(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第14讲双曲线及其标准方程+课后练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【即学即练1】平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
知识点02：双曲线的标准方程
两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
【即学即练2】已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为．
题型01 双曲线定义的理解
【例1】若动点满足关系式，则点的轨迹是（）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支
【变式1】双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（）
A．5 B．6 C．9 D．11
题型02利用双曲线定义求方程
【例1】已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（）
A． B．
C． D．
【变式1】到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为．
题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
【例1】已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（）
A．5 B． C．7 D．8
【例2】双曲线的左､右焦点是、，点在双曲线上，若，则（）
A． B． C．或 D．或
【变式1】已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（）
A．1或9 B．3或7 C．9 D．7
【变式2】若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（）
A． B． C． D．
题型04利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值
【例1】已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（）
A． B． C． D．
【例2】过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为．
【变式1】已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（）
A．3 B．1 C． D．
【变式2】已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 .
题型05判断方程是否表示双曲线
【例1】（多选）对于曲线C：，则下列说法正确的有（）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线
【变式1】（多选）已知曲线的方程为，则（）
A．曲线可以表示圆
B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
【变式2】（多选）方程表示的曲线可以是（）
A．圆 B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的双曲线
题型06根据方程表示双曲线求参数
【例1】已知，则“”是“方程表示双曲线”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1】若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（）
A． B． C． D．
【变式2】“”是“方程表示双曲线”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型07求双曲线方程
【例1】2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（）
A． B． C． D．
【变式1】已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（）
A． B． C． D．
【变式2】过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
题型08双曲线中的轨迹方程问题
【例1】已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（）
A． B．
C． D．
【变式1】动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）
A． B． C． D．
题型09双曲线中的焦点三角形问题
【例1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【例2】已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则．
【变式1】已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（）
A．8 B． C．10 D．
【变式2】从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 .
课后巩固练习
一、单选题
1．设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
2．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
3．已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（）
A．7 B． C．8 D．
4．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的虚轴长为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）

A． B． C． D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（）

A． B． C． D．
7．若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（）
A． B．
C．或 D．或
8．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（）
A． B． C． D．
二、填空题
9．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为．
10．已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .
B能力提升
1.已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是 .（填序号）
①点P到x轴的距离为；②；③为钝角三角形；④.
2．已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程.
第14讲 2.1双曲线及其标准方程随堂检测
1.若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（）
A． B． C．或 D．或
2.双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
3.已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（）
A． B． C． D．
4.（多选）关于、的方程表示的轨迹可以是（）
A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线
5.已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（）
A． B． C． D．
6.已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（）
A． B． C． D．
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，若，则双曲线C的方程为（）
A． B． C． D．
8.设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（）
A． B．4 C． D．3
9.一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是．
10.设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为．
11.如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程；
12.若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.
课程标准
学习目标
①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。
②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。
③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。
通过本节课的学习，要求掌握双曲线的定义（相关的量的掌握）及双曲线的标准方程（满足的条件），会求与双曲线有关的几何量.
焦点位置
焦点在轴上
焦点在轴上
标准方程
（）
（）
图象
焦点坐标
，
，
的关系