浙江省杭州市上城区杭七中2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
第 I 卷（选择题共 58 分）
一、单选题（本题有 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的概念计算即可.
【详解】根据交集的概念可知 。
故选：C
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定即可求解.
【详解】命题“ ” 否定是： ，
故选：C
3. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
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【分析】解出方程的根，利用充分条件，必要条件的定义判断即可；
【详解】由 ，可得 或 ，
所以 ，反之不成立，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A．
4. 如果 ，则正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】举例说明 ABD 是错误的，用作差法证明 C 是正确的．
【详解】取 ，则 ，故 A 错误；
取 ，则 ，故 B 错误；
由于 ，所以 ，则 ，故 C 正确；
取 ，则 ， ，故 D 错误
故选：C．
5. 已知函数 （ ，且 ），若点 ， 都在 的图象上，则下列各点
一定在 的图象上的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由指数幂的运算求解.
【详解】解：因为点 ， 都在 的图象上，
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所以 ，则 ，
即点 在 的图象上，
故选：D.
6. 函数 图像的大致形状为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 中含有 ，故 是分段函数，根据 的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．
【详解】 是分段函数，根据 的正负写出分段函数的解析式， ，
时，图象与 在第一象限的图象一样是增函数，
时，图象与 的图象关于 轴对称.
故选：B．
7. 已知 x，y 均为正实数，且 x＋y＝1，若 的最小值为 9，则正实数 a 的值为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】
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利用“ 的代换”的方法，利用基本不等式，以 的最小值为 9 列式，由此求得 的值.
【 详 解 】 依 题 意 ，
，解得 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
8. 设函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， .若不等式
对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可得 是 R 上的增函数，利用函数的奇偶性和单调性得到 ，令
，利用基本不等式求出 的最小值，得解.
【详解】因为 ， ，
所以 在 上单调递增，且 恒成立，又 是定义在 R 上的奇函数，
所以 是 R 上的增函数，
不等式 ，对任意的 恒成立，
即 ，
，又 ，
，令 ，
，
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，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的奇偶性和单调性得到 ，利用基本不等式求
出最值.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
9. 下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数是（ ）
A B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解
【详解】对于 A： 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，故 A 错误；
对于 B： 的定义域为 ，且 ，所以 为偶函数，
当 时 ，由一次函数的性质可知， 在 上单调递增，
即 在 上单调递增，故 B 正确；
对于 C： 的定义域为 ，且 ，
所以 为偶函数，由幂函数的性质可知， 在 上单调递增，故 C 正确；
对于 D： 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，故 D 错误；
故选：BC
10. 关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则下列成立的是（ ）
A.
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B.
C. 关于 的一元二次不等式 的解集为
D. 函数 为其定义域上的减函数
【答案】AB
【解析】
【分析】由题意可得 和 是方程 的两个根，且 ，利用韦达定理可得 ，再
逐项判断即可.
【详解】因为一元二次不等式 的解集为 ，
所以 和 是方程 的两个根，且 ，
所以 ，解得 ，
故 ，故 A 正确，B 正确.
即为 ，即 ，解得 ,故 C 错误.
，函数 上定义域为 上的偶函数，在定义域上不单调，故 D 错误.
故选：AB
11. 已知函数 则下列选项正确的是（ ）
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 函数 的值域为
C. 方程 有两个不等的实数根
D. 不等式 解集为
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【答案】BC
【解析】
【分析】画出 的图象，结合图象即可判断各选项.
【详解】
画出 图象，如上图所示.
令 ，解得 或 ，
所以 的图象与 轴交于 .
对于 A，由图象可知，函数 在区间 上不单调，A 错；
对于 B，由图象可知，函数 的值域为 ，B 对；
对于 C， ， ，
由图象可知，方程 ，即 有两个不等的实数根，C 对；
对于 D，由图象可知，当 时， ，
所以，由 可得 .
令 ，解得 或 ；
令 ，解得 或 ，
所以，由图象可知，不等式 解集为 ，D 错.
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故选：BC
第 II 卷（非选择题共 92 分）
二、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 求不等式 的解集为______.
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意求解不等式即可.
【详解】由题意可得 或 ，
解得 或
则不等式 的解集为 或 .
故答案为： 或 .
13. 已知扇形弧长为 ，圆心角为 ，则该扇形面积为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果.
【详解】由题意知，圆心角为 ，弧长为 ，
设扇形半径为 ，根据弧长公式得 ，得 ，
所以扇形的面积为 .
故答案为： .
14. 已知函数 （ω＞0， ）， ，点 ， 是 图
象上的任意两点，若 时， 的最小值为 ，则 图象的对称轴是 ______
．
【答案】
【解析】
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【分析】由 、 的范围得到 值，根据 的值域和已知条件得到 ，根据周期公式可得 ，
再根据正弦函数的对称轴方程可得答案.，
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
，若 ，
则 一个是最大值一个最小值，又 的最小值为 ，
所以 ，得 ，所以 ，
所以 ，
由 得 ，
则 图象的对称轴是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1） 或 .
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算 ，再计算 ；
（2）由 得 ，再分类讨论.
【小问 1 详解】
当 时， ，则 或 ，
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则 或 .
【小问 2 详解】
若 ，则 ,
当 时， ，即 ；
当 时， ，得 ，
则实数 m 的取值范围为 .
16. 已知函数 ．
（1）用定义证明 在区间 上是减函数；
（2）设 ，求函数 的最小值．
【答案】（1）证明见解析； （2）5.
【解析】
【分析】(1)直接利用定义法即可证明函数在 上是减函数；
(2)利用换元法可得 ( )，结合对勾函数的性质即可求解.
【小问 1 详解】
，且 ，
，
又 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上是减函数；
【小问 2 详解】
由 ，得 ，
令 ，则 ，
可转化为 ，
由(1)知，
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函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最小值，且最小值为 5，
即函数 的最小值为 5.
17. 在平面直角坐标系 中，锐角 、 的顶点为坐标原点 ，始边为 轴的正半轴，终边与单位圆 的
交点分别为 、 ．已知点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系可求得 、 的正弦值、余弦值，利用两
角和的正弦公式可求得 的值；
（2）求出 的正弦值、余弦值，利用两角和的余弦公式可求得 的余弦值，求出 的取值范
围，即可求得结果.
【小问 1 详解】
解：利用三角函数的定义可得 ， ，
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又 、 是锐角，所以 ， ，
所以， .
【小问 2 详解】
解：因为 ， ，
又 是锐角，则 ，所以 ，
又因为 ，则 ，
而 ，所以 ．
18. 已知函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）当 时，求 的最值．
（3）当 时，关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）最小值 ；最大值为 2
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简 的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
（2）由 ，确定 ，结合正弦函数的最值，即可求得答案；
（ 3） 化 简 ， 参 变 分 离 ， 可 得 ， 换 元 ， 即 令
，则求 在 上的最小值，即可求得答案.
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【小问 1 详解】
由题意，得函数
，
由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
当 时， ，所以 ，则 ，
当 即 时，函数 取得最小值为 ；
当 即 时，函数 取得最大值为 ；
【小问 3 详解】
由题意得 时， 有解，
而此时 ，即 有解，只需要 即可，
， ，
令 ，则 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 ，所以 .
【点睛】方法点睛：（1）本题第三问考查恒成立或有解问题，一般方法是转化为函数的最值问题解决；（2）
参变分离，当参数的系数的正负确定时，一般可采用分离参数的方法，然后可构造函数，解决问题.
19. 已知关于 x 的方程 （其中 均为实数）有两个不等实根 .
（1）若 ，求 m 的取值范围；
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（2）若 满足 ，且 ，求 p 的取值范围.
（3）若 为两个整数根，p 为整数，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）由题意得二次项系数不为 0 且判别式大于 0，列出不等式即可求解；
（2）结合韦达定理以及判别式大于 0，解一元二次不等式即可求解；
（3）由题意首先得到 ， ，再结合 均为整数，即可得 的值，分类讨论解
一元二次方程即可求解.
【小问 1 详解】
当 时，由题意，若 时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根，
若方程 有两个不等的实数解，
则 ，解得 且 ，
所以 的范围是 .
【小问 2 详解】
，方程为 ， ，
则 ，又 ，即
∴ ，即 ，
所以 ，解得 ．
所以 的取值范围为 ．
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【小问 3 详解】
依题意： ，且 ，
， ，
因为 均为整数，
所以 也是整数，
∴ 或 ，
时， ，又 且 ，∴ ，
时， ，又 且 ，∴ ．
综上， 或 ．