辽宁省沈阳市虹桥中学2024-2025学年下学期期中考试七年级 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市虹桥中学2024-2025学年下学期期中考试七年级 数学试题（含解析），共24页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 华为最新研发的纳米级传感器，其厚度为米，这个厚度数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方运算，完全平方公式的运算，多项式乘以多项式，根据各自的运算法则一一计算并判断即可．
【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
3. 如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平方差公式与几何图形，根据长方形的面积和正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为，
第二个图形的面积为，
∴，
故选：C．
4. 如图，将一块含角的三角板按图中所示方式放置，使点落在直线上，若直线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，平角定义，三角板的有关计算，掌握知识点的应用是解题的关键．
由，则，又，求出即可．
【详解】解：如图，由题意得，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
5. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案：
对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行C. Ⅰ、Ⅱ都不可行D. Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：方案Ⅰ：在与中，
，
∴，
∴；
方案Ⅱ：在与中，
，
∴，
∴，
∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行.
故选：D．
6. 如图，给出的下列条件中不能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定：1、同位角相等，两直线平行；2、内错角相等，两直线平行；3、同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据平行线的判定逐项判断即可得．
【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行能判断，则此项不符合题意；
B、，根据同旁内角互补，两直线平行能判断，则此项不符合题意；
C、，根据内错角相等，两直线平行能判断，则此项不符合题意；
D、，根据同位角相等，两直线平行能判断，不能判断，则此项符合题意；
故选：D．
7. 有五条线段长度分别为1，3，5，7，9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了列举法求概率，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．试验发生包含的事件是从5条线段中取3条，满足条件的事件可以列举出共有3种，根据古典概型的公式得到结果．
【详解】解：∵试验发生包含的事件是从5条线段中取3条，有：，，，，，，，，，，共10种结果，
满足条件的事件是，，，共有3种，
∴根据古典概型的公式得到的概率是．
故选：B．
8. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中线段都与地面l平行，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，．
故选：B．
9. 如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（ ）
A. 作的依据为B. 弧是以长为半径画的
C. 弧是以A为圆心，为半径画的D. 弧是以长为半径画的
【答案】A
【解析】
【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键．
根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形，
【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意；
B、弧是以点B为圆心，长为半径画，故选项错误，不符合题意；
C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意；
D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
10. 如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于的面积求解即可得．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴图中阴影部分的面积等于，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键．
根据积的乘方的逆运算法则计算即可．
【详解】解：
．
12. 小明同学根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，小明随机投掷一次飞镖，飞镖落在阴影区域的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了几何概率问题，根据概率=相应面积与总面积之比求解即可．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则总面积为，阴影部分的面积为
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
13. 如图，已知，、是、之间的两点，且，若，，则的度数为____．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，过点作，再根据猪脚模型进行列式计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，过点作，
∵，
∴，
设，
∵，
，
∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
解得：，
，
，
故答案为：．
14. 在中，为的平分线，为边上的高．若，，则____________度．
【答案】20或60
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，分两种情况：当点E在点D左边时；当点E在点D右边时；分别画出图形求解即可．
【详解】解：∵为边上的高，
∴，
∵，
∴，
分以下两种情况：
如图，当点E在点D左边时，
∵，
∴，
∵是平分线，
∴，
∴；
如图，当点E在点D右边时，
∵，
∴，
∵是平分线，
∴，
∴．
故答案为：20或60．
15. 将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为___________度．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵折叠
∴，
在中，，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵折叠，
∴
又
∴
解得：
故答案为：
三、解答题（共75分）
16. 计算
（1）；
（2）；
（3）（利用整式乘法公式计算）；
（4）．
【答案】（1）
（2）10 （3）640000
（4）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，平方差公式．
（1）根据同底数幂的乘除法和积的乘方运算法则计算即可；
（2）先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂及化简绝对值，再算加减法即可；
（3）将变形为，运用平方差公式计算即可；
（4）运用平方并公式和多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项即可；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】先由计算括号里的，由完全平方和公式、平方差公式展开，再结合整式加减运算化简，最后由整式除法运算求解得到，再将，代入运算后的结果求值即可得到答案．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查整式混合运算求值，涉及完全平方和公式、平方差公式、整式加减运算、整式除法运算等知识，熟记整式混合运算法则及代数式求值方法是解决问题的关键．
18. 画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点．A,B,C,P四点都在格点上
（1）在下图中过点P做线段，且；
（2）在下图中过点P做线段，且；
（3）连接，求的面积．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查了网格作图，运用网格求三角形的面积，垂直的定义、平行的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合网格特征作线段，且，即可作答．
（2）结合网格特征得，证明是全等三角形，得，通过角的等量代换得，作线段，且，即可作答．
（3）运用割补法列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：线段，如图所示：
【小问2详解】
解：线段如图所示：
【小问3详解】
解：
∴的面积为．
19. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.01）；
（2）试估算盒子里白球有___________个；
（3）若要使摸出白球的概率降为0.2，则需向盒子中在增加几个黑球？
（4）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）．
①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”。
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）由表中的最大值所对应的频率即为所求；
（2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案；
（3）运用概率公式列式计算，即可作答．
（4）试验结果在附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案．
本题考查利用概率公式，频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
【小问1详解】
解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近；
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得：个，
故答案为：；
【小问3详解】
解：依题意，设向盒子中在增加个黑球，
∴
∴，
∴要使摸出白球的概率降为0.2，则需向盒子中在增加个黑球
【小问4详解】
解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
掷一个质地均匀的正六面体骰子面的点数标记分别为到，落地时面朝上的点数小于的概率为，故不符合题意；
投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：
20. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，与相交于点O，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据，得到，，根据得到，即可得到，即可证明结论；
（2）根据，得到，结合可得，结合即可得到答案；
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形全等性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是根据平行线性质得到三角形全等的条件．
21. 阅读下列材料：关于x的方程两边同时乘以得：，即
可得：，
所以：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）初步尝试
已知，，分别计算和的值；
（2）拓展应用
，
．
请利用上述结论，结合阅读材料解答下题．
已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式、求代数式，掌握完全平方公式是关键．
（1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得值，然后平方即可求得的值；
（2）根据题意给出的公式即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
；
【小问2详解】
解：∵，
∴
∴，
∴．
22. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：．
（1）观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号）
公式②：
公式③：
公式④：
图2对应公式_______，图3对应公式_______，图4对应公式_______，（填序号）；
（2）如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值．
为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程：
（3）如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差．
【答案】（1） ①. ③ ②. ④ ③. ②
（2）11 （3）165
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键．
（1）由题意知，图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，然后作答即可；
（2）由，可得，，由题意知，，由公式①，可得，可得的结果，计算求出满足要求的解即可；
（3）由题意知，，，可得，，整理得，则，即，根据，代值求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，
故答案为：③，④，②．
【小问2详解】
解：设，
∴，，
由题意知，，
∴，
由公式①，可得，即，
∴，
∴或，
∴或，
解得，或（舍去），
∴大正方形的边长的值为．
【小问3详解】
解：由题意知，，，
∴或（舍去）
∴，整理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴正方形与正方形的面积之差为．
23. 【预备知识】：
同学们学习了全等三角形，知道其重要应用是通过全等三角形证明角相等或边相等，进而求角度或边长．有些题目不能直接得全等三角形时，需要根据条件构造全等三角形，当遇到等腰直角三角形时我们可以利用两条相等的腰及顶角，来构造全等的两个直角三角形，从而解决问题．
（1）尝试：在中，，，直线经过点于于E．当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：；
（2）发现：如图2，已知等腰直角，点P是边上一点，过点A作交延长线于点E，过点B作，垂足为点F，若，则____________；
（3）探索：如图3，已知等腰直角，点E是内部一点，且，，垂足为点E，连接，求的面积；
（4）应用：如图4，已知钝角三角形，以为边在直线与点A同侧的位置作等腰直角，过点D作，垂足为点，则____________；
【答案】（1）见解析 （2）7
（3）8 （4）24
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
（1）先根据同角的余角相等得到，进而根据可证得结论；
（2）同（1）中方法，利用证明，利用全等三角形的对应边相等得到，，进而可求解；
（3）过点B作，交的延长线于点F，证明得到，进而利用三角形的面积求解即可；
（4）由“”可证，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，由线段的和差关系以及三角形的面积公式求解可得结论．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：7；
【小问3详解】
解：如图2，过点B作，交的延长线于点F，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问4详解】
解：如图3，延长，交于点H，过点C作于点F，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
故答案为：24．
方案Ⅰ
①如图1，选定点O；
②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使；
③连接，测量的长度即可．
方案Ⅱ
①如图2，选定点O；
②连接，并分别延长到点F，E，使；
③连接，测量的长度即可．
摸球的次数n
10
20
50
100
200
400
500
1000
摸到白球的次数
4
7
10
28
45
97
127
252
摸到白球的频率
0.400
0.350
0.200
0.280
0.225
0.243
0.254
0.252
如图在等腰中，如果，，则；反之在中，如果，，则为等腰直角三角形．