浙江省杭州市上城区杭二东河2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份浙江省杭州市上城区杭二东河2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，即x+1x-6>0，解得或，
所以B=x|x2-5x-6>0={x|x>6或，
又，所以.
故选：C.
2. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以.
故选：A.
3. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】因为点是第四象限的点，所以且.
所以角的终边位于第二象限.
故选：B.
4. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，即，所以，
所以函数的定义域为.
故选：B.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
两边同时平方得，所以.
故选：D.
6. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
解得或（舍去），
所以.
故选：B.
7. 若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，可得，
又，所以，
因为，，所以，
所以
，
又因为，所以.
故选：C.
8. 已知函数，若，，且，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对任意的，，即恒成立，
所以，函数的定义域为，
因为，
所以，
所以，故函数为奇函数，
当时，函数、均增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为外层函数为增函数，
由复合函数法可知，函数在上为增函数，
由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，可得，
又因为，，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此的最小值为8.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ）
A. 且
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
【答案】AC
【解析】由题意可知，则，
对于A，所以且，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，不等式，故C正确；
对于D，不等式，
又，可得，所以或，故D错误.
故选：AC.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心
【答案】ACD
【解析】由图知：，即，而，可得，A正确；
可得，结合，可得，B错误；
为对称轴，C正确；
由是函数的一个对称中心，，则是函数的对称中心，D正确.
故选：ACD.
11. 下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】BD
【解析】对于A，无法通过平移由得到，故A错误，
对于B，，，
故可以将的图象向右平移个单位得到的图象，故B正确，
对于C，要想由得到需要横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，故C错误，
对于D，，，
故可将的图象向上平移1个单位得到的图象，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______.
【答案】4
【解析】根据扇形的弧长公式可得，
根据扇形的面积公式可得．
13. 求值：_______．
【答案】
【解析】
.
14. 若函数满足且在区间上单调递减．则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】因为且，所以，则，
当时，，该函数在上不单调，不合乎题意；
当时，由可得，
因为函数在区间上单调递减，
所以，
所以，解得，
由可得，又由于，则，则，
因为，则，此时，；
当时，由可得，
由于内层函数在上单调递减，函数在区间上单调递减，
所以，函数在上单调递增，
则，
所以，解得，
由得，由于，则，
由于，则，可得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）由.
（2）.
16. 已知函数且.
（1）求函数的定义域且判断奇偶性；
（2）求不等式的解集．
解：（1）令，
∵，解得，∴函数的定义域为，
，
∴为偶函数，即为偶函数.
（2）∵，∴，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，当时，解集为，当时，解集为．
17. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
（1）求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离；
（2）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）；
（3）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值．
解：（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为，
号座舱（点）离地面的初始高度为米，
又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米，
所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米.
（2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中），
依题意可得，，则．
又，，
当时，，又，所以，
所以．
（3）令，即，，
，，
或，解得或，
故或时，1号座舱与地面的距离为17米．
18. 已知函数．
（1）求和的单调递增区间；
（2）用五点法作出在区间内的图象；
（3）在中，若，求的最大值．
解：（1）因为
，
即，所以，
令，解得，
故的单调递增区间为.
（2）依题意可得如下表格：
故在区间内的图象如下所示：
（3）由可得，
由于，则，故，故，
因此，
由于，则，
故当，即时，取最大值为.
19. 已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若在上单调递增，求的取值范围．
（3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
解：（1）当时，，
对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为，
因为内层函数的减区间为，增区间为，
外层函数为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为，
故.
（2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，
且函数在上单调递增，
则内层函数在上为增函数，且，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
（3）对于任意，存在，使得不等式成立，
则对任意的恒成立，
因为，
当时，，故当时，即当时，函数取最小值，
即，
所以对任意的恒成立，
由可得，参变量分离得，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时等号成立，则，
因此，实数的取值范围是.