新高考数学一轮复习精品讲练测第8章第05讲 双曲线方程及其性质（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
双曲线的定义
数学表达式：
双曲线的标准方程
焦点在轴上的标准方程 焦点在轴上的标准方程

标准方程为： 标准方程为：
双曲线中，，的基本关系

双曲线的几何性质
离心率与渐近线夹角的关系
通径：
（同椭圆）
通径长：，
半通径长：
双曲线的焦点到渐近线的距离为
考点一、双曲线的定义及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义即可求解.
【详解】解：由题意，因为，
所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
由于双曲线的焦点在轴上，
所以双曲线的标准方程是.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）－＝4表示的曲线方程为（ ）
A．－＝1(x≤－2)B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2)D．－＝1(y≥2)
【答案】C
【分析】根据两点间距离的定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合方程的意义，即可判断出y的取值范围．
【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.
根据双曲线定义可知，
所以
由焦点在y轴上，所以
，且到点 的距离比较大
所以
即曲线方程为
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据切线长相等的关系求得，利用双曲线定义求解.
【详解】如图，，，，
所以.根据双曲线定义，
所求轨迹是以A，B为焦点，
实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），
方程为.
故选:C.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据动圆同时与圆及圆外切，即可得到几何关系，再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程.
【详解】由题，设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为,
当动圆与圆，圆外切时,,,
所以,
因为圆心,，即，又
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，，
所以,则动圆圆心的轨迹方程是；
故答案为：
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解.
【详解】由于，因此满足，
的动点P的轨迹均不是双曲线，
满足的动点P的轨迹是双曲线的右支，
而满足的动点P的轨迹才是双曲线．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．
【详解】解：如图设与圆的切点分别为、、，
则有，，，
所以．
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为．
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于( )
A．1B．17
C．1或17D．以上答案均不对
【答案】B
【分析】根据双曲线定义直接求解.
【详解】由双曲线有.则.
由题意知，所以点在双曲线的左支,
则由双曲线的定义有，故.选.
【点睛】本题主要考查双曲线定义的简单运用.解题中很容易因忽略双曲线上的点到焦点的距离的取值范围而错选.
4．（2023·全国·高三专题练习）若动圆过定点且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设动圆的半径为，则有，再由两圆外切得到，进而得到，再利用双曲线的定义求解.
【详解】定圆的圆心为 ，与 关于原点对称，
设动圆的半径为，则有，
因为两圆外切，
所以，即，
所以点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，
则，，，
所以轨迹方程为
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据圆与圆外切与内切的性质可得，， 相减可得， 可得点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，结合双曲线的定义即可解决问题．
【详解】由圆，圆心，半径为，
圆，圆心，半径为，
设动圆心的坐标为，半径为，
则，，
，
由双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
且，，，，
双曲线的方程为，故答案为．
【点睛】本题主要考查双曲线的定义与方程，属于中档题. 关于双曲线定义的理解有以下几种情况：
（1）,,表示双曲线；
（2）,,表示两条射线；
（3）,表示双曲线的一支；
（4）,表示一条射线.
考点二、双曲线的标准方程
1．（2021·北京·统考高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
2．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
3．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
4．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）（多选）已知曲线是顶点分别为的双曲线，点（异于）在上，则（ ）
A．
B．的焦点为
C．的渐近线可能互相垂直
D．当时，直线的斜率之积为1
【答案】ACD
【分析】根据双曲线方程的形式特征判断A、B；求出渐近线，利用渐近线互相垂直求解即可判断C；设点的坐标，求解斜率之积即可判断D.
【详解】若是双曲线，则，解得，
此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，
其焦点为，，故选项A正确、选项B错误；
的渐近线方程为，当时，的渐近线的斜率为，此时两条渐近线互相垂直，
满足题意，故选项C正确；
当时，，其顶点坐标分别为，，
设，则，故选项D正确.
故选：ACD.
5．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
6．（2021·全国·统考高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.
【详解】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．

联立,
化简得.
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
1．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义及勾股定理得出，再根据点在双曲线上求双曲线方程.
【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，
如图所示，过点作于点.

因为，所以，
因为，
所以，所以，
故，得.
因为，所以，故点，
将代入双曲线中，
即，化简得，
，
解得或（舍去），故B项正确.
故选：B.
2．（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理计算，从而得出，即可得出双曲线的方程．
【详解】∵为圆上的点，，
，∴是的中点，
又是的中点，，
且，
又，，
是圆的切线，，
又，，
，
∴双曲线方程为．

故选：D
3．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线定义，的面积，直角△中的锐角三角函数和△中的正弦定理、余弦定理建立，，之间的关系方程，再求解即可.
【详解】
由圆的方程知，，
又，在直角△中，，
且.
在△中，则，故.
在△中，，
由正弦定理，，则，
∴由双曲线定义，，又，，则，
∴，即.
∵为直角，易知为钝角，由知，，
在△中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又，将代入，解得.
∴双曲线C的方程：.
故选：A
【点睛】关键点点睛：建立起，，之间的关系，通过方程组进行求解.作为选择题，可以适当运用解题技巧：当得到，之间的第一个关系时，可通过将选项中的，依次代入检验，快速选出正确选项.
4．（2023·广东韶关·统考模拟预测）（多选）曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C是焦距为的双曲线
B．当时，曲线C是焦距为的双曲线
C．曲线C不可能为圆
D．当时，曲线C是焦距为的椭圆
【答案】AD
【分析】变形给定的方程，利用各选项的条件，结合圆、椭圆、双曲线的特征判断作答.
【详解】对于A，当时，方程化为，曲线是焦距为的双曲线，A正确；
对于B，当时，方程化为，
曲线是焦点在y轴上，焦距为的椭圆，B错误；
对于C，当时，曲线表示圆，C错误；
对于D，当时，方程化为，
曲线是焦点在x轴上，焦距为的椭圆，D正确.
故选：AD
5．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知双曲线：，为的右顶点，若点到的一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若，是上异于的任意两点，且的垂心为，试问：点是否在定曲线上？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)垂心在定曲线上
【分析】（1）运用点到直线距离公式和双曲线中之间的关系求解；
（2）根据M，N点是否与重合以及是否与x轴对称，分类讨论即可.
【详解】（1）由题意，双曲线的渐近线方程为，所以点到渐近线的距离为，从而解得，
即的标准方程为；
（2）情形一：，中没有一点为，且直线的斜率存在，

设直线：，，，则AM和AN的斜率分别为：，
易得边的高线的斜率为 ，方程为：，即，
边AN的高线的斜率为：，方程为：，
联立，，消去，
可得
，
联立，，，
所以，，
又，所以，
从而，
又H点也在MN边的高线上，MN边高线的方程为：，消去可得，
化简得，即点在定曲线上；
若MN斜率不存在，则M，N关于x轴对称，即，如图：

设 ，则是等腰三角形，所以在x轴上，即，
，
，联立：，解得：，
，在定曲线上；
情形二：，中有一点即，设，不妨，设，过N点作AM的垂线，则H点在该垂线上，如图：

则， 解得，所以点在曲线上；
综上，曲线C的方程为：，H点总在曲线上.
【点睛】本题的难点在于情形1的计算量上，计算量较大，有下标的字母计算时需要反复核对，根据三角形AMN的图形设计分类讨论的方法，因为有个斜率不存在的问题.
6．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.

(1)求双曲线的方程；
(2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在直线上
【分析】（1）延长与交于，分析可得，令，则，，利用双曲线的定义可得出的值，利用勾股定理求出的值，进而可求得的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，联立直线、的方程，求出的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：如图所示：

延长与交于，因为，，
则，即，
令，则，
所以，，
由双曲线的定义可得，则，
，则，
又因为，即，解得，
所以，，，
由勾股定理可得，则，
故，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则直线与双曲线的交点为双曲线的两个顶点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，

由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
易知点、，则，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程并消去可得，
可得
，解得，
因此，直线与直线的交点在定直线上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
考点三、双曲线的几何性质
1．（2021·全国·统考高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
2．（2021·全国·统考高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
3．（2023·甘肃陇南·统考一模）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.
【详解】把代入中，得，即，
因为，，
所以，
又，所以，解得，舍去，则.
故选：A
4．（2023·河南安阳·统考三模）以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点，则的焦距为（ ）
A．4B．C．6D．8
【答案】C
【分析】由渐近线方程得出，，以及，联立即可求得答案.
【详解】由题意，，不妨设双曲线的渐近线方程为，
则.又，且，
联立解得，，即.
故选：C
5．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知双曲线的左焦点为，是双曲线上的点，其中线段的中点恰为坐标原点，且点在第一象限，若，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】易证得四边形为矩形，设，结合双曲线定义可表示出，在中，利用勾股定理可构造方程求得，由此可得渐近线方程.
【详解】设双曲线的右焦点为，连接，

，，，
又为中点，四边形为矩形；
设，则，，，，
，，解得：，
又，，即，
整理可得：，双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
6．（2023·河北沧州·校考三模）（多选）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A．的实轴长为2
B．的离心率为
C．的面积为
D．的平分线所在直线的方程为
【答案】ACD
【分析】求出双曲线的解析式，即可求出实轴长和离心率，求出焦点即可得出面积，利用倾斜角即可求出的平分线所在直线的方程.
【详解】由题意，
在中，
∵关于的平分线的对称点恰好在上，
∴，，三点共线，且，
∵，∴.
设，，
根据双曲线定义可得，，
解得，，即，∴.
在中，根据勾股定理可得，，解得，
∴的实轴长为2，所以A正确；
又，，∴的离心率为，所以B不正确；
的面积为，∴C正确；
∵，∴，
∵，易得的平分线的倾斜角为，
∴的平分线所在直线的方程为，即，所以D正确.
故选：ACD.
1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为 .
【答案】
【分析】根据已知渐近线的方程求出，进而结合即可求出结果.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，结合已知条件可得，故焦距为，
故答案为：.
2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为 ．
【答案】
【分析】由双曲线离心率结合方程求出，得到右焦点的坐标和双曲线渐近线方程，利用公式求点到直线的距离.
【详解】双曲线的离心率为2，由得，则，
右焦点，渐近线方程为，到渐近线的距离为.
故答案为：
3．（2023·北京密云·统考三模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 .
【答案】
【分析】根据已知条件求得，由此求得双曲线焦点坐标和渐近线方程.
【详解】因为双曲线的离心率为，
所以，解得，
所以双曲线方程为，
则，
所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为.
故答案为：；.
4．（2020·北京·统考高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.
5．（2023·全国·模拟预测）已知直线经过双曲线的一个焦点，且平行于的一条渐近线，则的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出满足的方程，求得a的值，即得答案.
【详解】由题意知，的焦点在轴上，所以直线与轴的交点是的一个焦点，
故；
又因为直线与的一条渐近线平行，故的一条渐近线的斜率为-2，
即，联立，解得，
因此的实轴长为，
故选：C.
考点四、双曲线的离心率
1．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
2．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
3．（2022·全国·统考高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
5．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
6．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
7．（山东·统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于 .
【答案】
【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又，
故答案为：
8．（全国·统考高考真题）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，联立方程组求得，根据，得到，求得，再由在双曲线上，化简得到，结合，化简得到，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线：的渐近线方程为.
设，联立方程组，解得.
因为，所以，即，可得.
又因为点在双曲线上，所以，
将代入，可得，
由，所以，所以，即，
化简得，则，所以双曲线的离心率为.
故选：B.

2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
因为，则，，
所以，，
因为，则，
设，则，则，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因为，解得，所以，，，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
3．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解.
【详解】延长与双曲线交于点，
因为，根据对称性可知，
设，则，
可得，即，
所以，则，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故选：D.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值；
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
4．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）如图，双曲线E：的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线的离心率为2
C．
D．的面积为
【答案】ABD
【分析】根据双曲线定义及性质，结合余弦定理和面积公式逐个选项判断即可．
【详解】如图所示：
对于A，且，所以，故A正确；
对于B，，，所以，又由相似可得：，，，，所以离心率，故B正确；对于C，中，由余弦定理可得，故C错误；
对于D，由C可知，，则其面积，故D正确．
故选：ABD．
5．（2023·广东深圳·统考二模）如图，双曲线的左､右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线和分别交于点（恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为.当时，下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．当点在第一象限时，
D．当点在第三象限时，
【答案】BC
【分析】依据题意确定切点不在双曲线上，根据勾股定理可计算，故可判断出不正确，正确；画出图象，根据图象观察可求出渐进性的斜率，进一步计算离心率即可判断出
【详解】因为且，所以，切点不在双曲线上，不正确，正确；
若，在中，，
当分别在一二象限时（如图1），，设的倾斜角为，
则；
当分别在二､三象限时（如图2），设的倾斜角为，
则，
正确，错误.

故选：
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，过P作C的切线交直线于点Q，则（ ）
A．C的离心率为B．C的离心率为
C．△OPQ的面积为D．△OPQ的面积为
【答案】AC
【分析】设，由题意可求得， ，中，利用正弦定理求得，即可求得双曲线得离心率；通过设点表示出，利用切线求得P，Q两点坐标，可求△OPQ的面积．
【详解】直线和直线，是双曲线C：的两条渐近线，

设，则有，
又垂直于渐近线，渐近线方程为，，，
，而，，
，
在中，，由正弦定理：，
，，，
，A选项正确；
双曲线C的方程为：，渐近线为，
过点的切线与双曲线切于点，则有，
又，均在双曲线的渐近线上，故设，
又，，
，
当点为切点时，由，切线斜率存在，
设切线方程为，代入双曲线方程，
得
令，得，解得，
过点的切线方程为，
切线方程代入，解得，
切线方程代入，解得，
，
，则C选项正确.
故选：AC
【点睛】方法点睛：
1.求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．
2.解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）设双曲线()的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由双曲线的几何性质可得，，，，所以，再结合向量的数量积运算求解即可．
【详解】由双曲线的几何性质可得，，，，
所以，
所以，
即，所以，所以离心率．
故答案为：．
8．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为
【答案】/
【分析】设直线方程为与双曲线方程联立，根据求解.
【详解】解：如图所示：

设直线方程为与双曲线方程联立，
解得，
因为，
所以，
即，即，
解得，
故答案为：
考点五、双曲线中的最值问题
1．（2023·广东肇庆·统考二模）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．
【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，
所以，且，所以，
的周长为，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则周长的最小值为．
故选：B．
2．（2023·浙江·统考一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义结合条件可得，，进而可得，即得.
【详解】因为，双曲线，
又，
所以，，
又，
解得，
即a的取值范围是.
故答案为：.
3．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）
A．12B．11C．10D．9
【答案】D
【分析】先根据题意求出点的坐标，设是双曲线的右焦点，根据双曲线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】拋物线的准线为，
则点到准线的距离为，所以，
则，故，
设是双曲线的右焦点，
则，则，
故，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
4．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点作渐近线的垂线，垂足为，则，再根据双曲线的定义得，进而转化为恒成立，再根据齐次式求解即可.
【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.

5．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．12
【答案】B
【分析】设，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公共点，再联立双曲线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可.
【详解】设，
则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支，
∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点，
将圆的方程代入双曲线方程得，
即，
判别式，解得，
当时，，且，
∴等号能成立．∴．
故选：B
6．（2023·广西玉林·统考三模）已知是双曲线的右焦点，点.若对双曲线左支上的任意点，均有成立，则双曲线的离心率的最大值为（ ）
A．B．5C．D．6
【答案】C
【分析】设是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把转化为后易得的最小值，从而得的最小值，由此得离心率的最大值．
【详解】设是双曲线的左焦点，在左支上，则，，
，当且仅当三点共线时等号成立．
则，，所以．
故选：C．
【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．
7．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得，由双曲线的性质可知，利用函数的单调性即可求得最小值.
【详解】由双曲线：可得
，，所以，
所以，，
由双曲线的定义可得，所以，
所以，
由双曲线的性质可知：，令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点，
即的最小值为，
故选：C.
8．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）（多选）已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】BD
【分析】根据椭圆和双曲线的焦点可判断A,由圆锥曲线的定义以及离心率的计算公式可判断B，结合对勾函数的性质可判断C，利用三角换元可判断D.
【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，故A错误；
对选项B：，不妨设为第一象限的点，即，由于，，故，，故，即，即，故B正确；

对选项C：由得，则，令，所以，
由于，所以对勾函数在单调递增，故,没有最小值，故C错误，
对选项D：设，，，
，若最大值为，则，，，即，，，成立，故D正确；
故选：BD
1．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16B．18C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义表示，结合基本不等式求解最小值.
【详解】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立；
因为，所以，所以成立，的最小值为16.
故选：A.
2．（2023·河南郑州·统考一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值.
【详解】由双曲线定义得,
故
如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，
，故方程为，
联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，
故
故选：A
3．（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的面积结合渐近线方程可得的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当共线且在中间时取得最大值，进而联立直线与双曲线的方程求解即可.
【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线.
又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号.
此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故.
故选：B
4．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用双曲线标准方程的特点及双曲线的定义，结合三点共线线段最短及两点间的距离即可求解.
【详解】依题意，，即.
所以,解得，
所以，，
因为点A在双曲线C的右支上，
所以，即，
所以.
当且仅当点在线段上时等号成立.
故答案为：.
5．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长不小于18，则双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】的周长不小于18，可得的最小值不小于13，设为双曲线的左焦点，则的最小值不小于13，分析可得三点共线时，取最小值，从而可求的范围，根据离心率公式即可求解.
【详解】由右焦点为，点A坐标为，可得.
因为的周长不小于18，所以的最小值不小于13.
设为双曲线的左焦点，可得，
故，
当三点共线时，取最小值,即，
所以,即.
因为,所以.
又,所以.
故答案为:.
6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围．
【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的，
则椭圆与双曲线共焦点，设，则，，
，，
，
，
设，则，
解得，即，
又，且，
，
故的取值范围是．
故答案为：
7．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】先根据题意得双曲线的方程为，再结合双曲线的定义得，故，连接，交双曲线于，交圆于，此时取得最小值，再计算即可得答案.
【详解】由题意可得，即，
渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，
焦点为，，由双曲线的定义可得，
由圆可得，半径，，
连接，交双曲线于，交圆于，
此时取得最小值，且为，
则的最小值为.
故选：B.

【点睛】本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义，将点到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线的距离，进而得出结果.
【详解】已知双曲线，可知，则，
所以，分别为的左、右焦点，则，即，
设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则.
故选：A.
考点六、双曲线的简单应用
1．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）随着我国经济的迅猛发展，人们对电能的需求愈来愈大，而电能所排放的气体会出现全球气候变暖的问题，这在一定程度上威胁到了人们的健康．所以，为了提高火电厂一次能源的使用效率，有效推动社会的可持续发展，必须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形之一就是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快、散热效果好，外形可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为（图纸上的尺寸单位：），图纸中单叶双曲面的方程为（如图2），则该冷却塔占地面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，可得出，可得出圆的半径，乘以比例尺，可得出实际圆的半径长，再利用圆的面积公式可求得结果.
【详解】令，得方程为，这是一个半径为的圆．
乘上比例尺，即圆的实际半径为，
则建筑的占地面积为．
故选：C.
2．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
【答案】ABD
【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断.
B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得.
C选项，由双曲线定义可判断.
D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.
【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，
选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；
选项B，由双曲线的定义知，，
若，则，
因为，
所以，
解得，即B正确；
选项C：，即C错误；
选项D，因为平分，由角分线定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正确.
故选：ABD.
3．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则 .
【答案】/0.375
【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得．
【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距，
由，
依次经过与C的反射，又回到点F1，则有，，
两式相减得，
将装置中的去掉，则有，
所以
故答案为：．
1．（2023·江西鹰潭·统考一模）打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，高为，则喉部（最细处）的直径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出塔筒的轴截面；以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系；设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标；把点的坐标代入双曲线方程即可求出答案.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.
由题意可知，设，则，
设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以.
所以方程可化简为，
将和的坐标代入式可得，解得，
则喉部的直径为.
故选：D.
2．（2023·山东潍坊·统考一模）（多选）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（ ）
A．的渐近线方程为B．点的坐标为
C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，设，则，整理可得.
又，所以，所以有，解得，所以点的坐标为，故B项错误；
对于C项，如上图，显然为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，，故C项正确；
对于D项，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出.
3．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则 ．
【答案】2
【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，，从而得到，再结合双曲线的定义即可求解．
【详解】如图，延长交延长线于点，
因为点是的角平分线上的一点，且，
所以点为的中点，所以，
又点为的中点，且，
所以．
故答案为：2．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的离心率公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，
故该双曲线的离心率为，解得.
故选：A.
2．（2023·云南·校联考模拟预测）双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.
【详解】由双曲线，可得，
所以双曲线的渐近线的方程为，
所以两渐近线的夹角为.
故选：C.
3．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的性质得到，，即可解得，从而求得答案.
【详解】由题意得：，解得：，
即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.
故选：A.
4．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知双曲线的右顶点为P，过点P的直线l垂直于x轴，并且与两条渐近线分别相交于A，B两点，则（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义求出双曲线的渐近线，然后求出点的坐标进行求解即可．
【详解】双曲线的右顶点，直线l的方程为，
双曲线的两条渐近线方程为或，
当时，或，即，，
则.
故选：C．
5．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】由题意，结合图形的对称性可得四边形为矩形，再根据双曲线的定义利用勾股定理求解即可.
【详解】如图，若在第一象限，因为，所以，
由图形的对称性知四边形为矩形，因为的面积为，所以，
又因为，所以，，
在中，，解得．

故选：B
6．（2023·江西九江·统考一模）在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面.由于有良好的稳定性和漂亮的外观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔.已知某发电厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150m，塔顶直径为80m，塔的最小直径（喉部直径）为60 m，喉部标高（标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离）为110 m，则该双曲线的离心率约为（精确到0.01）（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设双曲线标准方程为，根据题意，求得，结合点在该双曲线上，求得，由和离心率的定义，求得离心率的范围，即可求解.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，设双曲线标准方程为，
根据题意，可得，所以，
由塔的总高度为150m，塔顶直径为80m，塔的最小直径60 m，喉部标高为110 m，
可得点在该双曲线上，，可得，
所以，可得，
所以，结合选项，可得B项符合题意.
故选：B.

7．（2023·河北保定·统考二模）已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】作出图象，根据几何性质可得点的坐标，结合∥可得，进而求出离心率.
【详解】由题意，在双曲线C: 中，右焦点为，FN垂直于轴，

由题意可知：，
因为是BF中点，则，可得，
且三点共线，则∥，可得，即,
所以.
故选：A.
二、多选题
8．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据最短弦长确定双曲线方程，再把点代入验证得出结果.
【详解】若直线与C的两支交于顶点A、B，则，
若直线与C的一支交于A，B两点，则通径最短，，
由题意得，解得，
则C的方程为，
把选项ABCD分别代入方程，则B选项表示的点不在双曲线上，ACD选项表示的点在双曲线上．
故选：ACD．
三、填空题
9．（2023·湖北武汉·武汉市第四十九中学校考模拟预测）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】利用圆与双曲线的定义与性质计算即可.
【详解】
由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则，
∴，，，
．
故答案为：
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知双曲线（为正整数）的离心率，焦距不大于，试写出双曲线的一个方程： ．
【答案】 （写出其中一个即可）
【分析】根据双曲线离心率的公式，结合参数关系式，可得的等量关系，根据焦距的大小，结合标准方程，可得答案.
【详解】由得，又，所以，即．
又，所以，得．因为为正整数，所以或或，即或或，
则双曲线方程为或或．
故答案为： （写出其中一个即可）.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取线段的中点，连接，利用平面向量数量积的运算性质推导出，可知，利用双曲线的定义求出、的长，利用余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，

因为，则，
因为为的中点，则，且，
由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
所以， ，因此，该双曲线的离心率为.
故选：C.
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知点是双曲线右支上一点，分别是的左、右焦点，若的角平分线与直线交于点，且，则的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合双曲线定义证明点是的内心，再借助三角形面积公式求解作答.
【详解】作的平分线交的平分线于，过作轴，垂足分别为，如图，

则点为的内心，有，设，
，则，
于是直线与直线重合，而的角平分线与直线交于点，即与重合，则点为的内心，
因此令，由，得，
因此，即有，即，
所以双曲线的离心率为.
故选：B
3．（2023·河北·校联考三模）已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用表示出离心率，进而可得其取值范围.
【详解】由双曲线（其中），
得，
则双曲线离心率，
因为，所以，则，
所以，
所以，即双曲线离心率的取值范围为.
故选：A.
4．（2023·广东东莞·校考三模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.
【详解】设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
5．（2023·辽宁·校联考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得，利用正弦定理结合角平分线可得，再根据双曲线的定义结合通径分析运算即可.
【详解】∵，则，可得，
分别在中，由正弦定理可得：
∵平分，可得，即，
且，
故，则，
所以，
又∵，则，
所以，整理得，
故，得，即，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
方法定睛：1.双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2.焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
二、多选题
6．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（ ）
A．的渐近线方程为B．
C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A选项，求出双曲线的渐近线，故A正确；对于B选项， 证明为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分，故B正确；对于C选项，延长，与的延长线交于点，则AH垂直平分，即点为的中点．又是的中点，求出，故C错误；对于D选项，利用基本不等式求出四边形面积的最小值为，故D正确.
【详解】对于A选项，由已知可得，，∴C的渐近线方程为，故A正确；
对于B选项，由题意得，AM的直线方程为，所以，∴为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分，故B正确；
对于C选项，延长，与的延长线交于点，则AH垂直平分，即点为的中点．又是的中点，
∴，故C错误；
对于D选项，
，
当且仅当，即时，等号成立．∴四边形面积的最小值为，故D正确.
故选：ABD．
7．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若点在双曲线（，）的一条斜率为正的渐近线的右侧，为半焦距，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】点在一条斜率为正的渐近线的右侧可得，从而可判断选项C、D正误；对A直接用分析法证明即可；对B由可证得结论成立.
【详解】可得双曲线的一条斜率为正的渐近线方程为: ，
因为在右侧,所以，故,故C错误；
所以,故D正确；
对A：要证，即证，即证，显然成立，故A正确；
对B：，故B正确；
故选:ABD.
8．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）已知，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的渐近线在第一象限部分上的一点，线段与双曲线交点为，且，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．双曲线的离心率
C．
D．若的内心的横坐标为3，则双曲线的方程为
【答案】ACD
【分析】求点到渐近线的距离，由条件结合等腰三角形的性质可得，判断A，设，求点的坐标，根据，可得的关系，由此可求离心率，判断B，由双曲线定义和余弦定理求，判断C，由双曲线定义和内切圆的性质可求，由此可求双曲线方程.
【详解】过点作，
设双曲线的半焦距为，
则双曲线的右焦点的坐标为，渐近线方程为，
点到渐近线的距离，故，
在中，，，，
所以，
由已知，，，又，
所以为的中点，故，A正确；
设，则，
所以，，又，
所以点的坐标为，又，
所以，
两边平方化简可得，
所以，所以，B错误；
对于C，设，由双曲线定义可得，
因为，所以，
由余弦定理可得，
所以，
所以，又，
所以，C正确；
设的内心为，且内切圆与切与点，
根据双曲线的定义及内切圆的性质，可得
，又，
所以，
所以切点为右顶点，又的内心的横坐标为，
所以，由，可得，
所以，
所以双曲线的标准方程为，D正确.
故选：ACD.

【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有双曲线的基本性质，余弦定理，双曲线的定义，内切圆的性质，属于综合题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，考查数形结合能力.
三、填空题
9．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义、余弦定理求出a，b的关系即可作答.
【详解】依题意，，，则，令双曲线半焦距为c，
双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，有，
在中，由余弦定理，
得，整理得，即，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：

10．（2023·山西大同·统考模拟预测）双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】/
【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，
，从而解出、，利用勾股定理可解.
【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则 ，①
又因为，②
且双曲线定义得，，③
由①、②、③得，
所以，
从而，
由勾股定理，，所以，解得．
故答案为：
【真题感知】
5.7
一、单选题
1．（北京·高考真题）已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=
A．B．4C．2D．
【答案】D
【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.
【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，
∴ ，
解得 ，
故选D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
3．（全国·高考真题）双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40°B．2cs40°C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线渐近线定义可得，再利用求双曲线的离心率．
【详解】由已知可得，
，故选D．
【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，有，防止记混．
4．（全国·统考高考真题）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，
，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
5．（浙江·统考高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
6．（天津·统考高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
7．（全国·高考真题）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．B．
C．2D．
【答案】A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
8．（天津·高考真题）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【详解】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有
∴，，，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．
9．（浙江·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先设，由两直线垂直，结合直线的斜率公式可得，再结合三角形的面积公式可得，然后由双曲线离心率的求法求解即可.
【详解】解: 由是准线上一点，设,又，,
由,可得,解得,
因为,
由三角形的面积公式有,
即,
即,
即,
故选:B.
【点睛】本题考查了直线的斜率公式及三角形的面积公式，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题.
10．（重庆·高考真题）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．3
【答案】B
【详解】试题分析：因为是双曲线上一点，
所以，又
所以，，所以
又因为，所以有，，即
解得：（舍去），或；
所以，所以
故选B.
考点：1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.
11．（重庆·高考真题）设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意,
根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由
得：，
因为到直线的距离小于，所以
，
即，所以双曲线渐近线斜率，故选A．
二、填空题
12．（全国·统考高考真题）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.
【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，
因为其一条渐近线为，
所以，.
故答案为：
【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.
13．（江苏·统考高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是 .
【答案】
【分析】根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
14．（2021·全国·统考高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
【答案】
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
15．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】
【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
16．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
17．（全国·高考真题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ．
【答案】2.
【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.
【详解】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
18．（江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
【答案】.
【分析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】由已知得，
解得或，
因为，所以.
因为，
所以双曲线的渐近线方程为.
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
19．（重庆·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为在中，由正弦定理得，
则由已知，得，即，,
由双曲线的定义知
，
由双曲线的几何性质知
所以解得
又，故双曲线的离心率
三、解答题
20．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标
，
，
，
，
实轴
实轴长，实半轴长
虚轴
虚轴长，虚半轴长
焦点
，
，
焦距
焦距，半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为
渐近线方程
离心率
离心率对双曲线的影响
越大，双曲线开口越阔
越小，双曲线开口越窄