2024-2025学年浙江省杭州市上城区杭二东河高一下学期期中考数学试卷（含答案）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z=5−i，则z的虚部是( )
A. −1B. −iC. 1D. i
2.已知t∈R，a=(1,2)，b=(3,t)，若a//b，则t的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.已知向量a和向量b的夹角为60°，且|a|=|b|=1，则|a−b|的值为( )
A. 1B. 32C. 2D. 43
4.已知正四面体的表面积为4 3，则它的棱长为( )
A. 3B. 2 23C. 2D. 1
5.如图，▵O′A′B′是水平放置的▵OAB的直观图，则▵OAB的面积为( )
A. 12B. 24C. 6 2D. 12 2
6.在▵ABC中，A=60°,b=1,c=4，则a等于( )
A. 13B. 15C. 19D. 21
7.如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB,∠D=45∘,AB=2,BC=2 2,AD=6，现将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为( )
A. 64πB. 200π3C. 72πD. 208π3
8.已知正三棱锥P−ABC,PA=3 2,AB=6，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 54πB. 48πC. 36πD. 63π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1,z2≠0，以下复数运算一定成立的是( )
A. z1z2=z1z2B. z1z2=z1z2C. |z|=|z|D. |z|2=z2
10.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则下列结论正确的有( )
A. AF=34AB+14ADB. AF+CF=12AB
C. 12AB+AD=CED. AF=34AB+12AD
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段A1C1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. A1C1//平面ACD1
B. 存在点P，使得直线AC与BP共面
C. PB1+PA的最小值为 2+ 2
D. 若M为线段B1C上的动点，且MP//平面ABB1A1.则MP的最小值为 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则此圆锥的侧面积为 ．
13.已知在锐角▵ABC中，A=π3，则B的取值范围是
14.复数z1,z2满足z1−1=z1−i,z2−2=1，则z1−z2的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(−1,−1),b=(0,1)．
(1)求a⋅b；
(2)求向量a与b的夹角θ的大小；
(3)若向量c=(x,y)满足c=−ya+(1−x)b，求实数x,y的值．
16.(本小题15分)
已知▵ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足bsinB−asinA=c(sinC+sinA),E是AC的中点，AB=1,BC=2．
(1)求B；
(2)求▵ABC的面积；
(3)求线段BE的长度．
17.(本小题15分)
如图，圆锥PO的底面半径和高均为6cm，过PO上一点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱OO1.设圆柱的底面半径为R，母线长为l．
(1)求R与l的关系式；
(2)求圆柱OO1的侧面积的最大值；
(3)记圆柱OO1的侧面积为S1，圆锥PO1的侧面积为S2.若S1=2 2S2，求圆柱OO1的体积．
18.(本小题17分)
如图，某开发区有一边长为400m的正▵ABC荒地，点D,E分别为AB,AC的中点，现计划把该三角形荒地建成居民健身休闲的场地，首先计划修两条小路，其中一条小路是DE，另一条是从点B出发经过DE上的点F到达AE上的点G的小路BG．

(1)若小路BF=50 21m，求小路EF的长；
(2)现计划把▵BDF区域建成健身区，▵EFG区域建成休闲区，其他区域建成绿化区.若健身区的面积占整个场地面积的112，求休闲区的面积．
19.(本小题17分)
如图，三棱锥P−ABC各棱长均为1，侧棱上的D，E，F满足PD=DA，BEBP=PFPC=λ，线段BC上的点G满足AG//平面DEF，点Q在PC上，AQ//DF．

(1)求证：平面AQG//平面DEF；
(2)求证：QG//EF；
(3)若GC=2BG，求λ的值．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.C
5.A
6.A
7.B
8.A
9.ABC
10.BD
11.ACD
12.6π
13.π6,π2
14. 2−1/−1+ 2
15.【详解】(1)由向量a=(−1,−1),b=(0,1)，得a⋅b=(−1)×0+(−1)×1=−1．
(2)由向量a=(−1,−1),b=(0,1)，得|a|= 2,|b|=1，
又a⋅b=−1，于是csθ=a⋅b|a||b|=−1 2=− 22，
而0≤θ≤π，所以θ=3π4．
(3)依题意c=(y,y)+(0,1−x)=(y,1−x+y)，即(x,y)=(y,1−x+y)，
于是x=yy=1−x+y，解得x=1y=1．

16.【详解】(1)∵bsinB−asinA=c(sinC+sinA)
∴根据正弦定理得，b2−a2=c(c+a)
又∵a=2,c=1，∴b= 7．
根据余弦定理得，csB=a2+c2−b22ac=4+1−72×2×1=−12
又∵B∈(0,π)，∴B=2π3.
(2)S▵ABC=12acsinB=12×2×1× 32= 32．
(3)∵E是AC中点，
∴BE=12(BA+BC)，
∴|BE|2=14(BA+BC)2
=14BA→2+BC→2+2BA→BC→csB
=1412+22−2×2×1×12
=34
∴BE= 32．

17.解：(1)作出圆锥的轴截面，如图，
因为PO=OA=6，所以∠A=45°，
所以图中AB=l，
又OB=R，所以R+l=6；
(2)圆柱OO1的侧面积为S=2πRl≤2πR+l22=18π，
当且仅当R=l=3时，等号成立，
即圆柱OO1的侧面积的最大值为18π；
(3)由题意，圆柱OO1的侧面积为S1=2πRl，
圆锥PO1的底面半径为R，母线长为 2R，
侧面积为S2=πR 2R= 2πR2，
因为S1=2 2S2，所以2πRl=2 2× 2πR2，解得l=2R，
因为R+l=6，所以R=2，l=4，
圆柱OO1的体积为V=πR2l=16π．

18.【详解】(1)在▵BDF中，BD=12AB=200m,BF=50 21m,∠BDF=2π3，
由余弦定理得BF2=BD2+DF2−2BD⋅DF⋅cs2π3，
即(50 21)2=2002+DF2−2×200×DF×−12，
整理得DF2+200DF−12500=0，
解得DF=50(负值舍去)，
所以EF=DE−DF=200−50=150m．
故小路EF的长为150m．
(2)由题知，▵BDF的面积为112× 34AB2=10000 33，
又S▵BDF=12BD⋅DF⋅sin2π3，所以DF=2003，所以EF=4003，
由DE是中位线易得▵GEF △GBC，所以EFBC=GEGE+EC，
带入BC,EF,EC解得GE=100，
所以S▵EFG=12×EF×GE×sin∠GEF=12×4003×100× 32=10000 33m2．
故休闲区的面积为10000 33m2．

19.【详解】(1)∵AQ//DF，DF⊂平面DEF，AQ⊄平面DEF，∴AQ//平面DEF．
∵AG//平面DEF，AQ//平面DEF，AG∩AQ=A，AG⊂平面AGQ，AQ⊂平面AGQ，
∴平面AQG//平面DEF．
(2)由(1)知：平面AQG//平面DEF．
又平面BCP∩平面DEF=EF，平面BCP∩平面AQG=QG，
∴QG//EF．
(3)∵PD=DA，∴点D是PA的中点．
∵AQ//DF，∴PFFQ=PDDA=1，∴点F是PQ的中点，PF=FQ．
∵BEBP=PFPC=λ，且三棱锥P−ABC各棱长均为1，∴BE=PF=λ，
∴PE=1−λ，FQ=λ，PQ=2λ，CQ=1−2λ．
∵点Q在PC上，∴1−2λ>0，解得λ