEG，推出HF⊥EG，根据三角形的面积公式求出即可．解：连接HF、EG，交于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴BCAD，BC＝AD＝20m，∵H、F分别为边AD、BC的中点，∴AH＝BF，∴四边形BFHA是平行四边形，∴AB＝HF＝10m，ABHF，同理BC＝EG＝20m，BCEG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四边形EFGH的面积＝＝＝100（m2），故答案为：100．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出HF、EG的长和HF⊥EG是解此题的关键．17．10【分析】连接AC、BD，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算周长．解：连接AC、BD，在Rt△ABD中，BD==5，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=5，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，EH=BD=，同理，FG∥BD，FG=，EF∥AC，EF=AC=，∴四边形EHGF为菱形，∴四边形EFGH的周长=×4=10，故答案为：10．【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．18．【分析】根据矩形A1B1C1D1面积、四边形A2B2C2D2的面积、四边形A3B3C3D3的面积，即可发现新四边形与原四边形的面积的一半，找到规律即可解题．解：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，则四边形A2B2C2D2的面积为矩形A1B1C1D1面积的一半，顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，则四边形A3B3C3D3的面积为四边形A2B2C2D2面积的一半，故新四边形与原四边形的面积的一半，则四边形AnBnCnDn面积为矩形A1B1C1D1面积的，∴四边形AnBnCnDn面积=×8=，故答案为：．【点拨】本题考查了学生找规律的能力，本题中找到连接矩形、菱形中点则形成新四边形的面积为原四边形面积的一半是解题的关键．19．见分析【分析】连接AC，由点E是AB的中点、点F是BC的中点，可得出EF为△ABC的中线，进而可得出EF∥AC、EF=AC，同理，可得出HG∥AC、HG=AC，即EF∥HG、EF=HG，再利用平行四边形的判定定理即可证出四边形EFGH是平行四边形．解：证明：连接AC，如图所示．∵点E是AB的中点，点F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC．同理，可得出：HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形．【点拨】本题考查了中点四边形、中线以及平行四边形的判定，根据三角形中线定义找出EF∥HG、EF=HG是解题的关键．20．证明见分析．【分析】根据矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理求证EF=FG=GH=EH，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形即可判定．解：连接BD，AC．∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴AC=BD，∴EF=AC，GH=AC，同理，FG=BD，EH=BD∴EF=FG=GH=EH，∴四边形EFGH是菱形．21．平行四边形，证明见分析【分析】连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形．解：四边形EFGH的形状是平行四边形．证明：如图，连接BD，∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．【点拨】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形病正确的运用中位线定理，难度不大．22．（1）详见分析；（2）AD=BC试题分析：（1）利用三角形的中位线定理可证得EF∥GH，EF=GH后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；（2）由（1）中的结论，再根据菱形的判定定理即可得到条件．解：（1）四边形EFGH是平行四边形；理由如下：在△ACD中∵G、H分别是CD、AC的中点，∴GH∥AD，GH= AD，在△ABC中∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD，EF= AD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．理由如下：∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF= AD，同理可得：FG=BC，∵AD=BC，即EF=FG，又∵四边形EFGH是平行四边形．∴▱EFGH是菱形．考点：1．菱形的判定；2．平行四边形的判定；3．三角形的中位线定理23．（1）见分析；（2）当AB=CD时，EF⊥GH，理由见分析【分析】（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的一组对边平行且相等，即可证得；（2）根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．解：（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，∴FG=CD，FG∥CD．HE=CD，HE∥CD．∴FG=EH，FG∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：当AB=CD时，EF⊥GH，理由：由（1）知四边形EGFH是平行四边形，当AB=CD时，EH=CD，EG=AB，∴EG=EH，∴四边形EGFH是菱形，∴EF⊥GH．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂直是解题的关键．24．平行四边形；（1）AC＝BD，理由见分析；（2）AC⊥BD，理由见分析；（3）AC＝BD且AC⊥BD，理由见分析；【分析】连接AC，BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案.解：四边形EFGH为平行四边形；连接AC，BD∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线∴，，，，∴，∴四边形EFGH为平行四边形；（1）AC＝BD，理由：如图①四边形ABCD的对角线AC＝BD，∵四边形EFGH为平行四边形，且，，∴EH＝GH，∴平行四边形EFGH为菱形．（2）AC⊥BD，理由：如图②四边形ABCD的对角线互相垂直，∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线∴，，∵AC⊥BD，∴EF⊥HE，∵四边形EFGH为平行四边形．∴四边形EFGH为矩形．（3）AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合（1）（2）可得四边形EFGH为正方形．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.