(暑期班)2025年新高三数学暑期复习讲义01 基本不等式+随堂检测+课后巩固练习（2份，原卷版+教师版）

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基本不等式
，当且仅当时取等号；其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数
通常表达为：（积定和最小）
应用条件：“一正，二定，三相等”
基本不等式的推论1
（和定积最大）当且仅当时取等号
基本不等式的推论2
，当且仅当时取等号
其他结论
①eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(ab＞0)．
②eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．
③已知a，b，x，y为正实数，
若ax＋by＝1，则有eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝＝a＋b＋eq \f(by,x)＋eq \f(ax,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
若eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋eq \f(ay,x)＋eq \f(bx,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
考点一、直接用基本不等式求最值
【例1】已知实数，则的最小值为___________.
【变式1-1】已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【变式1-2】已知实数，满足，则的最大值为_____________.
考点二、巧用“1”或常数关系求最值
【例2-1】若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【例2-2】若，，，则的最小值为______．
【变式2-1】已知，则的最小值是___________.
【变式2-2】设且，则的最小值为_________．
考点三、变形为分式的“分母”形式求最值
【例3】已知，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式3-1】已知都是正数，且，则的最小值为__________．
【变式3-2】已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．9
考点四、两次应用基本不等式求最值
【例4】已知实数，满足，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【变式4-1】若，，则的最小值为___________.
【变式4-2】已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点五、条件等式变形求最值
【例5-1】若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【变式5-1】若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．2B．1C．D．
【变式5-2】已知a，b，c均为正数，且满足，则的最小值为______．
考点六、构造法或换元法求最值
【例6-1】已知，，，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．6D．
【例6-2】已知正实数x，y满足，则的小值为______．
【变式6-1】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
考点七、基本不等式多选题综合
【例7】已知为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（多选）已知正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（多选）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【基础过关】
1．已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
3．已知正实数，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
4．若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．设，，若，则取最小值时a的值为______．
7．已知a，b为两个正实数，且，则的最大值为__________．
8．已知非负数满足，则的最小值是___________.
【能力提升】
9．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
10．若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．2B．1C．D．
二、多选题
11．已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为2
C．的最小值为6D．的最小值为4
三、填空题
13．设，则的最小值为______.
01讲 基本不等式 随堂检测
1．已知，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．若，且，则的最小值为（ ）
A．9B．3C．1D．
4．的最小值为______.
5．已知，且，则的最小值为______．
6．若，，则的最大值为____________．
7．已知正数满足，则的最小值为___________.
8．已知，且，则的最小值为___________.
9.已知实数，且，则的最小值为___________.
10.已知，，若，则的最小值为_____________.