（计算问题专项讲义）专题2 乘除法中的巧算-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、乘法中常用的几个重要式子
2×5=10；4×25=100；8×125=1000；4×75=300；4×125=500；
2、乘法的几个重要法则
（1）去括号和添括号原则
在只有乘除运算的算式里，如果括号的前面是“÷”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都要改变，即“×”号变“÷”，“÷”变“×”；如果括号的前面是“×”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都不改变．
（2）带符号“搬家”
在只有乘除运算的算式里，每个数前面的运算符号是这个数的符号．不论数移动到哪个位置，它前面的运算符号不变．
（3）乘法交换律 a×b=b×a
（4）乘法结合律 a×（b×c）=（a×b）×c
（5）乘法分配律 a×（b+c）=a×b+a×c；a×（b-c）=a×b-a×c
（6）逆用乘法分配律 a×b+a×c=a×（b+c）；a×b-a×c=a×（b-c）
3、除法的几个重要法则
（1）商不变性质
被除数和除数乘以（或除以）同一个非零的数，商不变，即
a÷b=（a×n）÷（b×n） （n≠0）
a÷b=（a÷m）÷（b÷m） （m≠0）
（2）当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数；反之也成立（也可称为除法分配律）．如：
（a±b）÷c=a÷c±b÷c； a÷c±b÷c=（a±b）÷c．
4、解决此类问题的方法。
（1）在除法中，利用商不变的性质巧算，商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变，利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千，再除．
（2）在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”．
（3）当n个数都除以同一个数后再加减后，可以将它们先加减之后再除以这个数．
（4）在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：
括号前面是乘号，去掉括号不变号
乘号后面添括号，括号里面不变号
括号前面是除号，去掉括号要变号
除号后面添括号，括号里面要变号
注：号指数字前面的运算符号．
【典例一】如果，，那么
A．B．C．D．无法确定
【分析】通过观察，此题中的两个算式数字较大，要想比较它们的大小，可设，，然后分别表示和的值，比较就方便多了．
【解答】解：设，，
所以，．
因为，所以．
故选：．
【点评】此题也可这样解答：因为，，
则，
，
，
．
然后选择即可．
【典例二】
【分析】根据乘法分配律及高斯求和公式进行计算即可．
【解答】解：
【点评】在认真分析式中数据的基础上发现式中数据的特点及内在联系并由此找出巧算方法是完成此类题目的关键．
一．选择题（共3小题）
1．是非0的自然数，下面算式中得数最大的是
A．B．C．
【分析】一个不为0的数乘一个小于1的数，积就小于这个数；一个不为0的数除以1，则商就等于被除数，除以一个大于1的数，商就小于被除数，除以一个小于1的数，商就大于被除数．
由于，则，，又，则，即，．所以，选项得数最大．
【解答】解：由于，则，，
又，则，
即，．
所以，选项得数最大．
故选：．
【点评】根据选项中的因数或除数与1相比较的情况进行分析是完成本题的关键．
2．的积是
A．249755232B．3497055232C．2497055232D．2497055246
【分析】先根据每个因数的个位数确定积的末位数子为2，再根据的积要小于的积，大于的积，选择即可．
【解答】解：因数的个位数为2、8、7，
所以的积的个位数为2；
的积要小于，
大于，
故选：．
【点评】本题考查了乘法中的巧算，关键是得出积的个位数，以及积的范围．
3．？，积的末尾有 个0。
A．20B．21C．100D．22
【分析】根据整数乘法的计算方法即可得出结果，先算得出的结果后面有2个0，再加上前面的因数末尾的10个0和后面因数末尾的10个0，可知一共22个0。
【解答】解：根据整数乘法的计算方法可知：题目中的算式积的末尾一共22个0。
故选：。
【点评】这道题考查的是整数乘法的计算方法，要熟练掌握。
二．填空题（共7小题）
4．已知除法算式，精确到小数点后3位的近似值为 1.224 ．
【分析】真正要计算出这个算式的商，再取近似值，就太复杂了．由于题目要求精确到小数点后三位数，所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了．
【解答】解：（1）被除数和除数各取前两位：原式，无法确定小数后三位的近似值，必须缩小范围；
（2）被除数和除数各取前三位：原式，仍无法确定小数后三位的近似值，必须再缩小范围；
（3）被除数和除数各取前四位：原式，因此，所求商的近似值是1.224．
故答案为：1.224．
【点评】如果被除数缩小，除数扩大，则商变小；如果被除数扩大，除数缩小，则商变大；利用这一点，使用放缩法能估算出商的范围，有时还需要合理调整取值范围．
5． 1 ．
【分析】经过观察，此算式只有一级运算，根据数字特点，此题可通过调整运算顺序，来进行简算．
【解答】解：，
，
，
；
故答案为：1．
【点评】有的计算题，可以通过调整运算顺序，使运算简便．
6．有两个自然数、，已知，，那么与的大小关系是 ．（填“、或”
【分析】要想比较大小，应通过计算，来进行判断．此题数字很有特点，可通过对数字变形，运用乘法分配律简算，然后再比较．
【解答】解：，
，
；
，
，
；
因为，
所以；
故答案为：．
【点评】解答这类问题，应仔细审题，运用所学知识，灵活解答．
7．计算： 1 ．
【分析】通过乘法的交换律和结合律将变形为，即可简便计算．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：1．
【点评】考查了乘除法中的巧算，解题的关键是灵活运用乘法的运算律进行简便计算．
8．两位数乘两位数的算式中有一种特殊的情况，就是两个乘数十位上的数相同，个位上的数字之和是10，比如，像这样的算式叫“头同尾合十”的乘法算式。这种算式的计算方法很巧妙！如图：
请写出计算的积的两个算式是和 ，所以 。
【分析】由题可知，如果两个乘数十位上的数相同，个位上的数字之和是10，那么用个位数相乘，所得的积作积的后两位数；用十位上的数乘它本身加1的数，所得的积作积的前两位数；据此解答。
【解答】解：计算的积的两个算式是和，所以。
故答案为：；3021。
【点评】本题考查乘法算式的巧算，明确这类算式的特点，掌握巧算方法是解题的关键。
9． 4 ．
【分析】利用去括号原则，去括号，然后根据一个数乘另一个数，再除以同一个数，值不变的原则计算即可；
【解答】解：
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了乘除法里的去括号原则，题目较为简单．
10．的积的末尾有 7 个0。
【分析】积的末尾0的个数是由2和5的个数决定的，30以内的数含有的约数2的个数一定多于5的个数，所以我只要看5的个数就行了，含有约数5的（先按一个来数有（个，另外25有两个5，所以是（个，那就是有7个0，据此解答
【解答】解：积的末尾0的个数是由2和5的个数决定的。
由于（个
（个
（个
答：在的积的末尾有7个0。
故答案为：7。
【点评】明确积的末尾0的个数是由2和5的个数决定的是完成此类问题的关键。
三．计算题（共7小题）
11．巧算：
【分析】根据除法的运算性质：，去括号计算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查除法的运算性质，灵活运用。
12．简算。
【分析】（1）把除法算式化成分数，再根据同分母分数减法的计算方法进行计算；
（2）把除法算式化成分数，再根据加法交换律和结合律进行计算。
【解答】解：（1）
（2）
【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
13．计算：．
【分析】此题可把带分数化为假分数，分子不必算出来，因为牵扯到约分；运用除法的性质简算．据此解答．
【解答】解：
【点评】仔细观察题目中数字构成的特点和规律，运用运算定律或运算技巧，进行简便计算．
14．数与数相差多少？为什么？
【分析】根据题意，利用拆分思想，；，所以：．
【解答】解：
；
；
所以：
答：数与数相差0．
【点评】本题主要考查乘除法中的巧算，关键利用拆分思想解题．
15．．
【分析】通过观察发现，式中两个乘数分别与除数有共同的因数111111111、3与11111111、2，因此可将式中的数据进行分解因数后进行巧算．
【解答】解：
【点评】在认真分析式中数据的基础上发现式中数据的特点及内在联系，并由此得出合适的巧算方法是完成本题的关键．
16．求的值。
【分析】根据，进行化简，据此解答。
【解答】解：设，。
【点评】本题考查的是乘法的巧算，应用乘法分配律是解答关键。
17．
【分析】把每个括号内的算式写成分数的形式，通过约分，即可求得结果．
【解答】解：，
，
，
．
【点评】完成此题，通过算式变形，约分计算．
（1）
（2）