人教版（2024）矩形测试题

这是一份人教版（2024）矩形测试题，共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． 下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是( )
A．∠ABC＝90°B．AC＝BD
C．AC⊥BDD．∠BAD＝∠ADC
2．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若平分交于点E，且，连接，则（ ）
A． B． C． D．
3．两个全等的矩形和矩形如图放置,且恰好过点．过点作平行交于．知道下列哪个式子的值,即可求出图中阴影部分的面积（ ）
A．B．C．D．
4．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 （ ）
A．AB＝ADB．OA＝OBC．AC＝BDD．DC⊥BC
5．方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105°B．120°C．130°D．145°
6．如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，且，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（ ）
A．6B．7C．8D．10.5
7．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（ ）
A．矩形的面积B．的度数
C．四边形的周长D．的长度
8．如图，在中，，，D为边上一动点，连接．以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，点F是边上的定点，连接，当取最小值时，若，则为（ ）（用含的式子表示）
A．B．C．D．
9．如图，在矩形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△AEC，过点E作EF⊥DC于点F，连结AF，若AD=DF，S△AEF=3，S△ACF=5，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．18B．19C．20D．21
10．如图，在四边形中，．O为中点，交于点E，于点F，交于点M，的延长线交于点G．若，则下列结论正确的（ ）
①；
②；
③；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若AC＝4，则EF的长是 ___．
12．如图，矩形中，E为的中点，F在上，平分，若，，则线段的长为 _____．
13．在矩形ABCD中，AD的垂直平分线EF与BD交于点G，BG的垂直平分线AH与EF交于点H，连接DH.则∠BDH=________°．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，E为AB边上一点，AB＝4BE，连接CE、DE，延长DE交CB延长线于F，若BF＝3，AB＝10，则＝________．
15．如图，在矩形中，在延长线上，连接，交于点，，若，，则的长为______．
16．如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____平方厘米．

17．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是 __．
18．如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为___________．
三、解答题
19．在平行四边形中，，将沿翻折至，连接．
(1) 求证：；
(2) 求证：；
(3) 在平行四边形中，已知：，将沿翻折至，连接．若以A、C、D、为顶点的四边形是矩形，求的长．
20．如图，已知矩形，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接．
(1) 求证：．
(2) 若，，求线段的长．
21．如图，已知、相交于点，，，、、分别是、、的中点．
(1) 求证：；
(2) 与间有何关系，并说明理由；
(3) ，请直接写出的度数 ．
22．如图，在中，，，是边上的中线，点E，F分别在，边上运动（点E不与点A，C重合），且保持，连接，，．
(1) 求证：；
(2) 求四边形的面积；
(3) 请直接写出三条线段，，之间的数量的关系：_______．
23．如图，在矩形中，平分交于E，连接，．
(1) 如图1，若，，求的长；
(2) 如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值．
24．已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到．
若；
①如图1，若点在边上，的长为 ；
②、、三点在同一直线上时，求的长；
如图3，当点是的中点时，此时点落在矩形内部，延长交于点，若点是的三等分点，求的长．
参考答案
1．C
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理对各项进行判断分析即可．
解：A. 有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
C. 并不能判定平行四边形ABCD为矩形，错误；
D.∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝∠ADC∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确；
故答案为：C．
【点拨】本题考查了矩形的判定问题，掌握平行四边形的性质、矩形的判定定理是解题的关键．
2．C
【分析】由矩形，得到，根据平分，得到等边三角形，，求出，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
解：四边形是矩形，
∴，，，，，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
∵，
．
故选C．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，矩形的性质等知识点，证明是等边三角形是解决本题的关键．
3．A
【分析】根据矩形的性质和题目中的条件，可以判断出哪个选项中的条件，可以推出阴影部分的面积，本题得以解决．
解：如图，作于点．
∴
由题意可知：两个全等的矩形和矩形，
∴，,
∴,
∴四边形是矩形，
阴影部分面积；
故选：A．
【点拨】本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．A
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、AB＝AD，则▱ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；
B、OA＝OB，根据平行四边形的对角线互相平分，AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形可得▱ABCD是矩形，故本选项正确；
C、AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；
D、DC⊥BC，则∠BCD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得▱ABCD是矩形，故本选项正确．
故选：A．
【点拨】此题考察矩形的判定，熟记判定定理才可正确解答.
5．A
【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
解：∵四边形ABCD为长方形，
∴，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
【点拨】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
6．B
【分析】过点E作EP⊥BC于点P，易证四边形ABPE和四边形CDEP为矩形，得出CD=EP=8，DE=CP=4，根据AAS易证△AEG≌△BFG，得出AE=BF，又FH垂直平分EC，得出FC=FE，令BC=x，则BP=AE=BF=x-4，进而EF=FC=2x-4，FP=2x-8，在Rt△EFP中，EP2+FP2=EF2，进行求解即可．
解：过点E作EP⊥BC于点P，
在矩形ABCD中
∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=8，
∴四边形ABPE和四边形CDEP为矩形，
又，，
∴CD=EP=8，DE=CP=4，
∵G是AB的中点，
∴AG=GB=4，
又AD∥BC，
∴∠AEG=∠BFG，
又∠AGE=∠BGF，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AE=BF，
∵FH垂直平分EC，
∴FC=FE，
令BC=x，则BP=x-4，
又AE=BF=BP，
∴BP=AE=BF=x-4，
∴EF=FC=2x-4，FP=2x-8，
在Rt△EFP中，EP2+FP2=EF2，
∴82+（2x-8）2=（2x-4）2
解得x=7．
故选：B．
【点拨】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长．
7．A
【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，然后用分割法求得四边形的面积，进而可以根据条件得到结果．
解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
，
四边形、四边形是矩形，
设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，则，，，，
，，，，
，
矩形和矩形的周长已知，
和为定值，
为定值，
为定值，
，
当已知时，四边形的面积即为定值，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是学会设矩形的长和宽并用含有未知数的式子表示矩形、矩形和四边形的面积．
8．D
【分析】如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，设，取的中点，连接，，证明，则在直线上运动，且，当，，三点共线时，，此时最短，从而可得结论．
解：如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，
∵，，
∴，，，
∵等腰直角三角形，，
∴，
设，
取的中点，连接，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在直线上运动，且，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，，
当，，三点共线时，
，此时最短，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，证明在直线上运动是解本题的关键．
9．B
【分析】过点E作EG垂直AD延长线于点G，然后通过已知三角形的面积得到EF和FC的比值，从而设EF和FC的长度分别为3b和5b，AD和DF的长度为a，然后利用Rt△GEA，Rt△EFC，Rt△CEA，Rt△DAC中的勾股定理得到a与b的关系，再利用△AEF的面积求出a和b的值，最后求矩形ABCD的面积．
解：过点E作EG⊥AD交AD的延长线与G
∵EF⊥DC
∴ ，
∵DF=AD
∴EF：CF=3∶5
设EF=3b，CF=5b，AD=DF=a
∵∠G=90°，∠EFD=90°，∠GDF=90°
∴四边形EFDG是矩形
∴GE=DF=a，GD=EF=3b
在Rt△GEA中，
在Rt△EFC中，
在Rt△CEA中，
∴
=
=
在Rt△DAC中，
∴=
∴
∵b>0
∴
∴
∴
∴a=
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理，本题的关键是适当设定未知数利用Rt△DAC和Rt△EAC共用AC边建立方程．
10．C
【分析】先根据等腰直角三角形得性质和平行线得性质得出，，即可证明，得，即可判断①；由，，， 可证明，得，则，所以，即可判断②；由，即可判断③；连接，设，由， 可推导出，，则，得，所以,即可判断④．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵O为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵于点F，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故③错误；
连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故选C．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形得判断和性质、同角的余角相等，全等三角形得判断和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
11．2
【分析】连接BD，由矩形的性质可得AC=BD=4，由三角形的中位线定理可求解．
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴EF=BD=2，
故答案为:2．
【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形对角线相等是解题的关键．
12．
【分析】延长、交于点，根据题意利用证明，得出，，再根据等腰三角形的判定求出，设，根据长的两种求法建立方程求解，则可求出，再根据勾股定理求出，然后求出，则可在中，根据勾股定理求出长，从而求出长．
解：如图，延长、交于点，
是的中点，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
是的角平分线．
，
，
，
，
设，
则，
，
，
，
解得，
，
，
，
在中，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到．
13．
【分析】根据题意，画出矩形ABCD，证明是等边三角形，求出，再证明，然后，即可得出结果．
解：根据题意，画出矩形ABCD，如下图所示：
∵AH是BG垂直平分线，
∴，
∵在矩形ABCD中，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵AH是BG垂直平分线，
∴，
∵EH是AD垂直平分线，
∴，，
又∵为公共边，
∴，
∴
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和三角形全等的判定和性质，根据题意画出图象是解答本题的关键．
14．
【分析】取AB的中点G，连接DG，则AB＝2BG，可得BE＝EG，再利用三角形中位线定理得BC＝2DG，DGBF，利用ASA证明△GDE≌△BFE，得DG＝BF＝3，DE＝EF，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，从而解决问题．
解：取AB的中点G，连接DG，则AB＝2BG，
∵AB＝4BE，
∴BE＝EG，
∵D为AC边上的中点，G为AB的中点，
∴DG为△ABC的中位线，
∴BC＝2DG，DGBF，
∴∠GDE＝∠F，
在△GDE和△BFE中，
，
∴△GDE≌△BFE（AAS），
∴DG＝BF＝3，DE＝EF，
∴BC＝6，
∴CF＝9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝8，
∴CD＝4，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：，
∵∠ACB＝90°，EF＝DE，
∴CE＝DF，
∴＝＝，
故答案为：．
【点拨】此题考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题的关键是证明点E是DF的中点．
15．
【分析】取DF的中点G，连接AG，根据直角三角形的性质可得AG=DG=FG==4，进而得出，由，可知AE=AG=4，再根据勾股定理求出AB的长，进而可知CD的长．
解：取DF的中点G，连接AG，
在矩形中
∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，ADBC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵，
∴AG=DG=FG==4，
∴∠GAD=∠ADE，
∴∠AGE=2∠ADE，
又
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG=4，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
在Rt中，BE=1，
∴AB=，
∴CD=AB=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，外角的性质以及勾股定理求边长，取DF的中点G找到直角三角形的中线是解决问题的关键．
16．48
【分析】如下图，设矩形ABCD的长为m，宽为n，过点F作BC、DC的垂线，利用m、n表示出△BFD的面积，从而得出mn的大小，进而得出矩形ABCD的面积．
解：如下图，过点F作BC、CD的垂线，分别交于点Q、G，设矩形ABCD的长为m，宽为n
∵点E是AD的中点，点F是EC的中点，AD=m，AB=n
∴FQ=，FG==



∴
∴mn=48
故答案为：48
【点拨】本题考查三角形面积问题，解题关键是利用表示出△BFD的面积，从而推导出mn的大小．
17．
【分析】连接，利用SAS证明，得，，则点在射线上运动，且，当当点在线段上从点至点运动时，故点的运动路程是，利用勾股定理求出的长即可．
解：连接，
四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
又，，
（SAS），
，，
点在射线上运动，且，
当点在线段上从点至点运动时，
点的运动路程是，
在Rt中，设，则，
，
解得（负值舍去），
，
即点的运动路程为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点的运动路径是解题的关键．
18．或
【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案．
解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵沿对角线翻折得到，
∴，，
∵以为折痕，将进行翻折，得到，
∴，，
①当点恰好落在上时，如图，
在和中，
∴
∴，即为等腰三角形，
∵
∴点为中点，
∴，
在中，有，
即，解得
②当点恰好落在上时，如图，
∵
∴四边形为矩形，
∴，
∵沿进行翻折，得到，
∴
在中，
，
在和中，
∴≌（）
∴
∴．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了空间想象能力以及分类讨论的思想，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答此题的关键．
19．(1) 见分析(2) 见分析(3) 或
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，再由折叠的性质证明即可证明；
（2）根据等边对等角结合三角形内角和定理证明，即可证明；
（3）分两种情况当四边形为矩形和四边形为矩形，画出对应的图形，利用矩形的性质和含30度角的直角三角形的性质求解即可．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，，
∴，
∴，即；
（2）证明：∵，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴；
（3）解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴；
②如图2所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
综上所述：的长为或．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
20．(1) 见分析(2)
【分析】（1）由点E为的中点和折叠的性质可得，则，再根据外角的性质可得，即可证得平行；
（2）由勾股定理求得，再用等面积法求得，再根据三角形的内角和以及角平分线的定义可推导，最后用勾股定理求得．
解：（1）证明：点E为的中点，
，
，
，
，
由题意得，，
∵，
，
，
；
（2）解：如图，连接交于H，
，，，点E为的中点，
，
将沿直线折叠，点B落在点处，
，即是的高，
，
，
由（2）知，
，，
而，
，
，即，
．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的内角和定义和外角性质，等面积求线段长度，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何知识．
21．(1) 见分析(2) ，理由见分析(3)
【分析】（1）连接、，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质和三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解：（1）证明：连接、，
∵，，、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴．
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，，
∴，
∵是的外角，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
由（2）可知，，
同理：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(1) 证明见分析(2) 4(3)
【分析】（1）根据，，是边上的中线，得到，，再结合，得到，即可得到证明；
（2）由可得，即可得到四边形的面积等于面积，根据中线即可得到答案；
（3）由可得 ，，即可得到，在用表示，在即可得到答案．
（1）证明：∵，，是边上的中线，
∴ ∠ADC＝90°，，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
；
（3）解：，理由如下，
∵，
∴ ，，
∵，
∴，
在中根据勾股定理可得，
，
在中，
，
∴．
【点拨】本题考查等腰三角形性质：底边上三线合一；直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半；三角形中线性质：分得两个三角形面积相等等于大三角形一半；三角形全等判定与性质及勾股定理．
23．(1) (2) ①，理由见分析；②
【分析】（1）由矩形的性质得，，，由角平分线的性质得出，则是等腰直角三角形，得出，推出，由勾股定理得出；
（2）①连接，由（1）得，，由证得，得出，，证明是等腰直角三角形，即可得出结论；
②根据矩形的性质得到，求得，过D作于M，根据余角的性质得到，得到，过A作于N，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）①，
理由：连接EF，如图所示：
由（1）得：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②∵四边形是矩形，
∴，
∴，
过D作于M，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
过A作于N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
24．(1) ①6；②2(2)
【分析】（1）由矩形的性质可得、，；①由点在边上可得四边形是正方形，然后由正方形的性质可得即可解答；②由折叠的性质可得，，进而得到，根据三角形的面积求得，然后根据勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答；
（2）如图3，连接，先证可得；设，则、，再根据勾股定理列方程求得x，进而求得．
（1）解：四边形是矩形，
，，，
①如图1，点在边上，
∴根据折叠有：，
∴四边形是正方形，
，
故答案为：6．
②如图2，由折叠得，，
，
，
，
，
，
的长为2．
（2）解：如图3，连接，
点是的中点，
，
由折叠得，，，
，，
在和中，
，
，
设，
点是的三等分点，
，，
，
，解得，（不符合题意，舍去），
，
的长为．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．