辽宁省沈阳市浑南区2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市浑南区2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了考试结束，将答题卡交回．等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答题前，考生须用0．5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号．
2、考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效．
3、考试结束，将答题卡交回．
4、本试卷包括三道大题，23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 3，8，4
C. 10，6，5D. 2，4，2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、∵，
∴长为3，8，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、∵，
∴长为5，6，10的三条线段能组成三角形，符合题意；
D、∵，
∴长为2，4，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只在左右，用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法进行求解即可．
【详解】解：用科学记数法表示为，故A正确．
故选：A．
3. 如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 与是同旁内角B. 与是同旁内角
C. 与是同位角D. 与是内错角
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解．
【详解】解：A. 与是同旁内角，说法正确；
B. 与是邻补角，原说法错误；
C. 与是内错角，原说法错误；
D. 与是同旁内角，原说法错误；
故选：A．
4. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质可得，再根据平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、无法合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，可以求得从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率．本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
【详解】解：由题意可得，“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，共有4种等可能结果，
从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是，
故选：D．
7. 如图，要在河岸上建一个水泵房，引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做蕴含的数学原理是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段的性质是解题的关键．
根据垂线段的性质解答即可．
【详解】过点作于点，将水泵房建在了处
∴这样做蕴含的数学原理是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
故选：C．
8. 如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”，其中依据的数学原理是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行B. 同位角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图、平行线的判定，根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
【详解】解：根据作图过程可知：
画图的依据是：同位角相等，两直线平行．
故选：B．
9. 已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（ ）
A. 三条角平分线交点B. 三条中线交点
C. 三边垂直平分线交点D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线的交点的概念．根据三角形的中线交点的含义进行判断即可．
【详解】解：如图，点、分别是、的中点，
、是的中线，
点是三条中线的交点．
故选：B．
10. 如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是．如果输入的x是正整数，输出结果是，那么满足条件的x的值最多有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．根据题中的程序图列方程解方程即可进行求解．
【详解】解：由题意知，，
解得，
若，解得，
若，解得，
∴满足条件的的值最多有2个．
故选：D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了零次幂，负指数幂的运算．根据计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：6．
12. 某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为_________．（结果精确到0.01）
【答案】0.41
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可．
【详解】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.41，所以该市初中生近视的概率为0.41；
故答案为0.41．
13. 等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为______．
【答案】14
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论是解题关键．分当腰长为6和当腰长为2两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可．
【详解】解：根据题意，
①当腰长为6时，周长；
②当腰长为2时，三角形三边分别为6，2，2，不能组成三角形；
故答案为：14．
14. 如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，此时是的角平分线，则________．

【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了余角的概念，角平分线的定义，利用，再根据角平分线得到，再根据与互余即可解答，注意掌握平角中套直角这种模型，理清各角之间的关系．
【详解】解：，
，
是的角平分线，
，
，
，
故答案为：．
15. 杨辉三角（如图）是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中为自然数，展开式中的各项系数直观地体现出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示：
根据上述材料，的展开式中项的系数应为______________．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可得的展开式中，从左往右第二项的系数为n，第三项的系数为的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数，那么把把看做一个整体，可得的展开式中从左往右第三项的系数，据此可得答案．
【详解】解：观察可知的展开式中，从左往右第二项的系数为n，第三项的系数为的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数，
∴把看做一个整体，展开式中从左往右第二项的系数为4，第三项的系数为6，
∴的展开式中从左往右第三项的系数为，即第三项为，
∴的展开式中项的系数应为20，
故答案为：20．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
16. 利用整式乘法公式计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，正确计算是解题的关键；
（1）将变形为，再根据完全平方公式计算即可；
（2）将式子变形为，再根据平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】
，．
【解析】
【分析】原式中括号第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：


当，时，原式=．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这枚骰子掷出后，求：
（1）“6”朝上的概率是多少？
（2）哪个数字朝上的概率最大？
【答案】（1）；（2）5和6
【解析】
【分析】（1）根据概率的计算公式，易得标有数字“6“的面数，进而与总面数相比可得答案；
（2）根据可能性的大小的比较，比较标有各种数字的面数，进而可得答案．
【详解】解：（1）显然标有数字“6“的面有20-1-2-3-4-5=5个
所以P（6朝上）==；
（2）标有“5“和“6”的面各有5个，多于标有其他数字的面；
所以，P（5朝上）=P（6朝上）=，为最大．
【点睛】此题考查概率的计算公式与可能性大小的比较，注意结合题意，分析情况的总数目与符合条件的数目．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 将下面说理过程补充完整．
已知：如图，，垂足为．
（1）试说明；
（2）试求出的度数．
解：（1）（已知），
______________（______________）．
（______________）．
（2）（已知），
（垂直的定义）．
（已证），（已知），
（______________）．
______________（______________）．
______________．
的度数为______________．
【答案】（1）；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 （2）等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；；
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）证明可得；
（2）由垂直的定义得，由等量代换得，从而，然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：（1）（已知），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；
（2）（已知），
（垂直的定义），
（已证），（已知），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
，
的度数为，
故答案为：等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；；．
20. 如图1，已知点在直线外，利用如下方法也可以作出过点与直线平行的直线：在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点；作直线，连接，则．
（1）如何说明这种作法的道理？
（2）如图2，连接，若，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，尺规作图一个角等于已知角，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由作图可得：，，可证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定即可说理；
（2）由上可得，，再根据三角形周长公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图2：由作图可得：，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由作图可得：，，
∴的周长为．
21. 【概念学习】一个含有多个字母代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式．
又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
若关于的代数式为对称式（为常数）．
（1）求的值；
（2）已知，若，求对称式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键．
（1）先求出，交换a、b的位置得出，根据对称式的定义得出，得出，求解即可；
（2）就，，得出，，把代入即可求解．
【小问1详解】
解：，
交换a、b的位置，
∵代数式为对称式，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
即，
∴，，
把代入得：
．
22. 已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，设，（、均小于）．
（1）如图1，试说明．
（2）点是下方一点，连接，线段与射线交于点．
①如图2，当点在线段上时，若，求的度数（结果用含的代数式表示）；
②如图3，当点在线段延长线上时，若平分平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键．
（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；
（2）①根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出；
②过点作，根据平行线的性质得出，，根据角平分线定义得出，求出，根据角平分线定义得出，根据，得出，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
又由（1）知：，
∴，
∴，
∴．
23. 如图1，是一个长为4a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，请你写出之间的等量关系．
（2）利用（1）中的结论，请求下列问题：
①若，求的值；
②若，求的值．
（3）如图3，正方形和正方形重叠，重叠部分是长方形，若正方形的边长为，长方形的面积是，求正方形的面积（若正方形的面积是定值，请求出这个定值；若正方形EFGH的面积不是定值，请用含的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）①16；②13 （3）401
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解此题的关键．
（1）大正方形的面积可以表示为，还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即，由此即可得解；
（2）①利用（1）中的结论计算即可得解；
②设，，可知，，再运用完全平方公式计算即可得解；
（3）由题意易求，，，设，，则有，，，再根据正方形的面积为解答即可．
【小问1详解】
解：由图可得：大正方形的面积可以表示为，
还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即，
∴之间的等量关系是．
【小问2详解】
解：①∵，
∴；
②设，，则，
∵，
∴，
∴
．
【小问3详解】
解：∵正方形边长为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵长方形的面积是，
∴，即，
设，，则，，
∴，
∴正方形的面积为．
累计抽测的学生数n
1000
2000
3000
4000
5000
6000
8000
近视学生数与n的比值
0.423
0.410
0.410
0.411
0.413
0.409
0.410