专题四 平面向量——高考数学二轮复习专题进阶训练

这是一份专题四 平面向量——高考数学二轮复习专题进阶训练，共20页。试卷主要包含了已知向量，，则，若D为的边AB的中点，则，下列等式一定正确的是，已知向量，，等内容，欢迎下载使用。
基础题
1.已知向量，，则( )
A.2B.3C.4D.5
2.若D为的边AB的中点，则( )
A.B.C.D.
3.已知向量a，b，，，若，则实数m的值为( )
A.B.C.D.
4.在中，，，点D满足，若为一组基底，则( )
A.B.C.D.
5.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一，在某年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花，它的模型如图所示.已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，各边分别为四个半圆的直径，若P是的中点，则( )
A.2B.4C.6D.8
6.（多选）下列等式一定正确的是( )
A.B.
C.D.
7.（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A.
B.b在a方向上的投影向量为
C.与b垂直的单位向量的坐标为
D.若向量与向量共线，则
8.已知向量，，.若，则__________.
9.如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数___________.
10.已知向量，，若，则__________.
中等题
11.已知O是内一点，满足，则( )
A.3B.C.2D.
12.已知向量，，，若，则( )
A.-6B.-5C.5D.6
13.如图，在中，已知，P是BN上一点.若，则实数的值是( )
A.B.C.D.
14.已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则( )
A.B.
C.D.
15.已知非零向量，满足，且，则的形状是( )
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
16.（多选）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的向量，向量，令，则下列说法正确的是( )
A.若a与b共线，则
B.
C.对任意，有
D.
17.（多选）若正方形ABCD中，O为正方形ABCD所在平面内一点，且，，则下列说法正确的是( )
A.可以是平面内任意一个向量
B.若，则O在直线BD上
C.若，，则
D.若，则
18.已知向量，，若，则__________.
19.如图所示，一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________N.
20.如图，在中，，，是正三角形，点M是的中心.若，则__________.
拓展题
21.某校的八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，寓意“方方正正做人”，又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量n，k，则向量( )
A.B.
C.D.
22.如图，在中，，，若，则的值为( )
A.7B.6C.5D.4
23.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点），已知，，则的最大值近似等于( )
(参考数据：，)
24.已知向量a，b，c满足，，且，则( )
A.B.C.D.
25.设点O在内部，且有，则的面积与的面积的比值为( )
A.2B.C.D.3
26.（多选）若的三个内角均小于，点M满足，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点.根据以上性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量b，c满足，且，则的取值可以是( )
A.10B.C.3D.
27.（多选）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点，，，以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过P作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和.若过P的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的P为( )
A.B.C.D.
28.已知向量，，其中，若，则的取值范围是___________.
29.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，与CE交于点O.若，则的值是___________.
30.已知非零向量a与b的夹角为锐角，c为b在a方向上的投影向量，且，则与b的夹角的最大值是___________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，，所以，所以，故选D.
2.答案：A
解析：因为D是AB的中点，所以.所以.故选A.
3.答案：D
解析：因为，所以，所以，所以，所以，故选D.
4.答案：A
解析：，，，，故选A.
5.答案：D
解析：因为P是的中点，所以，如图，设AB的中点为M，连接MO，PM，则，所以.故选D.
6.答案：ABD
解析：由向量加法运算律知，A，B，D选项正确；，，所以选项C错误.故选ABD.
7.答案：AD
解析：选项A：由题意知，，，则，故A正确；选项B：b在a方向上的投影向量为，故B错误；
选项C：与b垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；选项D：因为向量与向量共线，所以若存在，使得，则，所以，故D正确.故选AD.
8.答案：
解析：由题可得，，，，即，故答案为.
9.答案：
解析：因为，所以，故，因为B，P，N三点共线，所以，解得.
10.答案：
解析：，，，，，，.
11.答案：A
解析：因为，所以点O是三角形ABC的重心，所以，故选A.
12.答案：C
解析：由题意可得，
由得，即，解得，故选C.
13.答案：C
解析：因为P是BN上一点，则可设.所以.
又因为，所以解得故选C.
14.答案：A
解析：选取，为基底，则，，.
设，
即.故选A.
15.答案：D
解析：和分别表示向量方向上的单位向量和向量方向上的单位向量，
由，知的平分线与BC垂直，
为等腰三角形，且，
，
又，，
为等边三角形.故选D.
16.答案：ACD
解析：对于A，若a与b共线，则，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选ACD.
17.答案：ABD
解析：对于A，由题意，又，，以为基底的坐标系中，根据平面向量基本定理易知可以是平面内任意一个向量，故A正确；
对于B，由向量共线的推论知，若，则O在直线BD上，故B正确；
对于C，由题设，则，所以，故C错误；
对于D，由，则，作E为BC的中点，连接OE，则，即，且，如图所示，所以，故D正确.故选ABD.
18.答案：
解析：解法一：由，，
得，
由得，
故.
解法二：由得，
即，
又，，
，.
19.答案：
解析：一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，因为，与水平夹角均为，，所以由向量加法的平行四边形法可知的方向是竖直向上的，且，所以物体的重力大小为.
20.答案：-4
解析：如图，设MC交AB于点E.，，点M是的中心，
，设，则，.
是的平分线，，.
设，E，A，B三点共线，，
，.
由，得，
，，.
21.答案：D
解析：根据题意可得.
图形是以正方形中心为中心将正方形逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图.
由对称性可得，
，
点B，C，E，Q共线，点Q，F，G共线，
所以，，所以.故选D.
22.答案：C
解析：由题图及，
可得
，
，
，.
，
解得，故选C.
23.答案：B
解析：设，
由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，，，，
即点N在正方形的边上运动，
因为，由图可知：
当取到最小值，即最大，点N有如下两种可能：
①点N为点A，则，可得；
②点N在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则；
因为，
所以的最大值为.
故选：B.
24.答案：D
解析：方法一：设，，，因为，，且，所以，如图.
因为，，
所以.
由题意可知，，在中，由余弦定理得，，所以.在中，，由余弦定理得，，所以，故选D.
方法二：由得，，则，即，解得.又，则，即，解得，同理可得，所以，，，所以，故选D.
方法三：因为，，且，所以，设，，则，则，，所以，又，，所以，故选D.
25.答案：A
解析：设，，，如图所示.
根据题意得，即点O是的重心，取的中点E，连接OE，则，O，E三点共线，且，所以边上的高是边上的高的3倍，
所以，即，
同理可得，，
所以.又因为，，
所以，，故的面积与的面积的比值为.故选A.
26.答案：AB
解析：因为，，所以可设，，，则，即为点到，，三点的距离之和，则是等腰锐角三角形.如图，由费马点的性质可知，当点M满足时，点M到三角形三个顶点的距离之和最小，因为，所以，故，则的最小值是.故选AB.
27.答案：ACD
解析：建立平面直角坐标系，如图所示，则记“▲”的四个点分别是，，，，线段DA，AB，BC，CD的中点分别为E，F，G，H，则，，，，则由得四边形EFGH为平行四边形，设其对角线交于，则，即，由此求得与点重合，根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点.而过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条.所以符合条件的点是，，.故选ACD.
28.答案：
解析：，，，
，
即，
又，，
，
，解得，，
又，，
，
即的取值范围是.
29.答案：
解析：过D作，交AB于F.
为BC的中点，为BE的中点，
又，，
又，，
.
.
，
，
，，.
30.答案：
解析：因为，c为b在a方向上的投影向量，且a与b的夹角为锐角，所以，故.因为，且，所以.设，则，故.又.设与b的夹角为，所以.因为（当且仅当，即时取等号），所以，即，故.又，所以.故与b的夹角的最大值是.