福建省福州第一中学2024-2025学年下学期七年级期中考 数学试卷（含解析）

这是一份福建省福州第一中学2024-2025学年下学期七年级期中考 数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在实数0，，，中，无理数是（ ）．
A．0B．C．D．
2．下列是二元一次方程的解的是（ ）．
A．B．C．D．
3．如图，直线，相交于点O，平分，若，则（ ）．
A．B．C．D．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）．
A．若，则B．同位角相等
C．，则，都是正数D．平行于同一条直线的两条直线平行
5．如图，将一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧，交数轴于点A，则点A对应的数为（ ）．
A．1B．C．D．
6．已知，，则（ ）．
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，，，若点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ）．
A．B．或C．D．或
8．《九章算术》是我国古代的数学著作，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价，一马、二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马值x钱，一头牛值y钱，则可列方程组为（ ）．
A．B．
C．D．
9．如图，将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．若，则（ ）．
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，……，依图中所示规律，点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知方程，适用含 x 的代数式表示 y，则 ．
12．实数的整数部分是 ．
13．如图，测量同学的跳远成绩所蕴含的数学原理是 ．
14．在平面直角坐标系中，若点到x轴的距离是5，则m的值是 ．
15．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），对于下列四个说法：
①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为；
②当时，；
③当时，；
④当时，，
其中正确的有 ．（请填写序号）
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解下列方程及方程组：
（1）；
（2）．
19．已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根．
20．如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，．
（1）在图中画出，并写出点的坐标；
（2）若内有一点经过上述平移后的对应点为，请写出点的坐标；
（3）求的面积．
21．如图，在中，，，．请证明：．
22．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
（1）请求出这个相同的解；
（2）求a，b的值；
（3）请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由．
23．学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表：
甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题：
（1）如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元；
（2）甲、乙两队各有多少位学生？
（3）现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来．
24．如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C．
（1）点C的坐标为__________；
（2）P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？
（3）如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标．
25．已知，点E在直线上，点G在直线上，点H为一动点．
（1）如图1，当点H在与之间时，点F在上，连接、、，若，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且．
①当，时，求的度数；
②当平分，，交于点M时，若，求的值．
（3）如图3，当H在上方，交于点F，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M，的角平分线和的角平分线相交于点，以此类推．请直接写出与之间的数量关系__________，用含n的式子表示与之间的数量关系__________．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数进行判断即可．
【详解】解：是无理数，其它的都是有理数．
故选C
2．【答案】D
【分析】将各个选项中的x、y的值代入验证结果是否为4即可．
【详解】解：A．把代入得，，因此选项A不符合题意；
B．把代入得，，因此选项B不符合题意；
C．把代入得，，因此选项C不符合题意；
D．把代入得，，因此选项D符合题意；
故选D．
3．【答案】D
【分析】根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据对顶角相等解答即可．
【详解】解：，
，
平分，，
，
和是对顶角，
．
故选D．
4．【答案】D
【分析】根据绝对值的性质，两直线平行同位角相等，有理数的加法，平行公理及推论，分别对四个选项逐一分析，作出判断．
【详解】解：当，时，，但，故A是假命题；
两直线平行，同位角相等，故B是假命题；
当，时，，但不是正数，故C是假命题；
平行于同一条直线的两条直线平行，故D是真命题．
故选D ．
5．【答案】B
【分析】根据勾股定理求出的长，根据实数与数轴的知识解答．
【详解】解：，
∴，
则点A对应的数是，
故选B．
6．【答案】C
【分析】根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左或向右移动1个位数”可知答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选C
7．【答案】B
【分析】根据题意得出与轴平行，，因此点P的横坐标为1，，进而得出P的坐标，即可解答．
【详解】解：∵，
∴与轴平行，，
∴点P的横坐标为1，
∵，
∴
∴当点P在点B的上方时，点P的坐标为；
当点P在点B的下方时，点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或．
故选B
8．【答案】C
【分析】设一匹马值x钱，一头牛值y钱，根据“两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱”可列出方程组．
【详解】解：由题意可列方程组．
故选C．
9．【答案】A
【分析】由折叠得到，进而求得，再由平行线的性质即可解答．
【详解】解：由折叠得到，
∴，
∵在长方形纸条中，，
∴．
故选A
10．【答案】D
【分析】由题意可得的坐标为（n为奇数），据此即可求解．
【详解】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形，
，，，，，，……，
∴的坐标为（n为奇数），
∵，
∴点的坐标为即，
故选D．
11．【答案】
【分析】将看作常数，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴
12．【答案】2
【分析】因为，由此可以得到实数的整数部分．
【详解】解：
即，
实数的整数部分是．
13．【答案】垂线段最短
【分析】根据垂线段最短进行解答即可．
【详解】解：体育课上，老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是垂线段最短．
14．【答案】
【分析】根据点到x轴的距离等纵坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：∵点到x轴的距离是5，
∴，
∴．
15．【答案】
【分析】本题根据平移的性质求出空白部分的长和宽，进而根据长方形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知，空白部分是长方形，
长为，宽为，
阴影部分的面积为．
16．【答案】①③④
【分析】先证明，然后求出当时，，由此按照图①求解即可判断①；当时， 求得，，则，即可判断②；当时，先求出，则，，即可判断③；根据题意当时，只有如图⑥一种情况，据此判断④．
【详解】解：当三角板旋转角度小于度时，如题干图②，设直线与直线交于F，
∴，
∴，
当时，即，如图①所示，
∴，
∴；
当三角板旋转角度大于时，如图②所示，
∴，
∴当时，即，
∴，
∴此时在图中的位置，
∴，故①正确；
当三角板旋转角度小于度时，如图所示，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当三角板旋转角的大于时，如图④所示，
同理可得，
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
如图⑤所示，当时，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
由于顺时针旋转到B、C、E共线时停止，
∴当时，只有如下图⑥一种情况，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确.
17．【答案】（1）0
（2）
【分析】（1）首先化简带根号的部分，然后进行有理数的加减法运算即可；
（2）首先去绝对值符号，然后进行实数的加减法运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）或
（2）
【分析】（1）根据平方根的定义，得到关于x的一元一次方程，解方程即可；
（2）把两个方程相加消去y，求出x，再把x的值代入其中一个方程求出y即可．
【详解】（1）解：，
，
解得：或；
（2）解：，
①②得：，
解得，
把代入①得：，
解得
∴方程组的解为．
19．【答案】
【分析】正确建立方程并代入求解，最后通过算术平方根的定义得出结果．首先根据立方根的定义解出x的值，再利用平方根的定义建立方程解出y的值．最后代入求出的算术平方根．
【详解】解：实数的立方根是，根据立方根定义可得：
，解得：，
又的平方根是，根据平方根定义可得：
，将代入上式：
，化简得：，
解得：，
将和代入表达式：
，
的算术平方根为．
20．【答案】（1）见详解，
（2）
（3）7
【分析】（1）根据平移得到点，，，依次连接即可得到，根据坐标系直接写出点的坐标；
（2）根据点的平移的坐标变换规律即可解答．
（3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图，为所求．
点的坐标为．
（2）解：∵先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，
∴．
（3）解：．
21．【答案】见详解
【分析】先由垂线的定义得到，则可证明得到，进而可证明，据此可证明结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）
（2），
（3）正确，理由见详解
【分析】（1）联立，利用加减消元法解方程组即可；
（2）将代入含有a，b的方程得到方程组再求解即可；
（3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解，
∴，
解得，
这个相同的解是；
（2）解：将代入含有a，b的方程得：
，
解得：，
∴a，b的值分别为6，4；
（3）解：正确，理由如下：
将代入中，得：
，
∴无论m取何值，都是方程的解．
23．【答案】（1）
（2）甲队有40人，乙队有35人
（3）一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人．
【分析】（1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服的费用即可得到答案；
（2）设甲队有x人，则乙队有人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可；
（3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，，求出此方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元，
∵元，
∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元；
（2）解：设甲队有x人，则乙队有人，
∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队，
∴，
∴且x为正整数，
当时，则，
∴，此时方程无解，不符合题意；
当时，则
∴，
解得，
∴，
综上所述，甲队有40人，则乙队有35人，
答：甲队有40人，乙队有35人；
（3）解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，
由题意得，，
∴，
∵m、n为正整数，
∴是正整数，即是正整数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人．
24．【答案】（1）；
（2）或或；
（3）．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的坐标特征，进而求得点坐标；
（2）由三角形面积公式，求得的长，分为当点到O点之前和到O点之后进行分类讨论，进一步求得结果；
（3）先由一次函数和求出M点坐标，由得出，进而求得点坐标．
【详解】（1）解：，，且轴，轴，
.
（2）当点P 在线段BO上运动时，
由得，
，
，
当P、Q都未到达O点时
∴
∴或，
当P到达O点，Q点未达到O点时，
此时
综上所述：或或；
（3）设点，
，，，
直线的解析式是：，
，
，且M在线段AB上
∴
∴
解得∴
，
，
，
∴，
．
25．【答案】（1）见详解
（2）①；②
（3），
【分析】（1）过作交于，则，得到，结合得到，即可证明；
（2）①当，时，设，则，由角平分线得到，，，根据列方程求出，再根据求解即可；
②由，设，则，根据角平分线和平行得到，，根据，得到，再根据得到，即可得到；
（3）根据拐点模型得到，，即可得到；由角平分线得到，，则，同理可得，得到，代入计算即可求解．
【详解】（1）证明：过作交于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①当，时，，
∴设，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
过作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴设，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
过作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，解得，
∴；
（3）解：过作，过作，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M，
∴，，
∴，，
∴；
∵的角平分线和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
同理可得，
∴
∵.
购买服装的套数
套（含39套）
套（含69套）
70套及以上
每套服装的价格
80元
70元
60元