（计算问题专项讲义）专题8+比较大小-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、整数的大小比较：位数越多的整数越大，如果位数相同，则从最高位起依次比较各位数字大小，相同位上数字越大的整数越大．
2、小数的大小比较：小数由整数部分和小数部分组成．整数部分的比较规则与整数的比较规则相同，整数部分越大的小数越大．如果整数部分相同，则从十分位起依次比较各位数字，相同位上数字越大的那个小数越大．
3、分数的大小比较：分母相同，分子越小的分数越小；分子相同，分母越小的分数越大．
4、循环小数的大小比较：将所有循环小数补足到足够的相同的位数，即可按照小数的比较法则进行比较．
5、循环小数和分数的大小比较：①对于较简单的情形，将分数化为小数，再按照小数比较大小的规则比较即可．②对于分数形式较复杂的情形，将循环小数化为分数与分数比较大小．
6、特殊方法：
①放缩法：根据分子不变分母改变或者分母不变分子改变，对分数进行一定的处理，得到形式简单的、大小介于两者之间的数，参与比较，简化比较过程．
②倒数法：倒数越大，数越小．某些分子分母之间的关系相差不大的分数作比较时，如果分数结构复杂不适合通分解决，取它们的倒数是比较有效的方法，但必须对分数有特定要求．
③等值放缩比较法：两个分数比较，分母或者分子相差一定的倍数时，使用通分法将分母或者分子放缩为相近的数，然后比较得到的结果．
④归一法：如果相比较的两个分数结构复杂，但是分子分母相差很小，即分数值与1很接近，则将问题转化为比较两个分数与1的差的大小．
【典例一】已知、、均不为，、、这三个数中最小的是
A．B．C．D．无法判断
【分析】由“”，可推出、、的值分别为多少，然后比较大小即可．
【解答】解：因为，所以；
因为，即，所以；
因为，所以；
很显然最大，只比较和的大小即可，
因为，，所以；
因此最小．
故选：．
【点评】解答此题，首先应找出解题的突破口，从最后结果1入手，求出各数，再进行比较．
【典例二】把、0.9056、和按照从小到大的顺序排列： 。
【分析】把分数化成小数，根据小数的大小比较进行解答即可。
【解答】解：
故答案为：；0.9056；；。
【点评】本题考查了分数化成小数互化及小数的大小比较的应用。
【典例三】求满足下列条件的最小正整数，对于这个数，有唯一的正整数，满足
【分析】根据，因而要使成立，只要证明，然后把、通分，根据条件确定的值．
【解答】解：、是正整数，
，即，
，
，
，
要使、最小，解尽量使上式分母扩大的倍数最小，
又、是正整数，
最小扩大2倍有正数解，
，，
，
，．
【点评】此题考查的目的是理解掌握分数大小比较的方法及应用，正确对分式进行转化是解答关键．
一．选择题（共8小题）
1．、、三个数均大于0，当时，最大的数是
A．B．C．
【分析】本题根据乘法的意义进行分析比较即可：
根据乘法的意义可知，乘法算式中，在积一定的情况下，其中的一个因数越大，则另一个因数就越小，据此完成．
【解答】解：由于，又，
则．
最大的数是．
故选：．
【点评】明确乘法算式中，在积一定的情况下，其中的一个因数越大，则另一个因数就越小是完成本题的关键．
2．估算下面四个算式的计算结果，最大的是
A．B．
C．D．
【分析】先把化为；化为；化为；化为，然后根据一个因数相同，另一个因数大的，积就大，解答即可．
【解答】解：；
；
；
，
在，，，中，最大，
所以的计算结果最大．
故选：．
【点评】解答此题的关键是把上面的四个算式化为乘法算式且其中一个因数相同．
3．的计算结果是怎样的？
A．比大B．比小1C．和相等
【分析】运用赋值法，令，用先减去，再加上，求出结果与比较即可判断．
【解答】解：令，则：
结果仍是，所以的结果与相等．
故选：．
【点评】本题利用赋值法比较简单，可以得出结论：数先减去某个数，再加上这个数，结果仍是．
4．非零自然数，，满足，则，，中最大的一个是
A．B．
C．D．以上答案都不对
【分析】根据所给等式得出：，积相等，其中一个因数越小，另一个因数越大，，则．
【解答】解：由题意知，，所以．
所以，，中最大的是．
故选：．
【点评】解决本题主要利用积相等，其中一个因数越小，另一个因数越大，进行判断．
5．比较大小．
，括号里应填
A．B．C．
【分析】 ，根据一个数乘以真分数积一定小于这个数，可知的积小于，再根据一个数除以真分数商一定大于这个数，可知的商一定大于，由此可判定大小．
【解答】解： ，
根据一个数乘以真分数积一定小于这个数，可知的积小于，
再根据一个数除以真分数商一定大于这个数，可知的商一定大于，
所以，
故选：．
【点评】此题可根据积与因数关系，商与除数的关系，来解决比较简便．
6．已知是一个真分数，是1，在至四个算式中，答案大于的算式是
A．B．C．D．
【分析】因为是1，而且是一个真分数，即，据此条件，分别对四个选项进行分析判断即可．
【解答】解：因为，，
（A）．；
（B）．；
（C）．，所以1除以一个小于1的数，其结果一定大于1，即．
（D）．，所以1减去一个小于1的数，其结果一定小于1，即．
故选：．
【点评】此题考查了运用“被除数、除数、商”、“因数与积”、“被减数、减数、差”的关系，解决问题的能力．
7．设甲数，乙数．那么
A．甲乙B．甲乙C．甲乙
【分析】首先把9876543化成，把23456789化成，然后根据乘法分配律，把化成，即可判断出甲数、乙数的大小关系．
【解答】解：
所以甲数乙数，
所以甲乙．
故选：．
【点评】此题主要考查了比较大小问题，解答此题的关键是应用乘法分配律，把化成．
8．已知，，则下面的结论中正确的是
A．B．C．
【分析】根据乘法分配律进行解答即可。
【解答】解：
，
所以。
故选：。
【点评】本题考查乘法分配律的实际应用。
二．填空题（共8小题）
9．有两个自然数、，，，那么与的大小是 ． ．
【分析】此题和数字较大，但数字有一定的特点和联系，可以对两个数字通过变形，比较出大小．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
因为，
所以．
故答案为：．
【点评】对于这样的问题，首先应仔细审题，找出特点或联系，通过数字变形，找到比较点．
10．把分数，，， 按从大到小的顺序排列起来 ．
【分析】根据分数的意义可知，，，又，，即．所以．
【解答】解：由于，，
又，，即；
所以．
故答案为：．
【点评】分母相同，分子越大，分数值就越大；分子相同，分母越小，分数值就越大．
11．在横线里填上“”或“”．
，则 ，则 ．
【分析】由于一个不为0的数乘一个小于1的数，积就小于这个数；除以一个小于1的数，商就大于这个数．
，则，，又，则；
根据除法的意义可知，在商一定的情况下，除数越大，则被除数就越大．
，则．
【解答】解：，则，则．
故答案为：，．
【点评】完成此类题目要根据题目中数据特点采用灵活的方法进行判断，不用具体计算．
12． 〇、、1、11、0、、
（1）当〇中填时， 里可以选什么数？ 、11
（2）当〇中填时， 里可以选什么数？
（3）当〇中填时， 里可以选什么数？ ．
【分析】一个不为零的数乘一个小于1的数，则积一定小于这个数；乘一个大于1的数，则积大于这个数．乘1还得原数．
据此完成即可．
【解答】解：由于、11大于1，
则当〇中填时，空中可填：、11；
由于、0、、小于1，
则当〇中填时，空中可填、0、、；
当当〇中填时，空中可填1．
故答案为：、11；、0、、；1．
【点评】完成本题不需要计算，根据所填因数与1相比较大小的情况即可判断．
13．已知、、均不为零），把、、按从大到小顺序排列．
．
【分析】把化成，把画出；再比较1.2、、1.25的大小即可，那个数大，则与它相乘的另一个因数就越小，据此即可比较、、的大小．
【解答】解：，
，
，
，
，
所以．
故答案为：；；．
【点评】本题的重点是把这三个算式改写成两个因数相乘的乘法算式，通过比较已知的因数的大小即可解答．
14．已知， ．
【分析】此题是三个算式和的大小比较，每式中第一个加数是字母，不为定数，第二个加数都是分数，根据分数的大小比较方法对这三个分数进行大小比较，由于和相等，哪个分数大，另一个加数就小，反之另一个加数就大．
【解答】解：因为，
，
，
，
所以，
所以，
又因为，
所以．
故答案为：，，．
【点评】本题主要是考查分数的大小比较．分子比分母小1的分数，分子（或分母）越大，分数也越大，记住这一规律，能快速比较此类分数的大小．
15．比较两个积的大小： ，则 ．
【分析】根据题目特点，将因数进行拆分，即将98769拆成，将98766拆成，然后运用乘法分配律进行整理，然后比较即可．
【解答】解：
因为，
所以
即；
故答案为：．
【点评】解答这类问题，应仔细审题，抓住特点，运用运算定律或运算技巧，灵活解答．
16．与比较， 的分数值大， 的分数单位大。
【分析】先通分，再比较分数的大小，根据分子相同，分母越大这个分数越小，即可求出哪个分数分分数单位大。
【解答】解：
所以
答：与比较，的分数值大，的分数单位大。
故答案为：；。
【点评】本题考查分数大小的比较。
三．解答题（共8小题）
17．已知，并且、、都不等于0，把、、这3个数按从大到小的顺序排列，并说明为什么？
【分析】已知，可设它们的积是1，根据乘除法之间的关系，可分别表示、、，然后再进行比较它们的大小．
【解答】解：设它们的积是1，则
，
，
，
因为，
所以．
【点评】本题的关键是设它们积为1，再分别表示出来、、然后根据同分子的分数相比较分子大的这个数就大．
18．比较与．
【分析】假设，．想要知道这两个式子的大小，只将他们的差值与0作比较，如果，大；如果，则相等；如果，则大．
【解答】解：
设，
所以这两个式子相等．
【点评】解答本题的关键是根据数据和运算符号的特点，采用相反数相加得零逐步化简计算即可．
19．有一天，万老师给淘淘出了一道题：“这三个分数怎样比较大小？”淘淘发现通分很麻烦，有没有简便方法呢？请你试一试吧
【分析】这三个分数分子与分母都相差1，结果都接近1，用1分别减去这三个分数，那么分子都变成了1，根据分子相同分母大的反而小，可以求出它们与1的差的大小，差越小，这个分数月接近1，那么这个分数越大进行比较解答．
【解答】解：
因为；
所以，；
那么．
【点评】本题关键是先观察分数的特点，根据分数的特点，求出它们与1的差，然后再比较解答．
20．先观察与、与的关系，再比较，，的大小．
，，
【分析】，分子都是1，分母是连续的从100到120的21个自然数，根据分子相同，分母大的反而小，如果把这21个分数的分母都看作100，这样所得的和就比原来的分数和大；如果把这21个分数的分母都看作120，这样所得的和就比原来的分数和小，然后再进一步解答．
【解答】解：，，；
因为，所以，；
因为，所以，；
由此可得：．
【点评】本题关键是根据分子相同，分母大的反而小，进行化简的结果，然后再比较解答．
21．比较、、、的大小，你能发现什么？根据你发现的规律猜一下与哪个更大．
【分析】观察这几个分数的分子和分母，都相差1，且分数值与1接近，所以都与1作差，比较得数，找出规律即可．
【解答】解：、、、
因为，所以；
规律：分子分母相差1的真分数，分母越大，分数值越大；
由规律可得：因为，所以；即更大．
【点评】归一法比较数的大小：如果相比较的两个分数结构复杂，但是分子分母相差很小，即分数值与1很接近，则将问题转化为比较两个分数与1的差的大小．
22．分数的分子、分母同时加上什么数，所得的新分数等于？
【分析】根据题意可知：分数的分母比分子大2，分数的分母比分子大1，根据分数的基本性质，把分数分子和分母同时乘2就得到分母比分子大2的分数，然后再用得到的分数的分子、分母减去原来分数的分子、分母即可，据此解答．
【解答】解：因为：，
又因为：，，
所以：，
答：分数分子和分母同时加上1997等于．
【点评】此题考查的目的是理解掌握分数的基本性质及应用，以及分数大小比较的方法及应用．
23．不计算出结果，比较下面两个积的大小．请简要写一写你的计算或推理过程．〇
．
【分析】对于，两个积，它们都是5位数乘以5位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同．直接计算出这两个8位数的乘积是很麻烦的，仔细观察两组对应因数的大小发现，因为54322比54321多1，12344比12345少1，所以它们的两因数之和相等，即．
因为的两个因数之差小于的两个因数之差，根据结论1可得．
【解答】解：因为54322比54321多1，12344比12345少1，所以它们的两因数之和相等，
即．
因为的两个因数之差小于的两个因数之差，
根据和相等，两个数越接近，这两个数的积越大；
可得．
故答案为：．
【点评】此题应明确：两因数之和相等，两个数越接近，这两个数的积越大．
24．有甲、乙、丙3个数．甲数比乙数的5倍少10，甲数比丙数的5倍多10，乙数和丙数相比，是乙数大还是丙数大？为什么？
【分析】首先根据题意，可得甲数乙数，甲数丙数，据此求出乙数丙数，所以乙数丙数，据此判断出乙数大即可．
【解答】解：因为甲数比乙数的5倍少10，甲数比丙数的5倍多10，
所以甲数乙数，甲数丙数，
所以乙数丙数，
所以乙数丙数，
所以乙数丙数，
即乙数和丙数相比，乙数大．
答：乙数和丙数相比，乙数大．
【点评】此题主要考查了比较大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：乙数丙数．