人教版（2024）八年级下册矩形课后作业题

这是一份人教版（2024）八年级下册矩形课后作业题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分
C．矩形的对角线互相垂直且平分D．对角线互相平分的四边形是矩形
2．如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ）
A．B．3C．4D．5
3．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．如图，在矩形中，，E是的中点，于点F，则的长是（ ）
A．1B．C．D．2
5．如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知矩形OABC的周长为18，点B的坐标为（4，7），则矩形OABC的面积为（ ）
A．28B．16C．8D．4
7．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．若要使四边形是矩形，则原四边形必须满足条件（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( )
A．β= 180-αB．β=180°-C．β=90°-αD．β=90°-
9．如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（ ）
A．B．C．6D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在矩形中，对角线、交于，且，，则的长为___________ cm．
12．在矩形中∠ABC=90°， 和相交于点，．则的度数等于_____．
13．如图，矩形ABCD中，点在AD上，且EB平分，若AB＝3，AE＝1，则的面积为______．
14．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为______．
15．在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______．
16．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．
17．如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，，则的长是______．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，BC＝7，AD＝4，过点A作AE⊥AB，垂足为A，且AE＝AB，连接DE，则△ADE的面积为 ___．
三、解答题
19．如图，点是矩形边上的中点．
(1) 在图中以、为邻边作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2) 求证：．
20．如图，把长方形沿对角线折叠，重合部分为．
(1) 求证：为等腰三角形．
(2) 图中有哪些全等三角形？
(3) 若求的周长．
21．如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，，垂足为点，且点是中点，若，，.
(1) 求的长；
(2) 求的度数.
22．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，水的度数．
23．如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．
(1) 求证：四边形是矩形．
(2) 若是的平分线．若 ，，求的长．
24．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是BO、DO的中点，G、H分别是AD、BC的中点，顺次连接G、E、H、F．
(1) 求证：四边形GEHF是平行四边形；
(2) 若BD＝2AB．
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，时，求四边形GEHF的面积．
参考答案
1．B
【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．
解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．
2．A
【分析】由可得点F为中点，从而可得为的中位线，进而求解．
解：在矩形中，，，
∵，
∴，
∴点F为中点，
又∵点E为边的中点，
∴为的中位线，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
3．D
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知，则，又，故可求．
解：∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故选D．
【点拨】本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单．
4．C
【分析】延长交于点M，可证得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
解：如图，延长交于点M，
∵E是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故选：C
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
5．A
【分析】根据题意可知四边形是平行四边形，然后再根据四个选项所给条件一一进行判断即可得出答案．
解：在四边形中，对角线相交于点O，，
四边形是平行四边形，
A、添加条件，可得四边形是菱形，但不一定是矩形，故符合题意；
B、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
C、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
D、若，则，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
故选：A．
【点拨】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的定义及判定定理是解答此题的关键．
6．C
【分析】连接OB，根据点B坐标得到OB，设OC=x，BC=y，得到，，再利用完全平方公式得到，即可得解．
解：如图，连接OB，
∵B（4，7），
∴OB==，
∵矩形OABC的周长为18，设OC=x，BC=y，
∴，，
∴=8，
即矩形OABC的面积为8，
故选C．
【点拨】本题考查了坐标与图形，勾股定理，完全平方公式，解题的关键是得出，，再灵活运用完全平方公式变形．
7．D
【分析】连接，由三角形中位线的性质可得出，，即证明四边形为平行四边形，即当有一个角为直角时，即证明四边形是矩形．结合平行线的性质得出当时，， 即此时四边形是矩形．
解：如图，连接，
∵E，F，G，H分别是的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴当有一个角为直角时，即证明四边形是矩形．
∵当时，，
∴当时，四边形是矩形．
故选D．
【点拨】本题考查矩形的判定，三角形中位线的性质．正确连接辅助线是解题关键．
8．D
【分析】如图，根据题意得∠DAC=∠α，∠EAO=∠α，∠AEO=∠β,∠EOA=90°，再根据三角形内角和定理可得β=90°-.
解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠α
由作图痕迹可得AE平分∠DAC，EO⊥AC
∴∠EAO=∠α， ∠EOA=90°
又∠AEO=∠β，
∠EAO+∠AOE+∠AEO=180°，
∴∠α+∠β+90°=180°，
∴β=90°-
故选D.
【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握和运用相关的知识是解题的关键.
9．B
【分析】先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC，即可求出四边形ABEC的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，
∵，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵，
∴，
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴AF=BF，
∴2AF=2BF，
即BC=AE，
∴平行四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴,
∴矩形ABEC的面积为．
故选：B
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关定理，证明四边形ABEC为矩形是解题关键．
10．B
【分析】画出A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E，根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由待定系数法求得直线DA′函数式，进而求出点E的坐标即可．
解：如图，作A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E，
此时的周长最小，
∵，
∴，
设直线表达式是 ，
则，
解得：，
∴，
所以点E的坐标是．
故选B．
【点拨】本题考查了根据轴对称求最短距离问题，待定系数法求一次函数解析式，以及关于坐标轴对称的点的坐标特点，解题的关键是根据对称把AE转化为 ，利用两点之间线段最短的性质解决问题．
11．16
【分析】首先根据矩形的性质可得，，然后再计算出∠ACB的度数，再根据直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是的一半，可得AC的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴， ，
又∵，
∴，
在Rt△ABC中，AB= 8，
∴(cm)；
故答案为：16．
【点拨】此题主要考查了矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
12．120°##120度
【分析】根据矩形的性质得出，，，即可得出，根据，得出，即可得出△AOB为等边三角形，得出，即可得出．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴△AOB为等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：120°．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．
13．
【分析】根据矩形的性质和角平分线定义可得CE=BC，然后根据勾股定理可得BC，进而可以解决问题．
解：在矩形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC，CD=AB=3，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEB=∠CEB，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CE=BC，
∵CD=AB=3，AE=1，
∴DE=AD-AE=BC-1，
在Rt△CED中，根据勾股定理得：
，
即，解得BC=5，
∴的面积为．
故答案为：
【点拨】此题考查矩形的性质，勾股定理，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定和性质解答．
14．8
【分析】利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：△ABE≌△ECF（AAS），得出：AB=CE，BE=CF，由点F是CD的中点，进而根据矩形的性质即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△ABE和△ECF中，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB=CE，BE=CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF=CD，
∴BE=CF=AB，
∵BE+CE=BC=12，
∴AB+AB=12，
∴AB=8，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了矩形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
15．
【分析】由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得．
解：∵四边形是矩形，，
， ，
当在上时，是直角三角形，如图1所示：
设，
由翻折的性质得：，
，
，
在中，
，
解得：，即
【点拨】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、勾股定理等知识．
16．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边
对等角的性质可得，再结合两直线平行，内错角相等可得，再
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到
，再利用等角对等边的性质得到，然后利用勾股定理列式计算即可得
解．
解：四边形是矩形，
，，
点是的中点，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
在中，，
．
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出是解题的关键．
17．##厘米
【分析】结合矩形的性质，勾股定理，利用SAS证明，即可求解．
解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：.
【点拨】本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
18．
【分析】分别过点作的垂线，垂直分别为，可得，求得，即可求解．
解：过点作的垂线，垂直分别为，如下图：
则，∴
又∵
∴四边形为矩形，
∴，
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及了矩形的判定与性质，解题的关键是根据题意，做辅助线，构造出全等三角形．
19．(1) 见分析(2) 见分析
【分析】（1）以点B为圆心，DE长为半径画弧交BC于点K，连接DK，则即为所求；
（2）利用矩形的性质可得AD=BC，即可求证．
（1）解：如图，以点B为圆心，DE长为半径画弧交BC于点K，连接DK，则即为所求；
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BK，
根据作法得：DE=BK，
∴四边形BEDK是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵四边形BEDK是平行四边形，
∴ED=BK，
∴AD-DE=BC-BK，即AE=CK．
【点拨】本题考查作图——复杂作图，矩形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．(1)见分析；(2)；(3)14
【分析】（1）由可证，可得，可得结论；
（2）由可证，由折叠的性质，即可求解；
（3）由全等的性质可得，即可求解．
解：（1）∵四边形 为长方形，

在和中，
，
∴为等腰三角形
（2）全等三角形有：
（3）的周长
【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21．(1) (2)
【分析】（1）在在中，勾股定理得出，继而得出，在中，勾股定理求得的长；
（2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而得出是等边三角形，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据（1）的结论得出是等腰直角三角形，根据即可求解．
（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴
又∵点是中点，
∴，
∵
∴，
在中，,
（2）解：如图，取的中点，连接，
∵，
∴，
在中，，，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
22．（1）见分析；（2）36°
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，求得∠DAO＝∠ADO，推出AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）根据矩形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠CDO，根据三角形的内角得到∠ABO＝54°，于是得到结论．
解：（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
， ，
，
，
，
是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC＝4：3，
∴∠AOB：∠ABO＝4：3，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，
∴∠ABO＝54°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°−54°＝36°．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
23．(1) 见分析(2)
【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可证得；
（2）根据勾股定理求出长，可证得，即可得出答案．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，角平分线的定义，等角对等边，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24．(1) 见分析(2) ①四边形GEHF是矩形，理由见分析；②
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；
（2）①连接，先根据平行四边形的判定证出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，根据线段中点的定义可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得出结论；
②先根据等边三角形的判定与性质可得，则，再利用勾股定理可得，然后利用矩形的面积公式即可得．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵E、F分别为BO、DO的中点，G、H分别是AD、BC的中点，
∴GF为△AOD的中位线，EH为△BOC的中位线，
∴，
∴，
∴四边形GEHF是平行四边形．
（2）解：①四边形GEHF是矩形，理由如下：
如图，连接GH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，，AD＝BC，
∵G、H分别是AD、BC的中点，
∴AG＝BH，，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB＝GH，
∵E、F分别是BO、DO的中点，
∴BE＝OE＝OF＝DF，
∴BD＝2EF，
∵BD＝2AB，
∴EF＝AB，
∴GH＝EF，
由（1）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴平行四边形GEHF是矩形；
②由①得：GH＝EF＝OB＝AB＝2，四边形GEHF是矩形，
∴，
∵，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
由（1）得：，
∴，
∴矩形GEHF的面积为．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．