（计算问题专项讲义）专题10++等差数列和等比数列-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、等差数列。
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．
（1）学会观察和归纳，找出相连两个数之间的关系。
（2）确定首项和项数，熟练掌握高斯求和公式，即等差数列通项公式：（首数+尾数）×项数÷2=和。
2、等比数列。
等比数列是说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0），等比数列a1≠0．
（1）先观察数列之间的关系，判断相连两数之间是否恒等于一个比值，就此判断为等比数列。
（2）求等比数列的和，把原式乘以公比作为第二式子，与原式进行相减消项，得出结果再除以（公比-1）。
【典例一】“空间”等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级．当用户在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系．现在知道第10级的积分是90，第11级的积分是160，第12级的积分是250，第13级的积分是360，第14级的积分是若某用户的空间积分达到1000，则他的等级是
A．15B．16C．17D．18
【分析】解决本题的关键是算出从第10级开始，看每升一级，积分增加多少．
【解答】解：第10级到第11级，12级，13级，14级积分分别增加的值是70，90，110，130，15级增加150，16级增加170，17级增加190，18级增加210，则15级积分是640，16级积分是810，17级积分是1000，18级积分是1210，
所以他的等级是17级．
故选：。
【点评】本题考查了数字的变化规律探索，重点抓住每升一级，积分增加多少
【典例二】李翔参加了学校篮球队，教练要求他先练习拍球。他计划第一天练习拍200个，以后每天都比前一天多拍50个。第四天应该拍 个。
【分析】第一天练习拍200个，第二天拍个，第三天拍个，第四天拍个，据此计算。
【解答】解：（个
答：第四天应该拍350个。
故答案为：350。
【点评】此题主要考查了等差数列的定义，要熟练掌握。
【典例三】南通灯具厂的一位退休工人为迎接上海世博会的召开特地制作了一盏名为东方明珠的七层宝塔，共用彩灯381盏，从塔顶向下，每下一层灯的盏数都是上一层的2倍，问塔的顶层装几盏灯？
【分析】设塔的顶层装盏灯，则根据每下一层灯的盏数都是上一层的2倍，分别求出每一层灯的数量，然后求和，根据它们的和是381解答即可．
【解答】解：设塔的顶层装盏灯，
则从塔顶向下，每一层灯的数量依次是、、、、、，
所以
答：塔的顶层装3盏灯．
【点评】此题主要考查了等比数列的应用，解答此题的关键是理解把握每下一层灯的盏数都是上一层的2倍．
一．选择题（共6小题）
1．是一种流行的中文网络即时通讯软件，注册用户通过累积“活跃天数”就可获得相应的等级，如果用户当天使用在2小时以上（包括2小时），其“活跃天数，累积为1天．一个新用户等级升到1级需要5天的“活跃天数”，这样可以得到1个星星，此后每升1级需要的“活跃天数”都比前一次多2天，每升1级可以得到1个星星，每4个星星可以换成一个月亮，每4个月亮可以换成1个太阳，网名是“未来”的某用户今天刚升到2个月亮1个星星的等级，那么他可以升到1个太阳最少还需经过的天数是
A．205天B．204天C．203天D．202天
【分析】根据题意所述可得出，若级数为，天数为，则，然后根据1个太阳是16级，2个月亮1个星星是第9级，代入计算出即可得出答案．
【解答】解：1级需要5天，2级需要12天；3级需要21天；四级需要32天
所以若级数为，天数为，则，
所以升到1个太阳即到16级，则天数（天；
升到2个月亮1个星星即到第9级，所用天数为：（天，
所以（天．即至少还需要203天．
故选：。
【点评】此题属于应用类问题，解答本题需要一定的规律总结能力，例如本题的规律“”，如果不能直接发现，可先计算出前几个级数、天数，然后再总结，有一定难度．
2．小娟练写毛笔字．她第一天写了12个大字，以后每天都比前一天多写3个．比如说她第二天写了15个，她第5天写了 个大字．
A．18B．20C．24D．27
【分析】根据小娟第一天写了12个大字，以后每天都比前一天多写3个，也就是每多一天，就多3个字，她第5天写的字比第一天多了4个3，从而可以写出第5天写了多少个大字．
【解答】解：因为小娟练写毛笔字．她第一天写了12个大字，以后每天都比前一天多写3个，
所以她第5天写了：
（个
答：小娟第5天写了24个大字．
故选：．
【点评】本题考查等差数列，解答本题的关键是明确题意，知道多一天，就比前一天多写3个字，计算出第5天写的字的个数是解答本题的关键．
3．与表示相同结果的算式是
A．B．C．D．
【分析】1，3，5这样的连续奇数求和，首尾两数之和等于中间的数的2倍，以此类推。
【解答】解：
故选：。
【点评】本题考查了等差数列求和中的首位相加法，可在其它等差数列中加以运用。
4．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某数时，结果是2014，后来发现中间有个数多加了一次，那么多加的那个数是
A．29B．37C．54D．61
【分析】根据自然数连加的公式：．如果连加到，结果应当为，因为多加一项，变为2014，所以小于2014，探讨得出小于63，显然是连加到62了，所以用2014减去62个数的和，差就是多加的那个数．
【解答】解：
；
；
多加的数就是．
答：多加的那个数是61．
故选：．
【点评】本题关键是会利用自然数连加公式求出是连加到了多少，知道了连加到了多少就可求解．
5．小红练习毛笔字。她第一天写了12个大字，以后每天都比前一天多写3个。她第5天写了 个大字。
A．21B．24C．27
【分析】根据等差数列“末项首项（项数公差”直接计算即可。
【解答】解：
（个
答：她第5天写了24个大字。
故选：。
【点评】本题考查了等差数列求末项的知识。
6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
【分析】设这个塔顶层有盏灯，由题意和等比数列的定义可得从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前项公式列出方程，求出的值即可。
【解答】解：设这个塔顶层有盏灯，塔一共有7层，每层悬挂的灯数是上一层的2倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、为首项的等比数列，又总共有灯381盏，所以：
即
所以
答：塔的顶层共有灯3盏。
故选：。
【点评】本题考查了等比数列求和公式的应用。
二．填空题（共9小题）
7．把105根木材按6层堆积起来，堆积的时候，若每次上层木材比下层木材少一根，则最下层应放 20 根．
【分析】首先根据等差数列的和（首项末项）项数，求出首项、末项的和是多少；然后根据每次上层木材比下层木材少一根，用首项、末项的和加上5，再除以2，求出最下层应放多少根即可．
【解答】解：
（根
答：最下层应放20根．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了等差数列的求和方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：和（首项末项）项数．
8．三个连续自然数的和是57，这3个数是分别是 18 、 、 。
【分析】用“”先求出这三个连续自然数中的中间数，进而根据相邻的两个自然数相差1，分别求出即可。
【解答】解：
这3个数是分别是18、19、20。
故答案为：18，19，20。
【点评】了解自然数中，相邻的两个自然数相差1，是解本题的关键。
9．小新看一本120页课外书，第一天看了10页，以后每天都比前一天多看2页．小新第三天看了 14 页，前三天一共看了 页．
【分析】第一天看了10页，以后每天都比前一天多看2页，则第二天看了页，第三天看了页，把前三天读得页数相加就是前三天一共看的页数．
【解答】解：（页
（页
（页
答：小新第三天看了 14页，前三天一共看了 36页．
故答案为：14，36．
【点评】解答此题关键是得出第二天和第三天看得页数．
10．我国古代典籍里也有数学问题。《庄子天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是：一根一尺（尺为我国古代长度单位）的木棍，今天截取它的一半，明天取它一半的一半，后天取它一半的一半的一半，这样取下去，永远取不完。那么，第7天取得的木棍长度是 尺，七天后还剩 尺。
【分析】从第一天到第七天，相当于依次平均分成了2、、、、、、份，据此解答即可。
【解答】解：、、、、、
因为每天截取它的一半，所以还剩下它的一半，即七天后还剩尺。
（尺
答：第7天取得的木棍长度是尺，七天后还剩尺。
故答案为：；。
【点评】本题考查了等比数列和分数巧算知识的灵活运用。
11．三个连续偶数的和是138，这三个偶数分别是 44 、 、 。
【分析】根据偶数的含义可知，相邻的偶数相差2，已知三个连续偶数的和是138，首先求出这三个连续偶数的平均数（即中间的偶数），然后用平均数分别减2、加2即可求出另外两个偶数，据此解答。
【解答】解：
所以这三个偶数分别是44、46、48。
故答案为：44、46、48。
【点评】此题考查的目的是理解偶数的意义，明确：相邻的偶数相差2。
12．在200，198，196，194，，8，6，4，2．这列数字中，每个数都是 2 的倍数，第50个数是 ．
【分析】仔细观察这一数列不难发现，个位数都是偶数，根据偶数的意义，每个偶数都是2的倍数，因而，这个数列中每个数都是2的倍数；这个等差数列，从第二2个数开始，每个数都比前1个数少2，即第2个数比第一个数少1个2、第2个数比200少2个2，第三个数比200少3个第50个数比200少50个2，据此解答即可．
【解答】解：200，198，196，194，，8，6，4，2．这列数中，每个数都是偶数，即2的倍数；
即第50个数是102．
故答案为：2，102．
【点评】解答此题的关键是仔细观察这一数列，从中找出规律，再根据规律填空．此题不难，每个数都是偶数，即2的倍数，每个数字都比200少它序数的2倍．
13．有、两组数，每组都按一定规律排列着，并且每组各有26个数，组数中前几个数是这样排列的：1、6、11、16、21、；组数中最后几个数是这样排列的：、110、115、120、125、130．那么，、两组数中所有数的和是 3406 ．
【分析】首先判断出组数是以1为首项，5为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式，求出它们的和是多少；然后根据组数是以130为末项，5为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式，求出它们的和是多少；最后把、两组数的和相加，求出、两组数中所有数的和是多少即可．
【解答】解：
故答案为：3406．
【点评】此题主要考查了等差数列的求和公式的应用，解答此题的关键是要明确：等差数列的前项和或，其中、分别是等差数列的首项和末项，是等差数列的公差，是等差数列的项数．
14．猴妈妈摘了15个桃，小猴第一天吃1个，以后每一天都比前一天多吃1个， 5 天后小猴正好把桃吃完。
【分析】考虑，所以小猴第5天正好吃完。
【解答】解：因为，所以小猴正好可以吃5天。
答：5天后小猴正好把桃吃完。
故答案为：5。
【点评】本题考查了简单的等差数列的应用。
15．盒子里放有编号为1至10的十个球，小明先后三次从盒中共取出九个球．如果从第二次开始，每次取出的球的编号之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是 6 ．
【分析】10个球的编号之和是，设未取出的球的编号是，第一次取出的编号之和是，则第二次取出的编号之和是，第三次取出的编号之和是，，然后分析得出未取出的球的编号
【解答】解：设未取出的球的编号是，第一次取出的编号之和是，则第二次取出的编号之和是，第三次取出的编号之和是．
10个球的编号之和是：即：
，
分析：当取1到6时，球的编号都大于10，不对，
当取7之后的数，即使不加没取出的球的编号，和也大于55，不对，所以只能是7，
所以未取出的球的编号是．
答：未取出的球的编号是6．
故答案为：6．
【点评】考查了等比数列，关键是学生掌握通过所给数据进行推理和分析的能力．
三．解答题（共8小题）
16．《张丘建算经》是我国南北朝时期数学家张丘建所著，丰富了我国古典数学理论体系。书中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”意思是：第1日织布5尺，以后每日依次减少，最后1日织布1尺，一共织了30天，一共织了多少尺布？请画一画，算一算。
【分析】根据题意可知，第一天织布5尺，最后一天织布1尺，每天依次减少，通过观察示意图可知，其它天织布不一定都是整数，也无法求出，但是我们通过可以求出每2天织布的尺数，可以求出平均每天织布的尺数；最后根据每天织布的尺数乘30，即可求出30天一共织布的尺数。即第一天织布的尺数最后一天织布的尺数第二天织布的尺数倒数第二天织布的尺数根据这层关系，求出平均每天织布的尺数，这是解决此问题的关键。
【解答】解：如下图所示：
（尺
答：一共织了90尺布。
【点评】本题考查了等差数列计算的应用。
17．在“魔方达人”比赛中获得前四名的选手里，后一名选手的成绩都比前一名选手多2秒。获得第四名的选手的成绩是48秒，获得第一名的选手的成绩是多少秒？
【分析】后一名选手的成绩都比前一名选手多2秒，第四名48秒，则第一名选手的成绩是秒。
【解答】解：（秒
答：获得第一名的选手的成绩是42秒。
【点评】此题主要考查了等差数列的应用，要熟练掌握。
18．把210写成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差是5，第一个数与第七个数分别是多少？
【分析】本题可设第一个数是，由于相邻两个数的差是5，则第七个数是，又它们的和是210，根据高斯求和公式可得方程：，解此方程即可．
【解答】解：设第一个数是，可得方程：
，
，
，
，
．
，
，
．
即第一个数是15，第七个数是45．
【点评】高斯求和公式为：（首项末项）项数．
19．南通灯具厂的一位退休工人为迎接上海世博会的召开特地制作了一盏名为东方明珠的七层宝塔，共用彩灯381盏，从塔顶向下，每下一层灯的盏数都是上一层的2倍，问塔的顶层装几盏灯？
【分析】设塔的顶层装盏灯，则根据每下一层灯的盏数都是上一层的2倍，分别求出每一层灯的数量，然后求和，根据它们的和是381解答即可．
【解答】解：设塔的顶层装盏灯，
则从塔顶向下，每一层灯的数量依次是、、、、、，
所以
答：塔的顶层装3盏灯．
【点评】此题主要考查了等比数列的应用，解答此题的关键是理解把握每下一层灯的盏数都是上一层的2倍．
20．一批货物共368吨，第一天运走了96吨，以后每天都比前一天少运12吨，第五天运走多少吨？还剩下多少吨没有运？
【分析】第一天运走了96吨，以后每天都比前一天少运12吨，那么每天运的吨数可以看成是一个首项是96，公差是12的依次减少的等差数列，先根据等差数列的通项公式，求出第5项是多少，也就是第五天运走的吨数，再根据等差数列的数求和公式：，求出运走了多少吨，进而求出还剩下的吨数。
【解答】解：
（吨
（吨
（吨
答：第五天运走48吨，还剩下8吨没有运．
【点评】解决本题关键是熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式．
21．一个剧场设置了40排座位，第一排有76个座位，往后逐排比前一排多2个座位，最后一排有154个座位，这个剧场一共设置了多少个座位？
【分析】本题中，一共有40排座位，第一排有76个座位，往后逐排比前一排多2个座位，最后一排有154个座位，那么剧场一共设置的座位数是：；简单速算可得解．
【解答】解：
（个
答：这个剧场一共有4600个座位．
【点评】本题考查了等差数列的实际应用，相关的知识点是：等差数列和（首项末项）项数．
22．可可有7罐一样的糖果，她从第一罐中取出2颗糖，第二罐中取出4颗糖，第三罐中取出6颗糖第7罐中取出14颗糖。现在剩下的糖果数量与原来3罐糖果的数量相同。请问原来每罐糖果有几颗糖？
【分析】取出糖果的颗数是原来每罐糖果颗数的倍，计算，可用等差数列前项和公式计算，是这组数的个数7。
【解答】解：根据题意得：
（颗
答：原来每罐糖果有14颗糖。
【点评】本题是一道有关整数的四则混合运算、等比数列（奥数）的题目；解题的关键是掌握等差数列求和公式。
23．一个物体从高空下落．第一秒下落距离是4.9米，以后每一秒都比前一秒多落下9.8米．这个物体最后一秒下落距离正好是73.5米．问这个物体从下落开始计算，经过几秒钟落地？
【分析】首先根据题意，可得物体第一秒下落的距离、第二秒下落的距离、构成了以4.9为首项，以9.8为公差的等差数列，然后根据：等差数列的项数（等差数列的末项等差数列的首项）等差数列的公差，求出这个物体从下落开始计算，经过几秒钟落地即可．
【解答】解：
（秒
答：这个物体从下落开始计算，经过8秒钟落地．
【点评】此题主要考查了等差数列问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等差数列的项数（等差数列的末项等差数列的首项）等差数列的公差．