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专题 18.17 矩形（巩固篇）（专项练习）八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 18.17 矩形（巩固篇）（专项练习）八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题 18.17 矩形（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（ ）
A．10 B．25 C．50 D．75
2．将一块三角尺和一张矩形纸片如图排放，若∠1=25°，则∠2的大小为（ ）
A．55° B．65° C．45° D．75°
3．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
4．如图，在矩形中，F是中点，E是上一点，且，，，则矩形的面积为（ ）
A．16 B． C． D．
5．如图，四边形和四边形都是矩形．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
8．在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④
9．下列语句中真命题有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；
②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相垂直的四边形四边中点所连成的图形为矩形；
⑤一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑥如果直角三角形的两边为5，12，那么斜边一定是13；
⑦在△ABC中，若，则△ABC是直角三角形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）．
A． B． C． D．
11．如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过D作DF⊥BC于点F，DF＝5cm，∠EDB＝15°，则DE＝（ ）
A．12.5cm B．5cm C．7.5cm D．10cm
12．如图，矩形中，交于点分别为的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．保持不变
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
二、填空题
15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M在BC边上，连接MO并延长交AD边于点N．若BM = 1，∠OMC = 30°，MN = 4，则矩形ABCD的面积为 _________ ．
16．如图所示，在矩形中，平分，且等于，________
17．我们把宽与长的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形中，，，的平分线交边于点，则的长为______．
18．一个矩形的两条对角线所夹的锐角是60°，这个角所对的边长为10cm，则该矩形的面积为_______．
19．如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，有，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是______．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是____．
21．如图，长方形纸片，点E，F分别在边上，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后再次折叠纸片使点F与点重合，点C落在点，折痕为，若，则_______度．
22．如图，中，，为中点，在上，且，若，，则边的长度为______．
23．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____
24．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加______________条件，才能保证四边形是矩形．
25．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝6，过点D作DE⊥CD于点D，连接AE，若DE＝CD，则△ADE的面积是___________．
26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形．
27．如图，，D为外一点，且交的延长线于E点，若，则_______．
28．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的是_______．
（1）；（2）；（3）是等边三角形；（4）．
三、解答题
29．下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形ABCD．
求作：▱AGHD，使∠GAD=30°．
作法：如图，
①分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线EF；
③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；
④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．
则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
（1）∠BAG的大小为 ；
（2）判定四边形AGHD是平行四边形的依据是 ；
（3）用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为 ．
30．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且．
求证：（1）；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
31．如图，已知在△ABC中AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
32．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为、的中点，延长至点E，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，且，，求四边形的面积．
参考答案
1．B
【分析】
根据题意知点F是Rt△BDE的斜边上的中点，因此可知DF=BF=EF=5，根据矩形的性质可知AB=DC=x，BC=AD=y，因此在Rt△CDF中，CD2+CF2=DF2，即可得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，
∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°，
又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF=5，
∴BF=DF=EF=5，
∴CF=5-BC=5-y，
∴在Rt△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+（5-y）2=52=25，
∴x2+（y-5）2=x2+（5-y）2=25，
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理，做题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF的长度．
2．B
【分析】
延长CE，交矩形边于点B，利用三角形外角性质，平行线的性质计算．
【详解】
延长CE，交矩形边于点B，
∴∠ABE=90°-∠1=65°，
∵纸片是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠2=65°，
故选B．
【点拨】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，三角板的特点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．D
【分析】
根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】
解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=．
故选：D．
【点拨】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
4．C
【分析】
根据矩形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到，是等边三角形，求出CD即可；
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，，F是中点，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选C．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，准确计算是解题的关键．
5．A
【分析】
由题意可得∠AGF=∠DAB=90°，由平行线的性质可得，即可得∠DGF=70°．
【详解】
解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形
∴∠AGF=∠DAB=90°，DC//AB
∴
∴
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
6．A
【分析】
根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】
解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，
∴AD=OC=10，DC=AO=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10−6=4，
设EC=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8−x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3，
∴点E的坐标为(10,3)．
故选择A．
【点拨】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．
7．B
【分析】
根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．
【详解】
解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，
∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×=90°．
故选B．
【点拨】此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．
8．C
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．
【详解】
∵CM、BN分别是高
∴△CMB、△BNC均是直角三角形
∵点P是BC的中点
∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线
∴
故①正确
∵∠BAC=60゜
∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜
∴AB=2AN，AC=2AM
∴AN：AB=AM：AC=1：2
即②正确
在Rt△ABN中，由勾股定理得：
故③错误
当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形
∵CM⊥AB，BN⊥AC
∴M、N分别是AB、AC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC
故④正确
即正确的结论有①②④
故选：C
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．
9．B
【分析】
根据平行四边形的判定，矩形的判定，直角三角形的性质与判定，进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：①对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形对角线也相等，故此说法错误；
②一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足，故此说法错误；
③一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故此说法正确；
④对角线互相垂直的四边形四边中点所连成的图形为矩形，故此说法正确；
⑤一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故此说法错误；
⑥如果直角三角形的两边为5，12，那么斜边是12或13，故此说法错误；
⑦在△ABC中，若，即则△ABC是直角三角形，故此说法正确.
故选B.
【点拨】本题主要考查了命题与定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，直角三角形的性质与判定.
10．D
【分析】
由条件：四边形ABCD为平行四边形及DE=AD，可得四边形DBCE为平行四边形，根据所给的四个选项及矩形的判定即可作出判断．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD，BC∥AD，AB∥CD
∵DE=AD
∴BC=DE
∵BC∥AD
∴BC∥DE
∴四边形DBCE是平行四边形
当AB=BE时，则由AB=CD得BE=CD，即四边形DBCE的两条对角线相等，根据矩形的判定知，四边形DBCE是矩形；
当CE⊥DE时或时，根据矩形的定义即知，四边形DBCE是矩形；
当时，则由AB∥CD，可知BE⊥CD，即的对角线相互垂直，但不能判定它是矩形．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定方法是本题的关键．
11．D
【分析】
过点作的垂线交于点，先证明四边形为矩形，得出，利用角平分线的性质，证明出为等腰三角形，得出，再在中，利用对应的边等于斜边的一半即可求解．
【详解】
解：过点作的垂线交于点，如图：
由题意：，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
∠ABC的平分线交AC于点D，
，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
在中，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定及性质、矩形的判定、直角三角形中对应的边等于斜边的一半，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线构造直角三角形．
12．A
【分析】
根据三角形中位线的性质可求出OD的长，根据矩形的性质可得AC的长，根据直角三角形的性质即可得答案.
【详解】
∵E、F分别为AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OD=2EF=2×4=8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=8，即：AC=16，
∵AB=8，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°．
故选A．
【点拨】本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
13．D
【分析】
过点作于，于，先根据矩形的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论．
【详解】
解：如图，过点作于，于，
则四边形是矩形，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长度保持不变，
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键．
14．A
【分析】
依据矩形的性质即可得到的面积为2，再根据，即可得到的值．
【详解】
解：，，
矩形的面积为8，，
，
对角线，交于点，
的面积为2，
，，
，即，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．
15．##
【分析】
过点N作交于点E，由矩形ABCD得，，根据ASA可证，故可得，由直角三角形角所对的边为斜边的一半得出，根据勾股定理求出，从而得出，由矩形的面积公式即可得出答案．
【详解】
如图，过点N作交于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
16．
【分析】
证是等腰直角三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】
解：四边形是矩形，
，，，，
，
平分
，
是等腰直角三角形，
，
又，
；
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：135．
【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明为等边三角形是解题的关键．
17．##
【分析】
根据黄金矩形，得出宽与长的比为黄金比，AD∥BC，AD=BC=2，可求AB=BC=，根据BE为的平分线，证出AE=AB=即可．
【详解】
解：∵黄金矩形，
∴宽与长的比为黄金比，AD∥BC，AD=BC=2，
∴AB=BC=，
∵BE为的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=∠ABE，
∴AE=AB=，
∴DE=AD-AE=2-（）=．
故答案为．
【点拨】本题考查黄金矩形的性质，角平分线定义，平行线性质，等腰三角形判定，线段和差，掌握黄金矩形的性质，角平分线定义，平行线性质，等腰三角形判定，线段和差是解题关键．
18．
【分析】
先根据矩形的性质证明△ABC是等边三角形，得到，则，然后根据勾股定理求出，最后根据矩形面积公式求解即可．
【详解】
：如图所示，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质．
19．
【分析】
根据HF垂直平分BE，得到BF=EF，设DE=x，根据矩形的性质证明△EDG≌△FCG，得到CF=DE=x，BC=AE+DE=5+x，过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，由勾股定理得，即，求出x可得答案．
【详解】
解：∵HF垂直平分BE，
∴BF=EF，
设DE=x，
∵G是CD的中点，
∴DG=CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AD=BC，AB=CD，
∴∠EDG=∠FCG，
∵∠EGD=∠FGC，
∴△EDG≌△FCG，
∴CF=DE=x，
∵，
∴BC=AE+DE=5+x，
过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，
∴DM=CF=x，MF=CD=AB=10，∠M=90°，
∴EF=BF=5+2x，
∵，
∴，
解得x=，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．
20．（，）
【分析】
由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∵AC∥x轴，
∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，
∵AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴OA＝OC＝3，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝OD＝，
∴点A的坐标是（，）；
故答案为：（，）．
【点拨】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键．
21．144
【分析】
根据将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，得出∠EB′F=∠B=90°，∠BFE=∠B′FE，可得∠AB′E+∠DB′F=90°根据四边形ABCD为矩形，得出AD∥BC，可得∠DBF=∠B′FB=2∠EFB，可求∠AB′E =90°-∠DB′F=90°-2∠EFB，根据GH为对称轴，可得∠CB′F=∠CFB′=180°-∠B′FB=180°-2∠EFB，可得∠C′B′D=∠C′B′F-∠FB′D=180°-2∠EFB-2∠EFB，根据，列方程180°-2∠EFB-2∠EFB-（90°-2∠EFB）=18°，解方程即可．
【详解】
解：∵将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，
∴∠EB′F=∠B=90°，∠BFE=∠B′FE，
∴∠AB′E+∠DB′F=90°
∴∠AB′E =90°-∠DB′F
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DB′F=∠B′FB=2∠EFB，
∴∠AB′E =90°-∠DBF=90°-2∠EFB，
∵GH为对称轴，
∴∠C′B′F=∠CFB′=180°-∠B′FB=180°-2∠EFB，
∵∠C′B′D=∠C′B′F-∠FB′D=180°-2∠EFB-2∠EFB，
∵，
∴180°-2∠EFB-2∠EFB-（90°-2∠EFB）=18°，
解得∠EFB=36°，
∴∠EFC=180°-∠EFB=180°-36°=144°．
故答案为144．
【点拨】本题考查折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程，掌握折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程是解题关键．
22．
【分析】
由BE⊥AC，D为AB中点，，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．
【详解】
解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D为AB中点，
∴AB＝AC=2DE＝2×＝5，
∵AE＝4，
∴BE＝＝=3，CE=AC-AE=1，
∴BC＝=＝，
故答案为：．
【点拨】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．
23．6
【分析】
作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．
【详解】
如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，
∵DP⊥AB，ABC=90°，
∴四边形BEDP为矩形，
∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，
∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
在△ADP和△CDE中
，
∴△ADP≌△CDE，
∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，
∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，
∴DP2=36，
∴DP=6．
故答案为6．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．
24．ACBD
【分析】
根据中位线的性质易得四边形EFGH为平行四边形，那么只需让一组邻边互相垂直即可，然后只需要证明∠2为90°即可．
【详解】
解：∵E、F为AD、AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
同理可得GH∥BD，GH=BD，FG∥AC，FG=AC，
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD
故答案为：AC⊥BD.
【点拨】本题考查矩形的判定，有一个角是90°的平行四边形是矩形和中位线定理，解题的关键是了解矩形的判定定理，难度不大．
25．
【分析】
过点D作DF⊥BC于F，过点E作EG⊥AD交AD的延长线于G，判断出四边形ABFD是矩形，根据矩形的对边相等可得BF=AD，然后求出CF，再求出∠CDF=∠EDG，然后利用“角角边”证明△CDF和△EDG全等，根据全等三角形对应边相等可得EG=CF，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，过点D作DF⊥BC于F，过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠B=∠DFB=∠BAD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD，
∵AD=3，BC=6，
∴CF=BC-AD=6-3=3，
∵DE⊥CD，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDG=∠EDG+∠CDG=90°，
∴∠CDF=∠EDG，
在△CDF和△EDG中，
∵∠CDF＝∠EDG， ∠CFD＝∠G＝90°， CD＝DE ，
∴△CDF≌△EDG（AAS），
∴EG=CF=3，
∴△ADE的面积=AD•EG=×3×3=．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
26．6或4
【分析】
分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可．
【详解】
解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°．
①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，
∴∠B′EC=90°，
由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°，
在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC，
∴BE=CE=BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2，
∴AE=AB=，BE==3，
∴BC=2BE=6；
②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O，
∵AD∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C，
∴∠OAC=∠ACO，
∴OA=OC，又AD=BC=B′C，
∴OD=OB′
∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°．
∵∠ADC=∠B=∠AB′C，
∴∠CDB′=∠AB′D=90°，
∴CD∥AB′，又CD =AB′，
∴四边形AB′DC是矩形，
∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=，
∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2，
解得：BC=4，
综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：6或4．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识间的联系与运用是解答的关键．
27．2
【分析】
过点D作DM⊥CB于M，证出∠DAE=∠DBM，判定△ADE≌△BDM，得到DM=DE=3，证明四边形CEDM是矩形，得到CE=DM=3，由AE=1，求出BC=AC=2．
【详解】
解：∵DE⊥AC，
∴∠E=∠C=90°，
∴，
过点D作DM⊥CB于M，则∠M=90°=∠E，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠DAE=∠DBM，
∴△ADE≌△BDM，
∴DM=DE=3，
∵∠E=∠C=∠M =90°，
∴四边形CEDM是矩形，
∴CE=DM=3，
∵AE=1，
∴BC=AC=2，
故答案为：2．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边对等角证明角度相等，正确引出辅助线证明△ADE≌△BDM是解题的关键．
28．（1）（2）（3）（4）
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出（1）正确，（2）正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．
【详解】
解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG=AG=GE=AE，
∵∠AOG=30°，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∠GOE=90°-∠AOG=90°-30°=60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE=2a，则OE=OG=a，
由勾股定理得，AO=a，
∵O为AC中点，
∴AC=2AO=2a，
∴BC=AC=×2a=a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3a，
∴DC=3OG，故（1）正确；
∵OG=a，BC=a，
∴OG=BC，故（2）正确；
∵S△AOE=a•a=a2，SABCD=3a•a=3a2，
∴S△AOE=S矩形ABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确的是（1）（2）（3）（4）．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．
【点拨】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等边三角形的判定与性质的运用，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解．
29．
（1）60°
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（3）S2=2S1
【分析】
（1）连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，得到AG=BG，推出△ABG是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质得到∠BAD=90°，推出GH∥AD，得到四边形AGHD是平行四边形；
（3）设EF与AB交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
（1）
连接BG，
由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG=BG，
∵AB=AG，
∴AB=AG=BG，
∴△ABG是等边三角形，
∴∠BAG=60°；
故答案为：60°；
（2）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵EF⊥AB，
∴GH//AD，
∵GH=AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（3）
设EF与AB交于M，
∵S2=AD•AB，S1=HG•AM=AD•AB=AD•AB，
∴S2=2S1，
故答案为：S2=2S1．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
30．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．
【分析】
（1）根据矩形的性质可得AB=DC，∠B=∠DCF=90°，根据全等三角形的判定即可得到；
（2）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据可得AD=EF，根据平行四边形的判定即可得到四边形AEFD是平行四边形．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°，
∴∠DCF=90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
即AD=BE+EC，
∵BE=CF，
∴AD=CF+EC，
即AD=EF，
∵点F在BC的延长线上，
∴AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，平行四边形的判定．熟记各个图形的性质和判定是解题的关键．
31．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先证EG是△ACD的中位线，得EG∥AD，再由∠FCA=∠CEG证出EG∥CF，即可得出结论；
（2）先证△ADE≌△CFE（AAS），得AD=CF，则四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的在得∠ADC=90°，即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵E，G分别是AC，DC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AD，
∵∠FCA＝∠CEG，
∴EG∥CF，
∴AD∥CF；
（2）证明：由（1）得：AD∥CF，
∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
32．(1)见解析；(2)24
【分析】
(1)由四边形ABCD是平行四边形得出AB=CD，ABCD，进而得到∠BAC=∠DCA，再结合AO=CO，M,N分别是OA和OC中点即可求解；
(2)证明△ABO是等腰三角形，结合M是AO的中点，得到∠BMO=∠EMO=90°，同时△DOC也是等腰三角形，N是OC中点，得到∠DNO=90°，得到EMDN，再由(1)得到EM=DN，得出四边形EMND为矩形，进而求出面积．
【详解】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，ABCD，OA=OC，
∴∠BAC=∠DCA，
又点M，N分别为、的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)BD=2BO，又已知BD=2AB，
∴BO=AB，∴△ABO为等腰三角形；
又M为AO的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM⊥AO，
∴∠BMO=∠EMO=90°，
同理可证△DOC也为等腰三角形，
又N是OC的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DN⊥CO，
∠DNO=90°，
∵∠EMO+∠DNO=90°+90°=180°，
∴EMDN，
又已知EM=BM，由(1)中知BM=DN，
∴EM=DN，
∴四边形EMND为平行四边形，
又∠EMO=90°，∴四边形EMND为矩形，
在Rt△ABM中，由勾股定理有：，
∴AM=CN=3，
∴MN=MO+ON=AM+CN=3+3=6，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩形的面积公式等，熟练掌握其性质和判定方法是解决此类题的关键．
专题 18.17 矩形（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（ ）
A．10 B．25 C．50 D．75
2．将一块三角尺和一张矩形纸片如图排放，若∠1=25°，则∠2的大小为（ ）
A．55° B．65° C．45° D．75°
3．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
4．如图，在矩形中，F是中点，E是上一点，且，，，则矩形的面积为（ ）
A．16 B． C． D．
5．如图，四边形和四边形都是矩形．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
8．在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④
9．下列语句中真命题有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；
②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相垂直的四边形四边中点所连成的图形为矩形；
⑤一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑥如果直角三角形的两边为5，12，那么斜边一定是13；
⑦在△ABC中，若，则△ABC是直角三角形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）．
A． B． C． D．
11．如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过D作DF⊥BC于点F，DF＝5cm，∠EDB＝15°，则DE＝（ ）
A．12.5cm B．5cm C．7.5cm D．10cm
12．如图，矩形中，交于点分别为的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．保持不变
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
二、填空题
15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M在BC边上，连接MO并延长交AD边于点N．若BM = 1，∠OMC = 30°，MN = 4，则矩形ABCD的面积为 _________ ．
16．如图所示，在矩形中，平分，且等于，________
17．我们把宽与长的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形中，，，的平分线交边于点，则的长为______．
18．一个矩形的两条对角线所夹的锐角是60°，这个角所对的边长为10cm，则该矩形的面积为_______．
19．如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，有，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是______．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是____．
21．如图，长方形纸片，点E，F分别在边上，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后再次折叠纸片使点F与点重合，点C落在点，折痕为，若，则_______度．
22．如图，中，，为中点，在上，且，若，，则边的长度为______．
23．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____
24．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加______________条件，才能保证四边形是矩形．
25．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝6，过点D作DE⊥CD于点D，连接AE，若DE＝CD，则△ADE的面积是___________．
26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形．
27．如图，，D为外一点，且交的延长线于E点，若，则_______．
28．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的是_______．
（1）；（2）；（3）是等边三角形；（4）．
三、解答题
29．下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形ABCD．
求作：▱AGHD，使∠GAD=30°．
作法：如图，
①分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线EF；
③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；
④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．
则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
（1）∠BAG的大小为 ；
（2）判定四边形AGHD是平行四边形的依据是 ；
（3）用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为 ．
30．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且．
求证：（1）；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
31．如图，已知在△ABC中AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
32．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为、的中点，延长至点E，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，且，，求四边形的面积．
参考答案
1．B
【分析】
根据题意知点F是Rt△BDE的斜边上的中点，因此可知DF=BF=EF=5，根据矩形的性质可知AB=DC=x，BC=AD=y，因此在Rt△CDF中，CD2+CF2=DF2，即可得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，
∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°，
又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF=5，
∴BF=DF=EF=5，
∴CF=5-BC=5-y，
∴在Rt△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+（5-y）2=52=25，
∴x2+（y-5）2=x2+（5-y）2=25，
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理，做题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF的长度．
2．B
【分析】
延长CE，交矩形边于点B，利用三角形外角性质，平行线的性质计算．
【详解】
延长CE，交矩形边于点B，
∴∠ABE=90°-∠1=65°，
∵纸片是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠2=65°，
故选B．
【点拨】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，三角板的特点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．D
【分析】
根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】
解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=．
故选：D．
【点拨】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
4．C
【分析】
根据矩形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到，是等边三角形，求出CD即可；
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，，F是中点，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选C．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，准确计算是解题的关键．
5．A
【分析】
由题意可得∠AGF=∠DAB=90°，由平行线的性质可得，即可得∠DGF=70°．
【详解】
解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形
∴∠AGF=∠DAB=90°，DC//AB
∴
∴
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
6．A
【分析】
根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】
解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，
∴AD=OC=10，DC=AO=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10−6=4，
设EC=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8−x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3，
∴点E的坐标为(10,3)．
故选择A．
【点拨】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．
7．B
【分析】
根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．
【详解】
解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，
∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×=90°．
故选B．
【点拨】此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．
8．C
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．
【详解】
∵CM、BN分别是高
∴△CMB、△BNC均是直角三角形
∵点P是BC的中点
∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线
∴
故①正确
∵∠BAC=60゜
∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜
∴AB=2AN，AC=2AM
∴AN：AB=AM：AC=1：2
即②正确
在Rt△ABN中，由勾股定理得：
故③错误
当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形
∵CM⊥AB，BN⊥AC
∴M、N分别是AB、AC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC
故④正确
即正确的结论有①②④
故选：C
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．
9．B
【分析】
根据平行四边形的判定，矩形的判定，直角三角形的性质与判定，进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：①对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形对角线也相等，故此说法错误；
②一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足，故此说法错误；
③一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故此说法正确；
④对角线互相垂直的四边形四边中点所连成的图形为矩形，故此说法正确；
⑤一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故此说法错误；
⑥如果直角三角形的两边为5，12，那么斜边是12或13，故此说法错误；
⑦在△ABC中，若，即则△ABC是直角三角形，故此说法正确.
故选B.
【点拨】本题主要考查了命题与定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，直角三角形的性质与判定.
10．D
【分析】
由条件：四边形ABCD为平行四边形及DE=AD，可得四边形DBCE为平行四边形，根据所给的四个选项及矩形的判定即可作出判断．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD，BC∥AD，AB∥CD
∵DE=AD
∴BC=DE
∵BC∥AD
∴BC∥DE
∴四边形DBCE是平行四边形
当AB=BE时，则由AB=CD得BE=CD，即四边形DBCE的两条对角线相等，根据矩形的判定知，四边形DBCE是矩形；
当CE⊥DE时或时，根据矩形的定义即知，四边形DBCE是矩形；
当时，则由AB∥CD，可知BE⊥CD，即的对角线相互垂直，但不能判定它是矩形．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定方法是本题的关键．
11．D
【分析】
过点作的垂线交于点，先证明四边形为矩形，得出，利用角平分线的性质，证明出为等腰三角形，得出，再在中，利用对应的边等于斜边的一半即可求解．
【详解】
解：过点作的垂线交于点，如图：
由题意：，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
∠ABC的平分线交AC于点D，
，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
在中，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定及性质、矩形的判定、直角三角形中对应的边等于斜边的一半，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线构造直角三角形．
12．A
【分析】
根据三角形中位线的性质可求出OD的长，根据矩形的性质可得AC的长，根据直角三角形的性质即可得答案.
【详解】
∵E、F分别为AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OD=2EF=2×4=8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=8，即：AC=16，
∵AB=8，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°．
故选A．
【点拨】本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
13．D
【分析】
过点作于，于，先根据矩形的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论．
【详解】
解：如图，过点作于，于，
则四边形是矩形，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长度保持不变，
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键．
14．A
【分析】
依据矩形的性质即可得到的面积为2，再根据，即可得到的值．
【详解】
解：，，
矩形的面积为8，，
，
对角线，交于点，
的面积为2，
，，
，即，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．
15．##
【分析】
过点N作交于点E，由矩形ABCD得，，根据ASA可证，故可得，由直角三角形角所对的边为斜边的一半得出，根据勾股定理求出，从而得出，由矩形的面积公式即可得出答案．
【详解】
如图，过点N作交于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
16．
【分析】
证是等腰直角三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】
解：四边形是矩形，
，，，，
，
平分
，
是等腰直角三角形，
，
又，
；
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：135．
【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明为等边三角形是解题的关键．
17．##
【分析】
根据黄金矩形，得出宽与长的比为黄金比，AD∥BC，AD=BC=2，可求AB=BC=，根据BE为的平分线，证出AE=AB=即可．
【详解】
解：∵黄金矩形，
∴宽与长的比为黄金比，AD∥BC，AD=BC=2，
∴AB=BC=，
∵BE为的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=∠ABE，
∴AE=AB=，
∴DE=AD-AE=2-（）=．
故答案为．
【点拨】本题考查黄金矩形的性质，角平分线定义，平行线性质，等腰三角形判定，线段和差，掌握黄金矩形的性质，角平分线定义，平行线性质，等腰三角形判定，线段和差是解题关键．
18．
【分析】
先根据矩形的性质证明△ABC是等边三角形，得到，则，然后根据勾股定理求出，最后根据矩形面积公式求解即可．
【详解】
：如图所示，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质．
19．
【分析】
根据HF垂直平分BE，得到BF=EF，设DE=x，根据矩形的性质证明△EDG≌△FCG，得到CF=DE=x，BC=AE+DE=5+x，过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，由勾股定理得，即，求出x可得答案．
【详解】
解：∵HF垂直平分BE，
∴BF=EF，
设DE=x，
∵G是CD的中点，
∴DG=CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AD=BC，AB=CD，
∴∠EDG=∠FCG，
∵∠EGD=∠FGC，
∴△EDG≌△FCG，
∴CF=DE=x，
∵，
∴BC=AE+DE=5+x，
过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，
∴DM=CF=x，MF=CD=AB=10，∠M=90°，
∴EF=BF=5+2x，
∵，
∴，
解得x=，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．
20．（，）
【分析】
由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∵AC∥x轴，
∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，
∵AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴OA＝OC＝3，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝OD＝，
∴点A的坐标是（，）；
故答案为：（，）．
【点拨】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键．
21．144
【分析】
根据将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，得出∠EB′F=∠B=90°，∠BFE=∠B′FE，可得∠AB′E+∠DB′F=90°根据四边形ABCD为矩形，得出AD∥BC，可得∠DBF=∠B′FB=2∠EFB，可求∠AB′E =90°-∠DB′F=90°-2∠EFB，根据GH为对称轴，可得∠CB′F=∠CFB′=180°-∠B′FB=180°-2∠EFB，可得∠C′B′D=∠C′B′F-∠FB′D=180°-2∠EFB-2∠EFB，根据，列方程180°-2∠EFB-2∠EFB-（90°-2∠EFB）=18°，解方程即可．
【详解】
解：∵将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，
∴∠EB′F=∠B=90°，∠BFE=∠B′FE，
∴∠AB′E+∠DB′F=90°
∴∠AB′E =90°-∠DB′F
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DB′F=∠B′FB=2∠EFB，
∴∠AB′E =90°-∠DBF=90°-2∠EFB，
∵GH为对称轴，
∴∠C′B′F=∠CFB′=180°-∠B′FB=180°-2∠EFB，
∵∠C′B′D=∠C′B′F-∠FB′D=180°-2∠EFB-2∠EFB，
∵，
∴180°-2∠EFB-2∠EFB-（90°-2∠EFB）=18°，
解得∠EFB=36°，
∴∠EFC=180°-∠EFB=180°-36°=144°．
故答案为144．
【点拨】本题考查折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程，掌握折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程是解题关键．
22．
【分析】
由BE⊥AC，D为AB中点，，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．
【详解】
解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D为AB中点，
∴AB＝AC=2DE＝2×＝5，
∵AE＝4，
∴BE＝＝=3，CE=AC-AE=1，
∴BC＝=＝，
故答案为：．
【点拨】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．
23．6
【分析】
作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．
【详解】
如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，
∵DP⊥AB，ABC=90°，
∴四边形BEDP为矩形，
∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，
∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
在△ADP和△CDE中
，
∴△ADP≌△CDE，
∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，
∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，
∴DP2=36，
∴DP=6．
故答案为6．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．
24．ACBD
【分析】
根据中位线的性质易得四边形EFGH为平行四边形，那么只需让一组邻边互相垂直即可，然后只需要证明∠2为90°即可．
【详解】
解：∵E、F为AD、AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
同理可得GH∥BD，GH=BD，FG∥AC，FG=AC，
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD
故答案为：AC⊥BD.
【点拨】本题考查矩形的判定，有一个角是90°的平行四边形是矩形和中位线定理，解题的关键是了解矩形的判定定理，难度不大．
25．
【分析】
过点D作DF⊥BC于F，过点E作EG⊥AD交AD的延长线于G，判断出四边形ABFD是矩形，根据矩形的对边相等可得BF=AD，然后求出CF，再求出∠CDF=∠EDG，然后利用“角角边”证明△CDF和△EDG全等，根据全等三角形对应边相等可得EG=CF，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，过点D作DF⊥BC于F，过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠B=∠DFB=∠BAD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD，
∵AD=3，BC=6，
∴CF=BC-AD=6-3=3，
∵DE⊥CD，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDG=∠EDG+∠CDG=90°，
∴∠CDF=∠EDG，
在△CDF和△EDG中，
∵∠CDF＝∠EDG， ∠CFD＝∠G＝90°， CD＝DE ，
∴△CDF≌△EDG（AAS），
∴EG=CF=3，
∴△ADE的面积=AD•EG=×3×3=．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
26．6或4
【分析】
分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可．
【详解】
解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°．
①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，
∴∠B′EC=90°，
由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°，
在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC，
∴BE=CE=BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2，
∴AE=AB=，BE==3，
∴BC=2BE=6；
②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O，
∵AD∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C，
∴∠OAC=∠ACO，
∴OA=OC，又AD=BC=B′C，
∴OD=OB′
∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°．
∵∠ADC=∠B=∠AB′C，
∴∠CDB′=∠AB′D=90°，
∴CD∥AB′，又CD =AB′，
∴四边形AB′DC是矩形，
∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=，
∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2，
解得：BC=4，
综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：6或4．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识间的联系与运用是解答的关键．
27．2
【分析】
过点D作DM⊥CB于M，证出∠DAE=∠DBM，判定△ADE≌△BDM，得到DM=DE=3，证明四边形CEDM是矩形，得到CE=DM=3，由AE=1，求出BC=AC=2．
【详解】
解：∵DE⊥AC，
∴∠E=∠C=90°，
∴，
过点D作DM⊥CB于M，则∠M=90°=∠E，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠DAE=∠DBM，
∴△ADE≌△BDM，
∴DM=DE=3，
∵∠E=∠C=∠M =90°，
∴四边形CEDM是矩形，
∴CE=DM=3，
∵AE=1，
∴BC=AC=2，
故答案为：2．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边对等角证明角度相等，正确引出辅助线证明△ADE≌△BDM是解题的关键．
28．（1）（2）（3）（4）
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出（1）正确，（2）正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．
【详解】
解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG=AG=GE=AE，
∵∠AOG=30°，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∠GOE=90°-∠AOG=90°-30°=60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE=2a，则OE=OG=a，
由勾股定理得，AO=a，
∵O为AC中点，
∴AC=2AO=2a，
∴BC=AC=×2a=a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3a，
∴DC=3OG，故（1）正确；
∵OG=a，BC=a，
∴OG=BC，故（2）正确；
∵S△AOE=a•a=a2，SABCD=3a•a=3a2，
∴S△AOE=S矩形ABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确的是（1）（2）（3）（4）．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．
【点拨】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等边三角形的判定与性质的运用，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解．
29．
（1）60°
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（3）S2=2S1
【分析】
（1）连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，得到AG=BG，推出△ABG是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质得到∠BAD=90°，推出GH∥AD，得到四边形AGHD是平行四边形；
（3）设EF与AB交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
（1）
连接BG，
由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG=BG，
∵AB=AG，
∴AB=AG=BG，
∴△ABG是等边三角形，
∴∠BAG=60°；
故答案为：60°；
（2）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵EF⊥AB，
∴GH//AD，
∵GH=AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（3）
设EF与AB交于M，
∵S2=AD•AB，S1=HG•AM=AD•AB=AD•AB，
∴S2=2S1，
故答案为：S2=2S1．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
30．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．
【分析】
（1）根据矩形的性质可得AB=DC，∠B=∠DCF=90°，根据全等三角形的判定即可得到；
（2）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据可得AD=EF，根据平行四边形的判定即可得到四边形AEFD是平行四边形．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°，
∴∠DCF=90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
即AD=BE+EC，
∵BE=CF，
∴AD=CF+EC，
即AD=EF，
∵点F在BC的延长线上，
∴AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，平行四边形的判定．熟记各个图形的性质和判定是解题的关键．
31．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先证EG是△ACD的中位线，得EG∥AD，再由∠FCA=∠CEG证出EG∥CF，即可得出结论；
（2）先证△ADE≌△CFE（AAS），得AD=CF，则四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的在得∠ADC=90°，即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵E，G分别是AC，DC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AD，
∵∠FCA＝∠CEG，
∴EG∥CF，
∴AD∥CF；
（2）证明：由（1）得：AD∥CF，
∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
32．(1)见解析；(2)24
【分析】
(1)由四边形ABCD是平行四边形得出AB=CD，ABCD，进而得到∠BAC=∠DCA，再结合AO=CO，M,N分别是OA和OC中点即可求解；
(2)证明△ABO是等腰三角形，结合M是AO的中点，得到∠BMO=∠EMO=90°，同时△DOC也是等腰三角形，N是OC中点，得到∠DNO=90°，得到EMDN，再由(1)得到EM=DN，得出四边形EMND为矩形，进而求出面积．
【详解】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，ABCD，OA=OC，
∴∠BAC=∠DCA，
又点M，N分别为、的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)BD=2BO，又已知BD=2AB，
∴BO=AB，∴△ABO为等腰三角形；
又M为AO的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM⊥AO，
∴∠BMO=∠EMO=90°，
同理可证△DOC也为等腰三角形，
又N是OC的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DN⊥CO，
∠DNO=90°，
∵∠EMO+∠DNO=90°+90°=180°，
∴EMDN，
又已知EM=BM，由(1)中知BM=DN，
∴EM=DN，
∴四边形EMND为平行四边形，
又∠EMO=90°，∴四边形EMND为矩形，
在Rt△ABM中，由勾股定理有：，
∴AM=CN=3，
∴MN=MO+ON=AM+CN=3+3=6，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩形的面积公式等，熟练掌握其性质和判定方法是解决此类题的关键．
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