高考数学二轮专题复习课件——平面向量

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题型02 7类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线、等值线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、投影法求范围与最值、向量矩形大法的应用、范围与最值综合问题）技法01 爪子定理的应用及解题技巧技法02 系数和（等和线、等值线）的应用及解题技巧技法03 极化恒等式的应用及解题技巧技法04 奔驰定理与三角形四心问题的应用及解题技巧技法05 向量投影法求范围与最值的应用及解题技巧技法06 向量矩形大法求范围与最值的应用及解题技巧技法07 范围与最值综合问题的应用及解题技巧本节导航技法01 爪子定理的应用及解题技巧“爪子定理”来源于平面向量三点共线定理，是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解平面向量中两个基底的系数问题，需同学们重点学习掌握.“爪子定理”的图示及性质：已知在线段上，且，则（全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（ ）A. B. C. D. 1．（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（    ）A．B．C．D．2．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ）A． B．C． D．1.（全国·高考真题）在中，，．若点满足，则（ ）A．B．C．D．2．（2024·辽宁·模拟预测）在中，点、在边上，，设，，则（   ）A． B． C． D．3．在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（    ）A．B．C．D．14．如图，在中，是的中点，与交于点，则（    ）    A．B．C．D．技法02 系数和（等和线、等值线）的应用及解题技巧近年来，在高考和模拟考试中，涉及“系数和（等和线、等值线）定理”的题目频繁出现。学生们在解答这类问题时，常常需要通过建立坐标系或利用角度与数量积的方法来处理。然而，由于解题思路不够清晰和解题过程的复杂性，得分率往往不高。相比之下，向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算。这种数形结合的思想不仅得到了有效体现，而且为解决相关问题提供了新的思路，大家可以学以致用。如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得而，所以，于是 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则，不妨设与的相似比为由三点共线可知：存在使得：所以（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为A．3B．2C．D．21．边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）1．如图，点C在半径为1，圆心角的扇形的弧上运动．已知，则当时， ；的最大值为 ．2．如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为 .3．如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（   ）A．B．C．D．技法03 极化恒等式的应用及解题技巧通过应用向量的极化恒等式，我们可以迅速将共起点或共终点的两个向量的数量积问题转化为更易处理的形式。这一方法彰显了向量的几何特性，并使得迅速解决（秒杀）向量数量积问题成为现实。极化恒等式的巧妙之处在于它构建了向量数量积与几何长度（数量）之间的联系，巧妙地将向量学、几何学和代数学结合起来。对于那些不共起点或不共终点的向量问题，我们可以通过平移转化法将其等价转换为共起点或共终点的向量数量积问题，进而利用极化恒等式来求解。因此，深入学习和掌握这一方法是十分必要的。极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ）A．B．3C．D．51．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．，则1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．2．（2024·辽宁·模拟预测）在矩形中，，为中点，为平面内一点，.则的取值范围为（    ）A．B．C．D．3．（2024·安徽芜湖·三模）已知与直线交于两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（    ）A．B．C．D．技法04 奔驰定理与三角形四心问题的应用及解题技巧平面向量问题在高中数学领域备受关注，尽管在高考中所占的比重并不大，通常以选择题或填空题的形式出现，难度也大多保持在中等水平。然而，偶尔也会作为压轴题目出现。在平面向量领域，有许多重要的应用，例如系数和（等和线）、极化恒等式等。此外，我们还将继续探讨另一个关键结论——奔驰定理。该定理巧妙地将三角形的四心与向量结合在一起，为高中生提供了一个课外拓展知识的机会，有助于加深对三角形的理解，并增强对数学的认识。所谓的“奔驰定理”，因其图形与奔驰汽车的标志相似而得名，它揭示了平面向量与三角形面积之间的一个优雅关系。掌握这一定理不仅能够提高解题效率，而且对于强化数学学习具有显著效果。奔驰定理如图，已知P为内一点，则有.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.奔驰定理的证明如图：延长与边相交于点则奔驰定理的推论及四心问题推论是内的一点,且,则有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点在内部，有以下四个推论：①若为的重心，则；②若为的外心，则；或③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.④若为的垂心，则，或宁夏·高考真题）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心1．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ）A．外心B．内心C．重心D．垂心2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ）A．若，则M为的重心B．若M为的内心，则C．若M为的垂心，，则D．若，，M为的外心，则1．已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ）A．B．C．2D．12．点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ）A．垂心，重心，外心B．垂心，重心，内心C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心3．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（    ）A．为的外心B．C．D．技法05 向量投影法求范围与最值的应用及解题技巧向量数量积的几何意义是:一个向量在另一个向量上的投影和这个向量模的积。如果能巧妙的找到投影长度,数量积就能快速算出，且不用知道两个向量的所成角,所以用投影法能有效解决一类问题（2024·安徽安庆·三模）已知线段是圆的一条长为4的弦，则（    ）A．4B．6C．8D．161．如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为 2．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．1．的外接圆的半径等于，，则的取值范围是（    ）．A．B．C．D．2．（2024·陕西渭南·一模）已知圆的方程为，直线过点且与圆交于两点，当弦长最短时，（    ）A．B．C．4D．83．在梯形中，，为的中点，则（    ）A．B．C．D．技法06 向量矩形法求范围与最值的应用及解题技巧向量矩形法是数学中使用向量来解决范围和最值问题的方法，特别适用于寻找向量的长度范围和最值，常在小题中使用.如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①；②.证明：①连接，根据极化恒等式，可得；②根据极化恒等式，可得.在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则__________.1．已知点为矩形所在平面上一点，若，，，则 .2．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ．1．在四边形中，，，则的最小值为 .2．已知圆，圆,定点,动点，分别在圆和圆上，满足,则线段的取值范围 .3．在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点A坐标为、是上的动点，为上的动点，则四边形能构成矩形的个数为A．0个B．2个C．4个D．无数个技法07 范围与最值综合问题的应用及解题技巧在平面向量的探讨中，范围与最值问题构成了高考命题的热点与难点，它们的复杂性凸显了高考在知识融合点出题的策略。这类题目通常以选择题或填空题的形式出现，解题时需要灵活运用多种方法，难度较大。基础题型涉及根据已知信息推导出某个变量的范围或最大最小值，例如涉及向量的模长、数量积、夹角大小以及系数范围等。在备考过程中，重视基础解题技巧的培养和对典型题型解法的掌握是至关重要的。本讲内容的难度较高，要求学生进行综合性的学习。（浙江·高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是A．1B．2C．D．1．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是A．B．C．D．2．已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ）A．B．C．D．1．已知平面向量满足，且，则的最大值为（    ）A．B．C．D．2．已知平面向量满足，，则的最小值是 .3．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（    ）A．B．C．D．1．如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（    ）  A．B．C．D．2．平行四边形中，点在边上，，记，则（    ）A．B．C．D．3．已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（    ）A．B．C．D．4．在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．5．（多选）在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（    ）A．，B．当点为中点时，C．的最大值为D．满足的点有且只有一个6．（2024·湖北·一模）如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（    ）  A．B．C．D．7．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（    ）A．6B．3C．D．8．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ）A．若，则B．若，，，则C．若O为△ABC的内心，，则D．若O为△ABC的垂心，，则9．如图，在中，，，，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．设，，，则的最大值是 ；的最小值是 .  10．已知，，，，，则的最大值为（    ）A．B．4C．D．