初中数学人教版（2024）八年级下册平行四边形的判定课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册平行四边形的判定课后测评，共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可能是（ ）
A．8和12B．9和13C．12和12D．11和14
2．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．C．D．
3．如图,在四边形ABCD中, AD//BC,且AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P、Q分别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,多少s时直线将四边形ABCD截出一个平行四边形( )
A．1B．2C．3D．2或3
4．如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和等边，F为的中点，连接，，．则以下结论：①；②四边形为平行四边形；③，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6B．8C．10D．13
6．如图，在中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（ ）
A．B．8C．D．10
7．如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，点E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，EG交FD于点H，则①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④．上述4个结论中说法正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
二、填空题
11．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．若，则________．
12．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，试求BC+DE的值为_____．
13．如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝_____．
14．如图，点E、F分别在平行四边形ABCD边BC和AD上（E、F都不与两端点重合），连结AE、DE、BF、CF，其中AE和BF交于点G，DE和CF交于点H．令，．若，且S□ABCD=36，则四边形FGEH的面积为______．
15．如图，在中，D是AB上任意一点，E是BC的中点，过C作,交DE的延长线于F，连BF,CD，若，，，则_________．
16．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是_____．
17．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，如果AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，C为线段的中点，点P是线段上的一个动点，连接，当的值为____________时，将沿边所在直线翻折后得到的与重叠部分的面积为面积的．
三、解答题
19．如图，在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD点F，BG平分∠ABC交CD点G，AF与BG交于点E．
(1) 求证：DG＝CF；
(2) 若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中面积为△ABC面积的一半的所有三角形．
21．如图，在中，，的平分线，分别与线段交于点，，与交于点．
（1）求证：，．
（2）若，，，求和的长度．
22．已知等边△ABC中，AB＝8，点D为边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF//BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．
(1) 求证：四边形BCEF是平行四边形；
(2) 设BD＝，FG＝，求关于的函数解析式，并写出定义域；
(3) 当AD的长为7时，求线段FG的长．
23．如图，平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（0，b）（b≤0），点C（c，0），且a2﹣2ab+b2﹣c2＝0．
(1) 判断线段AB与OC的数量关系，并说明理由；
(2) 如图1，当b＝0时，连接AC，CQ⊥OP于Q，连接AQ．若QC＝2QO，求证： ；
(3) 如图2，当b＜0时，点D在x轴正半轴上点C的右侧，且，连接AD，射线BC交AD于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，请求出∠AEB的度数；
24．在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2．
①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长．
②探究BH与AF的数量关系，并给予证明．
参考答案
1．D
【分析】作辅助线CE∥BD，根据平行四边形的性质和三角形的三边关系，对题中的选项逐个进行判断，即可得出结论．
解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
∴四个选项中只有D中11+14=25＞24．
故选D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的思路在于通过作一条对角线的平行线，将两条对角线转化到一个三角形，而利用三角形的三边关系解题是得到答案的关键．
2．A
【分析】根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故A错误；根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到DF=CF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故C正确；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．
解：A、∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCD，
∴∠CBF=∠BCD，
∴CF=BF，
同理，EF=DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故A错误；
∵ DE∥BC，
∴∠DEF=∠CBF，
∠DEF=∠CBF
在△DEF与△CBF中,
∴△DEF△CBF(ASA),
∴DF=CF
∵EF=BF
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ .AD∥BC，AB∥CD,
∴DE∥CE，∠ABD=∠CDB,
∠ABD=∠DCE，
∴∠DCE=∠CDB，
∴BD∥CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故C正确；
∵AEB∥C,
∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°
∵∠AEC=∠CBD，
∴∠BDE=∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确．
故选:A．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
3．D
【分析】根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ或CQ=PD，计算即可求出t值.
解：根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形
则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t
要使构成平行四边形
则：AP=BQ或CQ=PD
进而可得： 或
解得 或
故选D.
【点拨】本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可.
4．C
【分析】由平行四边形的判定定理判断②正确，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①正确，然后由三角形三边关系判断③错误，即可得出结论．
解：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，故②正确；
四边形为平行四边形，
，
又，
，故①正确；
和都是等边三角形，
，，，
，
，故③错误；
其中正确的有2个，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质、含直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
5．B
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解．
解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
6．C
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+ ∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝，
∴BE＝8．
故选：C．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO＝MO，BO＝EO是解决问题的关键．
7．A
【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案．
解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
．
故选：．
【点拨】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
8．B
【分析】根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS证明，进而得到，设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=，即可求解．
解：在中
∵DF∥EG
∴∠DEG=∠DFB
∵△ABE沿BE对折得到△BEG
∴∠DEG=2∠A
∵∠DFB=∠C+∠CDF
∠A=∠C
∴∠CDF=∠A
∵△DFC沿DF对折
∴∠BGE=∠DGE
BG=DG
EG=EG
∴
∵BE⊥AB
∴
设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=
∴
故选：B．
【点拨】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明是解题关键．
9．C
【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OCAB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AMCN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1，
∴OE＝4+1＝5，
∴OB＝．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
10．B
【分析】根据平行四边形ABCD的性质和BD=2AD，可以确定等腰三角形OAD，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据直角三角形CDE的性质确定，根据三角形OAB的中位线的性质确定，再结合平行四边形ABCD的性质可判断②正确；根据三角形OAB的中位线和平行四边形ABCD的性质可以确定EF=DG，且，进而得到平行四边形EFGD，再应用其对角线互相平分的性质确定③正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形ABCD的性质确定和，进而得到，可判断④不正确．
解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO．
∵BD=2AD，
∴DO=AD．
∵E为OA中点，
∴．
故①正确．
②∵，G是CD中点，
∴．
∵E、F分别是OA、OB中点，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∴EF=EG．
故②正确．
如下图所示，连结FG和BE．
③如上图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD．
∵E、F分别是OA、OB中点，
∴．
∴，即．
∵，，
∴EF=DG．
∴四边形EFGD是平行四边形．
∴．
故③正确．
④如上图所示：∵F是OB中点，
∴．
∵E是OA中点，
∴．
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴O是AC中点，．
∴．
∵E是AO中点，O是AC中点，
∴．
∴．
故④不正确．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线和直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键．
11．2或12
【分析】先证明四边形是平行四边形，得到AF=DE=5，再证明，得出DF=BF，求出BF长度即可得到DF.
解：
图（1） 图（2）
如图（1），当点在线段上时，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
如图（2），当点在的延长线上时，
同理可证，．
∵，
∴．
综上所述，的值为2或12．
故答案为：2或12．
【点拨】此题考查平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
12．
【分析】过E作EF//DC交BC的延长线于F，再说明四边形DCFE是平行四边形可得EF＝CD＝3、CF＝DE，然后说明EF⊥BE，最后运用勾股定理求出BF的长即可．
解：过E作EF//DC交BC的延长线于F，
∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF＝CD＝3，CF＝DE，
∵CD⊥BE，
∴EF⊥BE，
∴BC+DE＝BC+CF＝BF＝＝＝．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定与性质等知识点，通过做辅助线得到BC+DE的值为BF成为解答本题的关键．
13．8
【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.
解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，
∴，
∵S△PBG＝2，
∴，
∵CG＝2BG，
∴，
∵,
∴.
故答案为：8.
【点拨】本题考查的是平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．
14．9
【分析】根据平行四边形性质可得：，，， ，再由，， ，可得，，进而可得四边形、四边形 均为平行四边形，则有，，可得， ，即有，根据 ，，则可得到四边形FGEH的面积．
解：如图示，连接，
四边形是平行四边形
，，，
，， ，
，
∵，
，
四边形、四边形均为平行四边形
，
， ，
，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形面积，平行四边形面积等，熟练运用“等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半”和“三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形”是解题关键．
15．4
【分析】证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．
解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE=BE．
∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF=BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
作EM⊥DB于点M，
∵四边形CDBF是平行四边形，，
∴BE=，DF=2DE，
在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM
∴EM=1，
在Rt△EMD中，
∵∠EDM=30°，
∴DE=2EM=2，
∴DF=2DE=4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，
16．.
【分析】首先延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，易证得△ABM≌△ECM，即可得AB=NE，然后由AM=4，AN=3，且∠MAN=60°，求得AH，NH与EH的长，继而求得EN的长，则可求得答案．
解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠BAM＝∠CEM，∠B＝∠ECM．
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM．
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB＝CD＝CE，AM＝EM＝4，
∵N为边DC的中点，
∴NE＝3NC＝AB，即AB＝NE，
∵AN＝3，AE＝2AM＝8，且∠MAN＝60°，
∴∠AEH＝30°，
∴AH＝AE＝4，
∴EH＝
∴NH＝AH﹣AN＝4﹣3＝1，
∴EN＝＝7，
∴AB＝×7＝．
故答案为：．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17．
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠CBN=∠DAB=60°，根据勾股定理得到AF=，根据三角形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠CBN＝∠DAB＝60°，
∴∠BFN＝∠MCB＝30°，
∵AB：BC＝3：2，
∴设AB＝3a，BC＝2a，
∴CD＝3a，
∵AE：EB＝1：2，F是BC的中点，
∴BF＝a，BE＝2a，
∵∠FNB＝∠CMB＝90°，∠BFN＝∠BCM＝30°，
∴BM＝BC＝a，BN＝BF＝a，FN＝a，CM＝a，
∴AF＝，
∵F是BC的中点，
∴S△DFA＝S平行四边形ABCD，
即AF×DP＝CD×CM，
∴PD＝，
∴DP：DC＝．
故答案为．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．
【分析】根据题意作出图形，根据与重叠部分的面积为面积的，得出为的中点，可得四边形为平行四边形，根据折叠的性质可得，即可求解．
解：，
，
如图，作关于的对称点，连接，，取的中点，
C为线段的中点，
，
为与重叠部分，
，
与重叠部分的面积为面积的，
过点，
对称，
，
与重叠部分的面积为面积的，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
对称，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中线的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
19．(1) 见详解(2) ，
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，进一步证得，，从而得到，即可得到DG＝CF；
（2）作交DC的延长线与点M，先证明，再证明四边形是平行四边形，分别求得，BM＝8，根据勾股定理即可求出GB．
（1）证：∵AF平分∠BAD，BG平分∠ABC
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DG＝CF；
（2）解：如下图所示，作交DC的延长线与点M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵BM=AF＝8，
∴，
故，．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
20．（1）见分析；（2）△FAC，△ACD，△ABD,△FAB．
【分析】（1）先证△AEF≌△DEB可得AF=DB，再结合AD是BC边上的中线即可证明；
（2）由D是BC的中点可得S△ABD=S△ADC=S△ABC，再证四边形ADCF是平行四边形可得S△ACE=S△ACD，即可得到结论．
解：（1）证明：∵FA//BC
∴∠AFE=∠DBE
在△AEF和△DEB中
∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED（对顶角相等），AE=DE（中点的定义）
∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF=BD
∵AD是BC边上的中线
∴CD=DB
∴AF＝DC；
（2）∵D是BC的中点
∴S△ABD=S△ADC=S△ABC
∵CD//AF，CD=AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴S△ACF=S△ACD
∵△AEF≌△DEB
∴S△AEF=S△DEB
∴S△AEF+ S△AEB =S△DEB+ S△AEB，即S△FAB=S△ABD
∴面积为△ABC面积的一半的三角形有：△FAC，△ACD，△ABD,△FAB．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．
21．（1）见分析；（2）EF=2，DE=
【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的平分线AF、DE分别与线段BC交于点F、E，易求得2∠DAF+2∠ADE=180°，即可得∠AGD =90°，证得AF⊥DE，易证得△ABF与△ECD是等腰三角形，即可得AB=BF，EC=CD，又由AB=CD，即可证得BF=CE；
（2）由（1）易求得BF=CE=6，BC=AD=10，即可求得EF的长；过点D作DH∥AF交BC的延长线于点H，易证得四边形AFHD为平行四边形，即可得△DEH是直角三角形，然后利用勾股定理，即可求得DE的长．
解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=∠BAD．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=∠ADC．
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
即2∠DAF+2∠ADE=180°，
∴∠DAF+∠ADE=90°，
∴∠AGD=180°-（∠DAF+∠ADE）=180°-90°=90°．
∴AF⊥DE；
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠AFB=∠BAF，
∴BF=AB，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD，
∵AB=CD，
∴BF=CE；
（2）∵BF=AB=6，
∴CE=BF=6．
∴CE+BF=12，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴BC=AD=10．
∴10+EF=12，
∴EF=2，
过点D作DH∥AF交BC的延长线于点H．
∴∠EDH=∠AGD=90°．
∵AF∥DH，AD∥FH，
∴四边形AFHD为平行四边形．
∴DH=AF=8，FH=AD=10．
∴EH=EF+FH=2+10=12，
∴在Rt△DHE中：DE==，
∴EF的长度为2，DE的长度为．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直的定义以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
22．(1) 见分析(2) (3) 3或5
【分析】（1）由三角形ABC与三角形ADE都为等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，利用等式的性质得到∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ABC=60°，进而确定出同旁内角互补，得到CE与FB平行，再由EF与BC平行，即可得到四边形BCEF为平行四边形；
（2）由三角形ABD与三角形ACE全等，得到BD=CE，再由四边形BCEF为平行四边形得到BF=CE，等量代换得到BF=BD=x，由FG与BC平行，由平行得比例，即可列出y关于x的函数解析式，求出x的范围得到定义域；
（3）过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM=CM=4，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AM的长，而MD=4-x，在直角三角形ADM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，代入（2）的解析式中求出y的值，即为FG的长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴ AB＝AC
∴
∵△ADE是等边三角形
∴AD＝AE
∴
即
∴ （SAS）
∴ BD＝EC
∴
∴
∴
∴AB//EC
∵EF//BC
∴四边形BCEF是平行四边形
（2）∵EF//BC
∴
∴
∴GE＝EC
∴GE＝EC ＝BD＝x
∵
∴
（3）作AH⊥BC，垂足为H
在中，
∴
∴
在中，
∴
即，解得或；
∴
∴FG的长为3或5
【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．(1) ，理由见详解(2) 见详解(3)
【分析】（1）根据得，由，， 可知，从而求解；
（2）作，交OP的延长线于H，理由“AAS”证明得到，，再证明是等腰直角三角形，从而证明结论；
（3）作于D，取，连接CF，BF，利用“SAS”证明，得，，则是等腰直角三角形，且，再根据，，得到四边形ABFD是平行四边形，从而得出答案．
（1）解：．
理由如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：作，交OP的延长线于H，如图1．
∵，，
∴．
∵， ，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
（3）解： 作于D，取，连接CF，BF，如图2．
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴，
∴．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（1）详见分析；（2）①4﹣2；②AF＝BH，详见分析
【分析】(1)由“ASA”可得△BOE≌△DOF，可得DF＝BE，可得结论；
(2)①由等腰三角形的性质可得EN＝CN＝2，由勾股定理可求DN，由等腰三角形的性质可求BN的长，即可求解；
②如图，过点H作HM⊥BC于点M，由“AAS”可证△HMC≌△CND，可得HM＝CN，由等腰直角三角形的性质可得BH＝HM，即可得结论．
解：(1)证明：∵平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，且∠DOF＝∠BOE，BO＝DO，
∴△BOE≌△DOF（ASA）
∴DF＝BE，且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)①如图2，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN﹣EN＝4；
故答案为：BE＝4.
②AF＝BH，
理由如下：如图，过点H作HM⊥BC于点M，
∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，EC＝2CN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH，且∠HMC＝∠DNC＝90°，∠ECG＝∠CDN，
∴△HMC≌△CND（AAS）
∴HM＝CN，
∵HM⊥BC，∠DBC＝45°，
∴∠BHM＝∠DBC＝45°，
∴BM＝HM，
∴BH＝HM，
∵AD＝BC，DF＝BE，
∴AF＝EC＝2CN，
∴AF＝2HM＝BH．
故答案为：AF＝BH.
【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．