(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第15讲 双曲线的简单几何性质+课后练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：双曲线的简单几何性质
【即学即练1】双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为双曲线方程为，化为标准方程为：，所以，
由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.故选：C.
知识点02：等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
【即学即练2】经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为
【答案】
【详解】设所求双曲线方程为：，双曲线经过点，，
所求双曲线方程为：.故答案为：.
知识点03：直线与双曲线的位置关系
1、代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点；
【即学即练3】直线与双曲线上支的交点个数为 ．
【答案】2
【详解】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．
故答案为：2
知识点04：弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则

为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
【即学即练4】过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
【答案】
【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，
所以．
故答案为：
知识点05：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
【即学即练5】已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设双曲线的方程为，因为，所以，则，
所以渐近线方程为.故选：C.
知识点06：双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
【即学即练6】过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A
题型01由双曲线的方程求几何性质
【例1】（多选）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（ ）
A．焦距 B．顶点坐标 C．离心率 D．渐近线方程
【答案】CD
【详解】由方程，则该双曲线的标准方程为，即，，
则焦距为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为.故选：CD.
【变式1】（多选）已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为1 B．虚轴长为2 C．离心率 D．渐近线方程为
【答案】BCD
【详解】由可知，，故实轴长为，虚轴长为，
离心率，渐近线方程为，即.故选：BCD
题型02根据双曲线几何性质求其标准方程
【例1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.设双曲线的方程为，故，解得，故双曲线的标准方程为.故选:A.
【变式1】一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上，离心率，所以所求双曲线的焦点也在轴上，离心率， 即，所以，又因为双曲线的虚轴长为， 即，所以， 即，
所以，所以所求双曲线的方程为：.故选：C.
【变式2】已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
【答案】
【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:.故答案为: .
题型03双曲线的渐近线问题
【例1】已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.∴双曲线的离心率为.故选：C.
【例2】已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得双曲线的渐近线方程为．∵双曲线的离心率为2，
∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选：A．
【变式1】双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】依题意得，，，所以，，，所以渐近线方程为，右焦点为，所以点到渐近线的距离为.故选：A
【变式2】已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .

【答案】
【详解】由题意可得，由双曲线的定义及点在右支上，，又点在左支上，则，则，
在中，由余弦定理可得，
而与渐近线垂直，于是，即，从而得，
所以，即，化简得，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：
题型04双曲线的离心率问题（定值）
【例1】古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 .
【答案】
【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，，
则，，可得四边形为平行四边形，

又及托勒密定理，可得四边形为矩形．设，，
在中，，则，，，，，
，解得．双曲线的离心率为．故答案为：．
【例2】已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【详解】
如图所示，设，则，所以，
又M在第一象限，即，故，因为，过M作轴于D，，故，即，故，解之得（负值舍去）.故答案为：
【变式1】已知直线是双曲线（）的一条渐近线，则的离心率为 .
【答案】
【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，所以，所以C的离心率为.故答案为：
题型05双曲线的离心率问题（最值或范围）
【例1】已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，设，则点到渐近线的距离.由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.故选：A.

【例2】双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意直线：，即，又，
所以，，所以，
所以，即，即，解得，
又，所以.故选：B
【变式1】设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 .
【答案】
【详解】设双曲线的右焦点为，根据双曲线方程知，，则.因为直线过原点，由对称性，原点平分线段，又原点平分线段，所以四边形为平行四边形.在和中，分别有中位线，，，因为，所以，所以四边形为矩形，为直角三角形.不妨设在第一象限，设直线倾斜角为，则，且，
在Rt中可得：，所以，
因为，所以，又在上为增函数，
所以.故答案为：

【变式2】已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限，因为，所以，则，因为为直线的倾斜角，且，所以在中，，且，则，即，即，
即，解得，所以该双曲线离心率的取值范围是，故答案为：
题型06根据双曲线的离心率求参数
【例1】已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，双曲线的离心率为，可得，即，解得，即双曲线的渐近线的方程为.故选：B.
【变式1】已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即,解得或,又因为,即.故选：A
题型07直线与双曲线的位置关系
【例1】已知直线与双曲线相交于A，B两点，若A，B两点在双曲线的左支上，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由得，方程在有两个不相等的负实根，
所以,解得.故答案为：.
【变式1】已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点，则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，于是，解得，所以t的取值范围是.故答案为：

【变式2】若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有 条．
【答案】4
【详解】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点．当直线l的斜率存在时，可设直线为，代入曲线方程整理得，若，则，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点；当时，则由，得，此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点．综上，这样的直线共有4条．故答案为：4
题型08弦长问题
【例1】已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）由题意得：，，，解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，故直线方程为或
【变式1】已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；
(3)求的周长．
【答案】(1)(2)25(3)54
【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
由题意得，解得，所以双曲线方程为.
（2）依题意得直线AB的方程为，设，.
联立，得，，且，
所以.
（3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，
由双曲线定义，，从而，
的周长为．
题型09三角形面积问题
【例1】已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，
而，且，
所以，故，故选：D.
【例2】已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上.若的周长为，则的面积是 .
【答案】
【详解】解：设，因为双曲线：（）的离心率为3，
所以，即，又的周长为，所以，
由双曲线的定义得，解得 ，
由余弦定理得 ，则 ，
所以 ，故答案为：
【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【详解】直线与双曲线交于，两点，若，则四边形为矩形，所以，，

由双曲线可得，，则，所以，
所以，又，所以，
解得，所以．故选：C．
【变式2】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的焦点重合，点P在双曲线C的右支上，若，且，则的面积为 .
【答案】
【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以，设，则，因为，所以，
则，解得，所以，.
故答案为：
题型10中点弦和点差法
【例1】已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即，所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.
【变式1】双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 .
【答案】
【详解】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，设弦的两端分别为，，
则有，两式相减得，
所以，又因为弦的中点为，所以，
故直线斜率，则所求直线方程为，整理得，
由得，，故该直线满足题意，
故答案为：
【变式2】已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为所以，
由可得 ,解得，，故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为则①，②，
②①得：，即，又，所以，
所以直线的方程为，即
课后巩固练习
一、单选题
1．双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为双曲线，所以，，所以，的离心率，故B，C，D错误.故选：A.
2．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设双曲线的方程为，因为，所以，则，
所以渐近线方程为.故选：C.
3．若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可得，解得，因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.故选:C.
4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设点的横坐标为，，，即，
由题可知，，得．故选：D.
5．过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】左支内最短的焦点弦，又，所以与左、右两支相交的焦点弦长，因为实数使得的直线恰有3条，根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于轴对称.如图所示：

所以当时，有3条直线满足题意.故选：C
6．已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，而
，且，所以，
故，故选：D.
7．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与交于点，，若，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【详解】双曲线，则，，，
由可得，设为右支上一点，为右焦点，连接、，则四边形为矩形，所以，设，，则，，所以.
故选：A
8．已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点，，到直线的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设直线经过，则直线的方程为，即，则到直线的距离分别为，，故，解得，故离心率，故双曲线的离心率的取值范围是.
故选：B
二、填空题
9．若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为 .
【答案】
【详解】因为双曲线的渐近线方程是，故可设双曲线的方程为：，把点代入双曲线方程可得，所以双曲线方程为，化为标准方程得，所以，，，，所以双曲线的焦距为．
故答案为：．
10．已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点，
则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，
于是，解得，所以t的取值范围是.故答案为：

三、解答题
11．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由已知，，又，则，所以双曲线方程为.
（2）由，得，则，
设，，则，，所以.
12．已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由离心率又,所以，
又右顶点为，所以，所以，故双曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设，则由得，
因为直线与双曲线一支交于、两点，所以 ，解得，
因此
，因为，所以，
所以，所以，故.
B能力提升
1．直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】圆，圆心，半径，因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，所以，又双曲线，则，，右焦点为，
所以，
又，即，所以，当点在右顶点时取等号，即，
所以的最小值为，故选：D.

2．已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，
又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，
联立方程组，解得，所以双曲线C的标准方程为.
（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为，且，
则，两式相减得，所以，
因为的中点为，所以，所以，解得，
直线的方程为，即，把直线代入，整理得，
可得，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.
第15讲 2.2双曲线的简单几何性质 随堂检测
1.已知双曲线，下列结论正确的是（ ）
A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为
C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为
【答案】C
【详解】对A，C的实轴长为，A错；对B，C的渐近线方程为，B错；
对C，C的离心率为，C对；对D，C的焦点的坐标为，D错.故选：C
2.如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，由双曲线的定义得，，
又由得，即，解得，所以，
在直角中，由勾股定理得，即，整理得，
则，双曲线的渐近线斜率为．故选：B．
3.已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.∴双曲线的离心率为.故选：C.
4.已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由双曲线（其中），得，则双曲线离心率，因为，所以，则，所以，所以，即双曲线离心率的取值范围为.故选：A.
5.过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A
6.与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ．
【答案】
【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，即，解得或（舍去），故所求双曲线方程为．故答案为：
7.若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【详解】双曲线经过点，，，解得，所以双曲线方程为，
又，则该双曲线的渐近线方程为．故答案为：．
8.已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【详解】双曲线的渐近线的方程为.圆的标准方程为：，故该圆的圆心为，半径为2，而圆心到渐近线的距离为，故渐近线被该圆截得的弦长为，整理得到：或，而，故，故离心率为.故答案为：.
9.设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为
【答案】
【详解】因为表示双曲线的方程，所以有，因此，
因为，所以由，
即k的取值范围为，故答案为：.
10.已知双曲线的离心率为2，则实数 ．
【答案】
【详解】由题知，，则方程表示焦点在轴上的双曲线，所以，则，所以，解得：.故答案为：.
11.记双曲线的离心率为，若直线与无公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】，所以C的渐近线方程为，结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”.所以，又因为，所以.故答案为：
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】依题意可得，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的这条渐近线方程为，
由，得：或，所以，双曲线的左顶点为，则，
所以，，因为，所以，化简得，所以，所以，所以，又，所以.
故答案为：

13.已知双曲线，及直线.
(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；
(2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值.
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）由，消去，得①，
当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）.
当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时），
综上得的取值是或；
（2）设交点，由，消去，得，
首先由，得且，并且，
又因为与的左右两支分别交于A､B两点，所以，即，解得，
故.因为直线l与y轴交于点，所以，
故.解得或.
因为，所以.
14.双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
【答案】(1)(2)存在；.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，
因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
课程标准
学习目标
①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。
②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。
通过本节课的学习，要求掌握双曲线的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用双曲线的几何性质解决与双曲线有关的点、弦、周长、面积等问题
标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
a，b，c间的关系