人教版（2024）矩形课时训练

这是一份人教版（2024）矩形课时训练，共34页。
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
3.运用矩形性质定理与判定定理计算或证明有关的角和线段.
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
特别说明：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
特别说明：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
特别说明：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提 是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形➽➼性质与判定的理解
1．如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，以下说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质进行逐一判断即可．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴A、B、C说法正确，不符合题意，
根据现有条件无法证明，
∴D说法错误，
故选D．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】下列语句中，不是属于矩形性质的是（ ）
A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等
C．四个内角都是直角D．两条对角线互相垂直
【答案】D
【分析】利用矩形的性质判断：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线互相平分；对角线相等．
解：根据矩形的性质：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线互相平分；对角线相等．
A、B、C均为矩形的性质，“两条对角线互相垂直”不是矩形的性质；
故选D．
【点拨】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
2．如图，关于四边形ABCD的4个结论正确的是（ ）
①它两组对边分别相等；
②它是矩形；
③它是平行四边形；
④它有一个角是直角．
A．由①推出③，由③和④推出②B．由④推出②，由②推出①，由①推出③
C．由②推出④，由④推出①D．由③推出④，由①和④推出②
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定进行逐一判断即可．
解：A、由两组对边分别相等可以推出四边形ABCD是平行四边形；由四边形ABCD是平行四边形，且四边形ABCD有一个角是直角可以推出四边形ABCD是矩形，即由①推出③，由③和④推出②，故此选项符合题意；
B、由四边形ABCD有一个角是直角推不出其四边形是矩形，由四边形ABCD是矩形能推出其两组对边分别相等，由四边形ABCD两组对边相等可以推出其是平行四边形，由④推不出②，由②推出①，由①推出③故此选项不符合题意；
C、由四边形ABCD是矩形，可以推出它有一个角是直角，由四边形ABCD有一个角是直角不能推出它的两组对边分别相等，即由②推出④，由④推不出①，故此选项不符合题意；
D、由四边形ABCD是平行四边形不能推出它有一个角是直角，由四边形ABCD的两组对边分别相等和它有一个直角可以推出它是矩形，即由③推不出④，由①和④推出②，故此选项不符合题意；
故选A．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定以及矩形的性质与判定是解题的关键．
举一反三：
【变式】关于矩形的判定，以下说法不正确的是（ ）
四个角相等的四边形是矩形
B．一个内角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】B
【分析】根据矩形的判定定理逐项分析即可．
解：A：四个角相等的四边形是矩形，该选项正确；
B：对角线相等的平行四边形是矩形，该选项错误；
C：对角线相等的平行四边形是矩形，该选项正确；
D：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项正确；
故选：B．
【点拨】本题考查矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
类型二、矩形的性质➽➼求角度✬✬求线段✬✬求面积（周长）
3．如图，已知是矩形的对角线．
用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
连接，若，求的度数．
【答案】(1) 见分析(2) 61°
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明，再利用平行线的性质求解．
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）垂直平分线段，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
【点拨】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法和性质，属于中考常考题型．
举一反三：
【变式】如图，平行四边形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且．
求证：四边形是矩形．
若，求的度数．
【答案】(1) 见分析 (2)
【分析】（1）证明平行四边形是矩形，只需要证明对角线即可，可通过已知条件证明求得即可．
（2）要求的度数，可先求的度数，再通过两锐角互补便可，根据角的比例系数可求得，，因此．
（1）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，是矩形，
∴，，
∴在中，，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的性质和角的换算，通过比值换算换算出角的度数再通过三角形内角和计算是解题的关键．
4．如图，在平行四边形中，平分，交于点，交的延长线于点，，连接．
求证：四边形是矩形．
若，，求线段的值．
【答案】(1) 见分析 (2) 6
【分析】（1）欲证明四边形是矩形，只需推知是直角；
（2）在中，由可得．
（1）解：证明：四边形是平行四边形，
．
．
，
．
是的平分线，
．
．
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
（2）四边形是矩形，
．
，，
．
在中，，
．
．

【点拨】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．注意：本题中通过勾股定理求得有关线段的长度．
举一反三：
【变式】如图，四边形中，，对角线相交于点，且．
以上条件可证明四边形是 形
若，则

【答案】(1) 矩(2)
【分析】（1）先证四边形为平行四边形可得、，然后结合可得即可得出结论；
（2）先说明是等边三角形，可得,由矩形的性质得，．
（1）解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
故答案为：矩
（2）解：∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：
【点拨】本题主要考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、等边三角形性质与判定，熟练掌握矩形的性质与判定是解本题的关键．
5．在等腰三角形中，，点D是中点，点E是中点．过点A作交的延长线于点F．
试判断四边形的形状，并加以证明；
若，，求四边形的面积．
【答案】(1) 四边形是矩形，证明见分析(2) 120
【分析】（1）由证明，得，证得四边形为平行四边形，再由等腰三角形“三线合一”得，则，根据矩形的判定定理可证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到，勾股定理求得，然后根据矩形的面积公式即可得到结论．
（1）解：四边形是矩形；
证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵点D是中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，点D是中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，点D是中点，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB，且，垂足为N．
求证：；
若AD=3，AN=4，求四边形BCMN的面积．
【答案】(1) 见分析(2) 3
【分析】（1）根据矩形的性质求得，再利用得到，然后用判定三角形全等的“AAS”求解；
（2）由全等三角形的性质得到，再由勾股定理求出，再利用矩形面积和三角形面积求解．
（1）证明：在矩形ABCD中，，，
∴．
∵，
∴ ．
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
类型三、矩形的性质➽➼证明✬✬斜边上的中线
6．如图，四边形是矩形，连接交于点O，的平分线交于点E．
尺规作图：作的角平分线交于点F，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是矩形
∴，
∴
∵平分，平分
∴
∴
∵在和中

∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
【答案】(1) 见分析(2) ；；；
【分析】（1）利用尺规作出图形即可；
（2）证明，推出，可得结论．
（1）解∶如图， 即为所求；

（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：；；；
【点拨】本题考查作图——基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
举一反三：
【变式】如图，在矩形中，垂足分别为E、F．连接
求证：．
判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1) 见详解(2) 四边形是平行是四边形.
【分析】（1）由矩形的性质可得.根据AAS可得，则可得 .
（2）根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形.
解：（1）∵四边形是矩形，
.
又∵
∴，
（AAS），
∴.
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
，
.
又∵，
∴四边形是平行是四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
【点拨】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的判定.熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定方法是解题的关键.
7．如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证：
．
若，求证：是等边三角形
【答案】(1) 见分析；(2) 见分析．
【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案；
（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出即可证明．
解：（1）如图：连接、，
、分别是、边上的高，
,，
在与中，
M是线段的中点，
,，
，
是等腰三角形，
又因为N是线段的中点，
；
（2）在中，，
，
由（1）可知：
，
，，
，
，
，
由（1）可知是等腰三角形，
是等边三角形．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，等边三角形的证明；掌握基本性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在中，，点是的中点，是中点．
作的角平分线交于点（尺规作图）．
若连接，请判断与的数量关系，并证明．

【答案】(1) 见分析(2) ，理由见分析
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）如图所示，连接，先根据直角三角形斜边上的中线的性质证明，再根据三线合一定理可得点E是的中点，则是的中位线，即可推出，则．
（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：，理由如下：
如图所示，连接，
∵在中，，点是的中点，
∴，
∵平分，
∴点E是的中点，
又∵是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．

【点拨】本题主要考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
类型四、矩形的判定➽➼证明✬✬添加条件构成矩形
8．如图，在平行四边形中，，点为线段的三等分点靠近点，点为线段的三等分点靠近点，且．将沿对折，边与边交于点，且．
证明：四边形为矩形；
求平行四边形的周长．
【答案】(1) 见分析；(2)
【分析】（1）根据题意得出，证明四边形为平行四边形，根据，即可证明四边形为矩形；
（2）根据沿对折得到，根据对称性得出，则，，则，进而得出进而根据四边形的周长，即可求解．
解：（1）证明：是平行四边形，
，，
点为线段的三等分点靠近点，
，
点为线段的三等分点靠近点，
，
，
，
四边形为平行四边形；
，
，
四边形为矩形；
（2）解：，
，，
将沿对折得到，
，
，
，
，
，
，
'，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了矩形的判定，折叠问题，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
举一反三：
【变式】已知：如图，▱中，是中点，连接，延长线交的延长线于点，连接．
求证：
；
若，，判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1) 见分析(2) 四边形是矩形．理由见分析
【分析】（1）根据即可证明；
（2）结合（1）得出，又，则四边形是平行四边形，根据，，得是等边三角形，所以，即可得出结论．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形是矩形，
证明：∵，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∵，
，
是等边三角形，
，
，
平行四边形是矩形．
【点拨】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，关键是根据证明解答．
9．如图，平行四边形中，点O是与的交点，过点O的直线与，的延长线分别交于点E，F．
求证：；
连接，，则与满足什么条件时四边形是矩形？请说明理由．
【答案】(1) 见分析(2) 当时，四边形是矩形
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；
（2）请连接、，则与满足时，四边形是矩形，首先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
．
（2）解：当时，四边形是矩形，理由如下：
连接，，如图，

，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．
举一反三：
【变式】如图，AD是△ABC的中线，过点A作AEBC，过点B作BEAD交AE于点E．
求证：∠E＝∠ADB．
当△ABC满足 条件时，四边形ADBE是矩形？请说明理由．

【答案】(1) 见分析(2) 当△ABC满足AB＝AC条件时，四边形ADBE是矩形，理由见分析
【分析】（1）证四边形ADBE是平行四边形，即可得出结论；
（2）由（1）可知，四边形ADBE是平行四边形，再由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．
解：（1）证明：∵AEBC，BEAD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴∠E＝∠ADB；
（2）解：当△ABC满足AB＝AC条件时，四边形ADBE是矩形，理由如下：
由（1）可知，四边形ADBE是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形ADBE是矩形，
故答案为：AB＝AC．
【点拨】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
类型四、矩形的判定➽➼证明✬✬求值
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
求证：四边形ABCD是矩形；
若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)详见分析；(2)75°；(3)．
【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；
（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，
由（1）可知，∠OCB＝30°，
∴AC=2AB=4，
∴，
∴矩形OEC的面积．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
【答案】（1）见分析；（2）120°．
【分析】（1）先说明四边形ABCD是平行四边形，可得AC＝2AO、BD＝2BO，进而得到AC=BD，即可说明四边形ABC D是矩形；
（2）如图，连接OE与BD交于F，由直角三角形斜边中线的性质可得EO=AO，即△AEO是等边三角形，再根据等边三角形的性质和平行线的性质即可求出答案．
证明：（1）∵OC＝AO，OD＝BO
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AC＝2AO，BD＝2BO
又∵AO＝BO
∴AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图：连接OE与BD交于F
∵四边形AOBE是平行四边形
∴AE＝BO
又∵AO＝BO
∴AO＝AE
∵CE⊥AE
∴∠AEC＝90°
∵OC＝OA
∴OE＝AC＝AO
∴OE＝AO＝AE
∴△AOE是等边三角形，
∴∠OAE＝60°
∵∠OAE＋∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．
【点拨】本题主要考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，灵活应用所学知识并正确添加辅助线成为解答本题的关键．
11．如图，在中，点D，E分别是线段的中点，且，延长至点F使得，连结和．
求证：四边形是矩形．
若，，求的长．
【答案】(1) 见分析(2) 4
【分析】（1）先证明，再证明四边形是平行四边形，然后根据可证四边形是矩形；
（2）证明四边形是平行四边形，可得，然后利用勾股定理可求的长．
解：（1）∵点E分别是线段的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形；
（2）∵点D，E分别是线段的中点，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质，矩形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，点为轴正半轴上一个动点．
当时，写出线段 ， ．
求的面积．（用含的代数式表示）
当点在运动时，是否存在点使为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，(2) (3) 存在的值为或或，使为直角三角形，面积为或或
【分析】（1）过点作轴于，由，、点的坐标可得，，，，由勾股定理可求解；
（2）分两种情况讨论，由面积关系可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
（1）解：如图，过点作轴于，
点，点，点
，，，，
，
， 轴，
，，
故答案为：，；
（2）当点在线段上时，
点，点，点
，，，，
，
；
当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上所述：；
（3）如图，再过点作于，
点，点，点
，，，，
，，轴，
四边形是矩形，
，
当时，，
则，
，
；
当时，，
则，
，
；
当时，，
则，
，
；
综上所述：存在的值为或或，使为直角三角形，面积为或或．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
12．如图所示，是一个边长为4的等边三角形，D是直线上一点，以为边作，使，，并以、为边作平行四边形．
当点D在线段上时，交于点G，求证：；
求线段的最小值： ．
当直线与的一边垂直时，请直接写出的面积．
【答案】(1) 见分析(2) (3) 的面积为或或．
【分析】（1）由，，可得，是等边三角形可得，且可得，从而可证；
（2）当时，有最小值，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；
（3）分三种情况：①，②，③时，分别画出图形，求出底边长度和高，即可得到答案．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：当时，有最小值，如图：

∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（3）解：直线与的一边垂直，分三种情况：
①时，如图：

此时，
∵，
∴，
又，
在中，，
，，
∴；
②时，如图：
此时，平行四边形为矩形，
在中，，，
∴，，
∴；
③时，延长交于H，如图：

此时，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，，
∴，
中，，
∴，
∴，
综上所述，直线与的一边垂直，平行四边形的面积为或或．
【点拨】本题考查等边三角形、平行四边形性质及应用，涉及全等三角形、矩形等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论．
举一反三：
【变式】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是BO、DO的中点，G、H分别是AD、BC的中点，顺次连接G、E、H、F．
求证：四边形GEHF是平行四边形；
若BD＝2AB．
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，时，求四边形GEHF的面积．
【答案】(1) 见分析(2) ①四边形GEHF是矩形，理由见分析；②
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；
（2）①连接，先根据平行四边形的判定证出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，根据线段中点的定义可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得出结论；
②先根据等边三角形的判定与性质可得，则，再利用勾股定理可得，然后利用矩形的面积公式即可得．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵E、F分别为BO、DO的中点，G、H分别是AD、BC的中点，
∴GF为△AOD的中位线，EH为△BOC的中位线，
∴，
∴，
∴四边形GEHF是平行四边形．
（2）解：①四边形GEHF是矩形，理由如下：
如图，连接GH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，，AD＝BC，
∵G、H分别是AD、BC的中点，
∴AG＝BH，，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB＝GH，
∵E、F分别是BO、DO的中点，
∴BE＝OE＝OF＝DF，
∴BD＝2EF，
∵BD＝2AB，
∴EF＝AB，
∴GH＝EF，
由（1）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴平行四边形GEHF是矩形；
②由①得：GH＝EF＝OB＝AB＝2，四边形GEHF是矩形，
∴，
∵，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
由（1）得：，
∴，
∴矩形GEHF的面积为．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．