(暑期班)2025年新高三数学暑期复习讲义09 双曲线方程及其性质+随堂检测+课后巩固练习（2份，原卷版+教师版）

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双曲线的定义
数学表达式：
双曲线的标准方程
焦点在轴上的标准方程 焦点在轴上的标准方程

标准方程为： 标准方程为：
双曲线中，，的基本关系
双曲线的几何性质
离心率与渐近线夹角的关系
通径：（同椭圆）
通径长：，
半通径长：
双曲线的焦点到渐近线的距离为
考点一、双曲线的定义及其应用
1.－＝4表示的曲线方程为（ ）
A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)
2.已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
1.在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.若动圆过定点且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
考点二、双曲线的标准方程
1.双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
2.已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
1.设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2.设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
考点三、双曲线的几何性质
1.已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2.已知双曲线的左焦点为，是双曲线上的点，其中线段的中点恰为坐标原点，且点在第一象限，若，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
1.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为 .
2.已知直线经过双曲线的一个焦点，且平行于的一条渐近线，则的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
考点四、双曲线的离心率
1.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
1.已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点五、双曲线中的最值问题
1.已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
1.已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C． D．
2.设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【基础过关】
一、单选题
1.已知双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
2.双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3.已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
4..已知双曲线的右顶点为P，过点P的直线l垂直于x轴，并且与两条渐近线分别相交于A，B两点，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
5.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
6.已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
7.点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ．
【能力提升】
一、单选题
1.已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
4.已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
5.双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
第09讲 双曲线方程及其性质 随堂检测
1.已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2.设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于( )
A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对
3.若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．
5.设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．6 D．12
6.已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
7.双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
8.双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为 ．
9.已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
10.已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是 ．焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标
，
，
，
，
实轴
实轴长，实半轴长
虚轴
虚轴长，虚半轴长
焦点
，
，
焦距
焦距，半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为
渐近线方程
离心率

离心率对双曲线的影响
越大，双曲线开口越阔
越小，双曲线开口越窄