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辽宁省沈阳市浑南区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷
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这是一份辽宁省沈阳市浑南区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．假设一种可入肺的颗粒物的直径约为0.0000018米（即1.8微米），用科学记数法表示该颗粒物的直径为（ ）
A．18×10﹣5米 B．1.8×10﹣6米
C．1.8×10﹣5米 D．0.18×10﹣5米
2．（2分）下面的运算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a5 C．6a﹣5a＝1 D．a6÷a2＝a3
3．（2分）下列长度的三条线段（单位：cm）能组成三角形的是（ ）
A．1，2，1 B．4，5，9 C．6，8，13 D．2，2，4
4．（2分）如图，∠1和∠2是一对（ ）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
5．（2分）如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C、D两点，把一块含30o角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数是（ ）
A．93o B．97o C．103o D．107o
6．（2分）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝26°，则∠BOD的度数为（ ）
A．38° B．52° C．28° D．54°
7．（2分）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即PA的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．（2分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
10．（2分）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25，则（a﹣b）2的值为 ．
13．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1＝72°，则∠2＝ 度．
14．（3分）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1＝36°，则∠2等于 ．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为 E3，…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1°，那∠BEC等于 °．
16．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷x，其中x＝3，y＝2．
18．（8分）运用整式乘法公式进行计算：
（1）20012；
（2）1232﹣124×122．
19．（8分）在下面解答中填空．
如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
解：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABF＝∠ ＝90°（垂直的定义）．
∴AB∥CD（ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ ）．
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠3＝∠E（ ）．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园，如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是 ，因变量是 ；
（2）小明家到滨海公园的路程为 km；
（3）小明从家出发 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车经过 小时追上小明．
21．（8分）阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）两个问题．
例：计算（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）
＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）…………①
＝a2﹣（2b﹣3）2 ………………②
＝a2﹣（4b2﹣12b+9）………………③
＝a2﹣4b2+12b﹣9．
（1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的运算依据是 ，②→③的运算依据是 .（填整式乘法公式的名称）
（2）用此方法计算：（a+2x﹣y﹣b）（a﹣2x+y﹣b）．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，点B，C在线段AD异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，连接CE，BF，分别交AD于点G，H，若∠1＝∠2，∠3＝∠C．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠2+∠4＝180°，试说明∠BFC+∠C＝180°；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC﹣30°＝2∠1，则∠B的度数为 ．
六、（本题10分）
23．（10分）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x．
（1）图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
3
4
…
各边上格点的个数和x
4
5
6
…
请完成表格并直接写出S与x之间的关系式；
（2）如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点．
①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且只有2个格点；
②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间的关系式为： ．
七、（本题12分）
24．（12分）【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2 （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ；
（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
②x+y+z＝ ；
（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．
（1）试说明：MN∥ST；
（2）如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB＝30°，点E在线段BC上，连接AE，若∠CAE＝5∠CAN，请直接写出∠MAE与∠CBT的等量关系．
2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区七年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．假设一种可入肺的颗粒物的直径约为0.0000018米（即1.8微米），用科学记数法表示该颗粒物的直径为（ ）
A．18×10﹣5米 B．1.8×10﹣6米
C．1.8×10﹣5米 D．0.18×10﹣5米
【解答】解：0.0000018米的悬浮颗粒物，用科学记数法表示该颗粒物的直径为1.8×10﹣6米，
故选：B．
2．（2分）下面的运算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a5 C．6a﹣5a＝1 D．a6÷a2＝a3
【解答】解：A、a+a2无法计算，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，故此选项正确；
C、6a﹣5a＝a，故此选项错误；
D、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
故选：B．
3．（2分）下列长度的三条线段（单位：cm）能组成三角形的是（ ）
A．1，2，1 B．4，5，9 C．6，8，13 D．2，2，4
【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+1＝2，不能够组成三角形，故本选项错误；
B、4+5＝9，不能够组成三角形，故本选项错误；
C、6+8＞13，能够组成三角形，故本选项正确；
D、2+2＝4，不能够组成三角形，故本选项错误．
故选：C．
4．（2分）如图，∠1和∠2是一对（ ）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【解答】解：∠1与∠2是内错角，
故选：C．
5．（2分）如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C、D两点，把一块含30o角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数是（ ）
A．93o B．97o C．103o D．107o
【解答】解：如图，∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝53°，
又∵∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣53°﹣30°＝97°，
故选：B．
6．（2分）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝26°，则∠BOD的度数为（ ）
A．38° B．52° C．28° D．54°
【解答】解：由作图可知，OD＝OE＝OF，EF＝DE，
∴△ODE≌△OFE（SSS），
∴∠EOD＝∠EOF＝26°，
∴∠BOD＝2∠AOB＝52°，
故选：B．
7．（2分）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∠1＝∠2不能判定任何直线平行，故本选项错误；
B、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，符合平行线的判定定理，故本选项正确；
C、∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，故本选项错误；
D、∠1＝∠2不能判定任何直线平行，故本选项错误．
故选：B．
8．（2分）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即PA的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故选：C．
9．（2分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，
∴点D是△ABC重心．
故选：A．
10．（2分）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；
乙出发3﹣1＝2小时后追上甲，故②错误；
甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确；
乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时），
则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时），
乙到达B地用的时间为：20÷6＝（小时），
1+3，
∴乙先到达B地，故④正确；
正确的有3个．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ﹣2 ．
【解答】解：22024×（﹣）2023
＝[2×（﹣）]2023×2
＝（﹣1）2023×2
＝﹣1×2
＝﹣2．
12．（3分）把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25，则（a﹣b）2的值为 1 ．
【解答】解：∵图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25﹣6×4＝1，
∴（a﹣b）2的值为1．
故答案为：1．
13．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1＝72°，则∠2＝ 54 度．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣72°＝108°，∠2＝∠BEG，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠BEF＝×108°＝54°，
故∠2＝∠BEG＝54°．
故答案为：54．
14．（3分）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1＝36°，则∠2等于 54° ．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠1＝36°，
∴∠3＝36°，
∵∠4+∠3＝90°，
∴∠4＝54°，
∴∠2＝54°，
故答案为：54°．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为 E3，…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1°，那∠BEC等于 2n °．
【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；
…
以此类推，∠En＝∠BEC．
∴当∠En＝1°时，∠BEC等于（2n）°．
故答案为：2n．
16．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．其中正确的结论是 ①③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【解答】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确；
火车的长度是150米，故②错误；
整个火车都在隧道内的时间是：45﹣5﹣5＝35秒，故③正确；
隧道长是：45×30﹣150＝1200（米），故④正确．
故答案是：①③④．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷x，其中x＝3，y＝2．
【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷x
＝（2x2﹣2xy）÷x
＝2x﹣2y，
当x＝3，y＝2时，
原式＝2×3﹣2×2＝6﹣4＝2．
18．（8分）运用整式乘法公式进行计算：
（1）20012；
（2）1232﹣124×122．
【解答】解：（1）20012＝（2000+1）2＝20002+2×2000+1＝4000000+4000+1＝4004001．
（2）1232﹣124×122＝1232﹣（123+1）（123﹣1）＝1232﹣1232+1＝1．
19．（8分）在下面解答中填空．
如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
解：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABF＝∠ CDF ＝90°（垂直的定义）．
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠3＝∠E（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【解答】解：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABF＝∠CDF＝90°（垂直的定义）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：CDF．
同位角相等，两直线平行．
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，同位角相等．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园，如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是 时间t ，因变量是 离家路程s ；
（2）小明家到滨海公园的路程为 30 km；
（3）小明从家出发 2.5 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车经过 小时追上小明．
【解答】解：（1）由图可得，自变量是时间t，因变量是离家路程s，
故答案为：时间t，离家路程s；
（2）小明家到滨海公园的路程为30km；
故答案为：30；
（3）小明从家出发2.5小时后爸爸驾车出发，
小明从中心书城到滨海公园的平均速度为＝12（km/h），
小明爸爸驾车的平均速度为＝30（km/h）；
爸爸驾车经过（h）追上小明；
故答案为：2.5，．
21．（8分）阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）两个问题．
例：计算（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）
＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）…………①
＝a2﹣（2b﹣3）2 ………………②
＝a2﹣（4b2﹣12b+9）………………③
＝a2﹣4b2+12b﹣9．
（1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的运算依据是 平方差公式 ，②→③的运算依据是 完全平方公式 .（填整式乘法公式的名称）
（2）用此方法计算：（a+2x﹣y﹣b）（a﹣2x+y﹣b）．
【解答】解：（1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的变形依据是平方差公式，②→③的变形依据是完全平方公式，
故答案为：平方差公式、完全平方公式；
（2）（a+2x﹣y﹣b）（a﹣2x+y﹣b）
＝[（a﹣b）+（2x﹣y）][（a﹣b）﹣（2x﹣y）]
＝（a﹣b）2﹣（2x﹣y）2
＝a2﹣2ab+b2﹣4x2+4xy﹣y2．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，点B，C在线段AD异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，连接CE，BF，分别交AD于点G，H，若∠1＝∠2，∠3＝∠C．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠2+∠4＝180°，试说明∠BFC+∠C＝180°；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC﹣30°＝2∠1，则∠B的度数为 50° ．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∠3＝∠C，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）∵∠2+∠4＝180°，∠2＝∠3，
∴∠3+∠4＝180°，
∴BF∥EC，
∴∠BFC+∠C＝180°；
（3）∵∠BFC+∠C＝180°，∠BFC﹣30°＝2∠1＝2∠C，
∴∠BFC＝2∠C+30°，
∴2∠C+30°+∠C＝180°，
∴∠C＝50°，
∴∠BFC＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BFC＝180°，
∴∠B＝50°，
故答案为：50°．
六、（本题10分）
23．（10分）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x．
（1）图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
3
4
…
各边上格点的个数和x
4
5
6
…
请完成表格并直接写出S与x之间的关系式；
（2）如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点．
①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且只有2个格点；
②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间的关系式为： S＝x+1 ．
【解答】解：（1）图②的面积为S＝4﹣×1×2﹣×1×1＝，
根据2，，3，对应4，5，6，可知S和x的关系为S＝x，当S＝4时，x＝8；
故答案为：，8，S＝x．
（2）①如图，分别画出两个格点多边形⑦⑧，其内部都只有两个格点．
②图⑤中x＝3，S＝，图⑥中x＝4，S＝3，图⑦中x＝5，S＝，图⑧中x＝6，S＝4，通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即S＝x+1，
故答案为：S＝x+1．
七、（本题12分）
24．（12分）【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2 （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式： （2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab ；由图3可得等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ 155 ；
（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
②x+y+z＝ 9 ；
（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 a+2b ．
【解答】解：（1）由图2知，∵大长方形的面积＝（2a+b）（a+b），
大长方形的面积＝3个小正方形的面积+3个小长方形的面积＝a2+a2+b2+3ab＝2a2+b2+3ab，
∴（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab；
由图3知，∵大正方形的面积＝（a+b+c）2，
大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵由图3得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc），
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc），
把a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35代入，
a2+b2+c2＝152﹣2×35＝225﹣70＝155．
故答案为：155．
（3）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5ab+2b2，
2a2+5ab+2b2可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
∴x＝2，y＝2，z＝5，
∴x+y+z＝9．
故答案为：9．
（4）3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2＝（a+b）2，此时正方形的边长＝a+b，
也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，此时正方形的边长＝a+2b，
∴拼成的正方形的边长最长为a+2b．
故答案为：a+2b．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．
（1）试说明：MN∥ST；
（2）如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB＝30°，点E在线段BC上，连接AE，若∠CAE＝5∠CAN，请直接写出∠MAE与∠CBT的等量关系．
【解答】解：（1）如图，连接AB，
，
∵∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°，
∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠MAB+∠SBA＝180°，
∴MN∥ST；
（2）∠CAE＝2∠CAN，
理由如下：
作CF∥ST，如图，
设∠CBT＝α，则∠DAE＝2α．
∠BCF＝∠CBT＝α，∠CAN＝∠ACF＝60°﹣α，
∵AD∥BC，∠DAC＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠CAE＝120°﹣∠DAE＝120°﹣2α＝2（60°﹣α）＝2∠CAN．
即∠CAE＝2∠CAN；
（3）∠MAE＝6∠CBT，理由如下：
作CF∥ST，如图，
设∠CBT＝β，
∵∠MAE＝5∠CBT，
∴∠MAE＝180°﹣6β，
∵CF∥ST，
∴∠CBT＝180°﹣β，
∴∠MAE＝6∠CBT．
2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．假设一种可入肺的颗粒物的直径约为0.0000018米（即1.8微米），用科学记数法表示该颗粒物的直径为（ ）
A．18×10﹣5米 B．1.8×10﹣6米
C．1.8×10﹣5米 D．0.18×10﹣5米
2．（2分）下面的运算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a5 C．6a﹣5a＝1 D．a6÷a2＝a3
3．（2分）下列长度的三条线段（单位：cm）能组成三角形的是（ ）
A．1，2，1 B．4，5，9 C．6，8，13 D．2，2，4
4．（2分）如图，∠1和∠2是一对（ ）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
5．（2分）如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C、D两点，把一块含30o角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数是（ ）
A．93o B．97o C．103o D．107o
6．（2分）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝26°，则∠BOD的度数为（ ）
A．38° B．52° C．28° D．54°
7．（2分）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即PA的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．（2分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
10．（2分）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25，则（a﹣b）2的值为 ．
13．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1＝72°，则∠2＝ 度．
14．（3分）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1＝36°，则∠2等于 ．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为 E3，…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1°，那∠BEC等于 °．
16．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷x，其中x＝3，y＝2．
18．（8分）运用整式乘法公式进行计算：
（1）20012；
（2）1232﹣124×122．
19．（8分）在下面解答中填空．
如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
解：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABF＝∠ ＝90°（垂直的定义）．
∴AB∥CD（ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ ）．
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠3＝∠E（ ）．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园，如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是 ，因变量是 ；
（2）小明家到滨海公园的路程为 km；
（3）小明从家出发 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车经过 小时追上小明．
21．（8分）阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）两个问题．
例：计算（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）
＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）…………①
＝a2﹣（2b﹣3）2 ………………②
＝a2﹣（4b2﹣12b+9）………………③
＝a2﹣4b2+12b﹣9．
（1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的运算依据是 ，②→③的运算依据是 .（填整式乘法公式的名称）
（2）用此方法计算：（a+2x﹣y﹣b）（a﹣2x+y﹣b）．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，点B，C在线段AD异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，连接CE，BF，分别交AD于点G，H，若∠1＝∠2，∠3＝∠C．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠2+∠4＝180°，试说明∠BFC+∠C＝180°；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC﹣30°＝2∠1，则∠B的度数为 ．
六、（本题10分）
23．（10分）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x．
（1）图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
3
4
…
各边上格点的个数和x
4
5
6
…
请完成表格并直接写出S与x之间的关系式；
（2）如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点．
①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且只有2个格点；
②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间的关系式为： ．
七、（本题12分）
24．（12分）【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2 （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ；
（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
②x+y+z＝ ；
（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．
（1）试说明：MN∥ST；
（2）如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB＝30°，点E在线段BC上，连接AE，若∠CAE＝5∠CAN，请直接写出∠MAE与∠CBT的等量关系．
2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区七年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．假设一种可入肺的颗粒物的直径约为0.0000018米（即1.8微米），用科学记数法表示该颗粒物的直径为（ ）
A．18×10﹣5米 B．1.8×10﹣6米
C．1.8×10﹣5米 D．0.18×10﹣5米
【解答】解：0.0000018米的悬浮颗粒物，用科学记数法表示该颗粒物的直径为1.8×10﹣6米，
故选：B．
2．（2分）下面的运算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a5 C．6a﹣5a＝1 D．a6÷a2＝a3
【解答】解：A、a+a2无法计算，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，故此选项正确；
C、6a﹣5a＝a，故此选项错误；
D、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
故选：B．
3．（2分）下列长度的三条线段（单位：cm）能组成三角形的是（ ）
A．1，2，1 B．4，5，9 C．6，8，13 D．2，2，4
【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+1＝2，不能够组成三角形，故本选项错误；
B、4+5＝9，不能够组成三角形，故本选项错误；
C、6+8＞13，能够组成三角形，故本选项正确；
D、2+2＝4，不能够组成三角形，故本选项错误．
故选：C．
4．（2分）如图，∠1和∠2是一对（ ）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【解答】解：∠1与∠2是内错角，
故选：C．
5．（2分）如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C、D两点，把一块含30o角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数是（ ）
A．93o B．97o C．103o D．107o
【解答】解：如图，∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝53°，
又∵∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣53°﹣30°＝97°，
故选：B．
6．（2分）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝26°，则∠BOD的度数为（ ）
A．38° B．52° C．28° D．54°
【解答】解：由作图可知，OD＝OE＝OF，EF＝DE，
∴△ODE≌△OFE（SSS），
∴∠EOD＝∠EOF＝26°，
∴∠BOD＝2∠AOB＝52°，
故选：B．
7．（2分）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∠1＝∠2不能判定任何直线平行，故本选项错误；
B、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，符合平行线的判定定理，故本选项正确；
C、∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，故本选项错误；
D、∠1＝∠2不能判定任何直线平行，故本选项错误．
故选：B．
8．（2分）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即PA的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故选：C．
9．（2分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，
∴点D是△ABC重心．
故选：A．
10．（2分）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；
乙出发3﹣1＝2小时后追上甲，故②错误；
甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确；
乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时），
则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时），
乙到达B地用的时间为：20÷6＝（小时），
1+3，
∴乙先到达B地，故④正确；
正确的有3个．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ﹣2 ．
【解答】解：22024×（﹣）2023
＝[2×（﹣）]2023×2
＝（﹣1）2023×2
＝﹣1×2
＝﹣2．
12．（3分）把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25，则（a﹣b）2的值为 1 ．
【解答】解：∵图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25﹣6×4＝1，
∴（a﹣b）2的值为1．
故答案为：1．
13．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1＝72°，则∠2＝ 54 度．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣72°＝108°，∠2＝∠BEG，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠BEF＝×108°＝54°，
故∠2＝∠BEG＝54°．
故答案为：54．
14．（3分）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1＝36°，则∠2等于 54° ．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠1＝36°，
∴∠3＝36°，
∵∠4+∠3＝90°，
∴∠4＝54°，
∴∠2＝54°，
故答案为：54°．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为 E3，…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1°，那∠BEC等于 2n °．
【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；
…
以此类推，∠En＝∠BEC．
∴当∠En＝1°时，∠BEC等于（2n）°．
故答案为：2n．
16．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．其中正确的结论是 ①③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【解答】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确；
火车的长度是150米，故②错误；
整个火车都在隧道内的时间是：45﹣5﹣5＝35秒，故③正确；
隧道长是：45×30﹣150＝1200（米），故④正确．
故答案是：①③④．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷x，其中x＝3，y＝2．
【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷x
＝（2x2﹣2xy）÷x
＝2x﹣2y，
当x＝3，y＝2时，
原式＝2×3﹣2×2＝6﹣4＝2．
18．（8分）运用整式乘法公式进行计算：
（1）20012；
（2）1232﹣124×122．
【解答】解：（1）20012＝（2000+1）2＝20002+2×2000+1＝4000000+4000+1＝4004001．
（2）1232﹣124×122＝1232﹣（123+1）（123﹣1）＝1232﹣1232+1＝1．
19．（8分）在下面解答中填空．
如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
解：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABF＝∠ CDF ＝90°（垂直的定义）．
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠3＝∠E（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【解答】解：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABF＝∠CDF＝90°（垂直的定义）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：CDF．
同位角相等，两直线平行．
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，同位角相等．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园，如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是 时间t ，因变量是 离家路程s ；
（2）小明家到滨海公园的路程为 30 km；
（3）小明从家出发 2.5 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车经过 小时追上小明．
【解答】解：（1）由图可得，自变量是时间t，因变量是离家路程s，
故答案为：时间t，离家路程s；
（2）小明家到滨海公园的路程为30km；
故答案为：30；
（3）小明从家出发2.5小时后爸爸驾车出发，
小明从中心书城到滨海公园的平均速度为＝12（km/h），
小明爸爸驾车的平均速度为＝30（km/h）；
爸爸驾车经过（h）追上小明；
故答案为：2.5，．
21．（8分）阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）两个问题．
例：计算（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）
＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）…………①
＝a2﹣（2b﹣3）2 ………………②
＝a2﹣（4b2﹣12b+9）………………③
＝a2﹣4b2+12b﹣9．
（1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的运算依据是 平方差公式 ，②→③的运算依据是 完全平方公式 .（填整式乘法公式的名称）
（2）用此方法计算：（a+2x﹣y﹣b）（a﹣2x+y﹣b）．
【解答】解：（1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的变形依据是平方差公式，②→③的变形依据是完全平方公式，
故答案为：平方差公式、完全平方公式；
（2）（a+2x﹣y﹣b）（a﹣2x+y﹣b）
＝[（a﹣b）+（2x﹣y）][（a﹣b）﹣（2x﹣y）]
＝（a﹣b）2﹣（2x﹣y）2
＝a2﹣2ab+b2﹣4x2+4xy﹣y2．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，点B，C在线段AD异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，连接CE，BF，分别交AD于点G，H，若∠1＝∠2，∠3＝∠C．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠2+∠4＝180°，试说明∠BFC+∠C＝180°；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC﹣30°＝2∠1，则∠B的度数为 50° ．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∠3＝∠C，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）∵∠2+∠4＝180°，∠2＝∠3，
∴∠3+∠4＝180°，
∴BF∥EC，
∴∠BFC+∠C＝180°；
（3）∵∠BFC+∠C＝180°，∠BFC﹣30°＝2∠1＝2∠C，
∴∠BFC＝2∠C+30°，
∴2∠C+30°+∠C＝180°，
∴∠C＝50°，
∴∠BFC＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BFC＝180°，
∴∠B＝50°，
故答案为：50°．
六、（本题10分）
23．（10分）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x．
（1）图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
3
4
…
各边上格点的个数和x
4
5
6
…
请完成表格并直接写出S与x之间的关系式；
（2）如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点．
①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且只有2个格点；
②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间的关系式为： S＝x+1 ．
【解答】解：（1）图②的面积为S＝4﹣×1×2﹣×1×1＝，
根据2，，3，对应4，5，6，可知S和x的关系为S＝x，当S＝4时，x＝8；
故答案为：，8，S＝x．
（2）①如图，分别画出两个格点多边形⑦⑧，其内部都只有两个格点．
②图⑤中x＝3，S＝，图⑥中x＝4，S＝3，图⑦中x＝5，S＝，图⑧中x＝6，S＝4，通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即S＝x+1，
故答案为：S＝x+1．
七、（本题12分）
24．（12分）【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2 （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式： （2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab ；由图3可得等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ 155 ；
（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
②x+y+z＝ 9 ；
（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 a+2b ．
【解答】解：（1）由图2知，∵大长方形的面积＝（2a+b）（a+b），
大长方形的面积＝3个小正方形的面积+3个小长方形的面积＝a2+a2+b2+3ab＝2a2+b2+3ab，
∴（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab；
由图3知，∵大正方形的面积＝（a+b+c）2，
大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵由图3得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc），
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc），
把a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35代入，
a2+b2+c2＝152﹣2×35＝225﹣70＝155．
故答案为：155．
（3）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5ab+2b2，
2a2+5ab+2b2可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
∴x＝2，y＝2，z＝5，
∴x+y+z＝9．
故答案为：9．
（4）3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2＝（a+b）2，此时正方形的边长＝a+b，
也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，此时正方形的边长＝a+2b，
∴拼成的正方形的边长最长为a+2b．
故答案为：a+2b．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．
（1）试说明：MN∥ST；
（2）如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB＝30°，点E在线段BC上，连接AE，若∠CAE＝5∠CAN，请直接写出∠MAE与∠CBT的等量关系．
【解答】解：（1）如图，连接AB，
，
∵∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°，
∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠MAB+∠SBA＝180°，
∴MN∥ST；
（2）∠CAE＝2∠CAN，
理由如下：
作CF∥ST，如图，
设∠CBT＝α，则∠DAE＝2α．
∠BCF＝∠CBT＝α，∠CAN＝∠ACF＝60°﹣α，
∵AD∥BC，∠DAC＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠CAE＝120°﹣∠DAE＝120°﹣2α＝2（60°﹣α）＝2∠CAN．
即∠CAE＝2∠CAN；
（3）∠MAE＝6∠CBT，理由如下：
作CF∥ST，如图，
设∠CBT＝β，
∵∠MAE＝5∠CBT，
∴∠MAE＝180°﹣6β，
∵CF∥ST，
∴∠CBT＝180°﹣β，
∴∠MAE＝6∠CBT．
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