浙江省杭州市拱墅区杭十一中2024-2025学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份浙江省杭州市拱墅区杭十一中2024-2025学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的面积为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
2. 已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A不可能是（ ）
A B. C. D.
3. 函数，的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
4. 若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
7. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，）
A 33B. 35C. 37D. 39
8. 已知定义在R上的函数满足，且当]时，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式中，计算结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（ ）
A.
B. ，若，则
C.
D. 不等式的解集为
11. 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（ ）
A. 小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时
B. 小球在往复振动一次过程中，经过的路程为
C. 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为
D. 小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是
三、填空题：本大题共3小题，共15分.
12. 如果，求__________.
13. 已知函数，若值域为，则实数的取值范围是_________.
14. 已知函数，，若关于x的方程在区间上有三个不同解，则m的值为________，的值为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 已知，，，.
（1）求；
（2）求.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及单调减区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 若对任意、，，求实数的最小值.
18. 已知函数，其中．
（1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值；
（2）若的最小值为，求．
19. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.
（1）已知，判断和否为倒函数；
（2）若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
（3）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数.记，证明：是的充要条件.
2024学年第一学期高一年级期末考试数学学科问卷
时长：120分钟 满分：150分 命题人：刘华琦
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的面积为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用扇形面积公式进行求解.
【详解】扇形面积为.
故选：B
2. 已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的概念即可求解.
【详解】若集合，则，但，故选：C.
3. 函数，的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式计算即可求得最小值为8.
【详解】由可得，
因此，
当且仅当，即时，等号成立；
即所求最小值为8.
故选：B
4. 若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数定义可得、，即可得解.
【详解】由角的终边经过点，故，
，
故.
故选：C.
5. 设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将整理为，令，由奇偶性定义可证得为奇函数，则，由此可求得的值.
【详解】，
可令，则，
为定义在上的奇函数，，
则，.
故选：D.
6. 设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得.
【详解】由，且，故，
即有，解得，
又，，故，即，
综上，.
故选：B.
7. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，）
A. 33B. 35C. 37D. 39
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．
【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，
列方程得，
解得，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选：．
8. 已知定义在R上的函数满足，且当]时，，则（ ）
A.
B.
C
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，可得的周期为，利用周期性和单调性化简计算即可得出结果.
【详解】因为，所以的周期为．
当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减．
因为，且
所以．
故．
故选：A.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式中，计算结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的余弦公式可判断B选项；利用两角差的正切公式可判断C选项；利用二倍角的正切公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，.
故选：AC.
10. 对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（ ）
A.
B. ，若，则
C.
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据取整函数的定义结合举反例，一元二次不等式的解法对选项逐一分析即可.
【详解】对于A，，，，所以A为真命题；
对于B，因为，
所以，，
所以，B为真命题；
对于C，，，所以C为假命题；
对于D，解不等式，
得或，
所以不等式的解集为，D为真命题.
故选：.
11. 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（ ）
A. 小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时
B. 小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为
C. 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为
D. 小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】求出的值，求出函数的最小正周期，可判断A选项；根据的值可计算出小球在往复振动一次的过程中，经过的路程，可判断B选项；解方程，求出的可能取值，可判断C选项；求出的取值范围，可判断D选项.
【详解】由题意可知，，则，
对于A选项，函数的最小正周期为，
所以，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时，A错；
对于B选项，小球在往复振动一次过程中，经过的路程为，B对；
对于C选项，因为当时，，
由可得或，
解得或，
易知，，则的可能取值有：、、、、、、，
小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为，C对；
对于D选项，由可得，则当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点和最低点的次数恰好是次，
所以，，因为，则，
所以，小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是，D错.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
三、填空题：本大题共3小题，共15分.
12. 如果，求__________.
【答案】
【解析】
【分析】先运用诱导公式化简，后直接得到答案.
【详解】，则.则.
故答案为：．
13. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，由函数最小值为1可得，再按结合的取值情况求解即得.
【详解】函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意，，即，又，则有，
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
于是，函数在上单调递增，则，
有，因此，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；
(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
14. 已知函数，，若关于x的方程在区间上有三个不同解，则m的值为________，的值为________．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】令，利用正弦函数和二次函数的性质分析可知，方程的两个实数根，利用韦达定理可得，再利用正弦函数的对称性可得.
【详解】，
令，因为在上，最多有两个不相等实数根，
所以，要使在区间上有三个不同解，则必有两个不相等实数根，
记的两个实数根为，且，
则由图可知，，
由韦达定理可得，，所以，
所以，解得.
由正弦函数的对称性可知，，所以.
故答案：4，.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）或；
【解析】
【分析】（1）结合交集的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
【小问1详解】
，则，
，
，
则或，解得或，
故实数的取值范围为或；
【小问2详解】
当时，则，且集合A不为空，则，解得，
所以若时，则实数的取值范围为或；
16. 已知，，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由同角三角函数关系求出、，再由两角差的正弦公式计算可得；
（2）首先求出，再根据及两角差的正弦公式计算可得.
【小问1详解】
因为，即，
解得或，
又，所以，
则；
【小问2详解】
因为，，所以，
又，所以，
所以，
所以
.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及单调减区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 若对任意、，，求实数的最小值.
【答案】（1），减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用图象可得出的值，求出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，然后利用正弦型函数的单调性可求出函数的减区间；
（2）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最小值和最大值，可得出，即可得解.
【小问1详解】
解：由图可得，
函数的最小正周期为，则，
所以，，
因为，可得，
因为，则，所以，，所以，，
因此，，
由解得，
所以，函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
解：将函数的图象向左平移个单位长度，
可得到函数，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
则，
当时，，则，则，
对任意的、，，
则，故实数的最小值为.
18. 已知函数，其中．
（1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值；
（2）若的最小值为，求．
【答案】（1）最小值，；最大值，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解；
（2）利用二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
当时，，
令，，则，
的图象对称轴为，开口向上，
所以当时，即时，取得最小值，最小值为，
当时，即时，取得最大值，最大值为，
所以在上的最小值为，此时，最大值为，此时.
【小问2详解】
因
的最小值为，
所以，且,所以，
又，所以.
19. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.
（1）已知，判断和是否为倒函数；
（2）若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
（3）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数.记，证明：是的充要条件.
【答案】（1）是倒函数，不是倒函数；
（2）没有正整数解，理由见解析；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用给定的定义进行判断；
（2）先求出时的解析式，利用验证法进行判定；
（3）利用单调性的定义，性质及倒函数进行证明.
【小问1详解】
对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立，又
所以是倒函数.
对于定义域为，当时，，不符合倒函数的定义，所以不是倒函数.
【小问2详解】
令，则,由倒函数的定义，可得
所以，所以要使有正整数解，
则，当时，；
当时，；所以没有正整数解.
【小问3详解】
充分性：当时，且，因为是增函数，所以即
所以.
必要性：当时，
有
因为恒大于0，所以，即，
所以，因为是增函数，所以，即；
综上可得是的充要条件.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是理解所给倒函数的定义，使用进行转化.