（数论问题专项讲义）专题10++同余定理-小升初数学模块化思维提升（通用版）

这是一份（数论问题专项讲义）专题10++同余定理-小升初数学模块化思维提升（通用版），文件包含数论问题专项讲义专题10-同余定理-小升初数学模块化思维提升教师版通用版1docx、数论问题专项讲义专题10-同余定理-小升初数学模块化思维提升教师版通用版docx、数论问题专项讲义专题10-同余定理-小升初数学模块化思维提升学生版通用版1docx、数论问题专项讲义专题10-同余定理-小升初数学模块化思维提升学生版通用版docx等4份学案配套教学资源，其中学案共32页， 欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数．d数学上的称谓为模．如a=6，b=1，d=5，则我们说a和b是模d同余的．因为他们都有相同的余数1。
2、同余式定律6的应用，我们知道一个数的各个位数之和如果能被3整除那么这个数也能被3整除，如12，因为1+2=3能被3整除，所以12也能被3整除．如果我们利用定律6，就可以找出任何一个数能被另一个数整除的表达式来．
如我们用11来试试，11可以表示为10+1，所以有同余式：
10≡-1 （md 11）
把上式两边都乘以各自，即：
10×10≡（-1）（-1）=1 （md 11）
10×10×10≡（-1）（-1）（-1）=-1 （md 11）
10×10×10×10≡1 （md 11）
我们可以发现，任何一个（在十进制系统中表示的）整数
如果它的数码交替到变号之和能被11整除，这个数就能被11整除，如1353这个数它的数码交替变号之和为：1+（-3）+5+（-3）=0，因为0能被11整除，所以1353也能被11整除．其他的数的找法也一样，都是两边都乘以各自的数，然后找出右边的数的循环数列即可．
【典例一】一箱桃子有40多个，如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个装一盒，也剩余5个，这箱桃子有 个。
A．40B．45C．48
【分析】如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个装一盒，也剩余5个，说明这个数减去5后，能被8和10整除，这个数就是8和10的公倍数再加上5，据此解答。
【解答】解：8和10的最小公倍数为40，
（个
符合题意。
答：这箱桃子有45个。
故选：。
【点评】本题主要考查了同余定理，题目较为简单，找到8和10的公倍数是本题解题的关键。
【典例二】一排士兵（不超过12人）报数，1、2、1、地报数，排尾的人报1；1、2、3、1、2、地报数，排尾的人报2；1、2、3、4、1、2、3、地报数，排尾的人报3。有 名士兵。
【分析】根据题意可知，士兵的人数要同时符合下列条件：①士兵人数不超过12；②2个2个地数，余1；③3个3个地数，余2；④4个4个地数，余3。可以从7名士兵开始尝试计算，找出正确答案。
【解答】解：根据题意可知，士兵的人数要同时符合下列条件：①士兵人数不超过12；②2个2个地数，余1；③3个3个地数，余2；④4个4个地数，余3。
（1）假设有7名士兵，，，的余数不是2，不符合题意。
（2）假设有8名士兵，，无余数，不符合题意。
以此类推，假设有11名士兵，，，，符合题意。
答：有11名士兵。
故答案为：11。
【点评】解决本题也可以这样想：若增加1人，则总人数是2、3、4的公倍数，所以总人数是2、3、4的公倍数少1，即11。
【典例三】一堆糖，第一次把它五等份后剩1块，第二次把其中的四份再五等份后还剩1块，第三次把第二次中的三份再五等份后还剩1块，第四次把第三次中的二份再五等份后还剩1块，这堆糖至少有多少块？
【分析】采用逆推法，设最后一次5份，每份块，那分前为块，那第三次每份为块，分前为块，第二次每份为块，分前为块，第一次每份为块，分前为块，求最小值，就是能被24整除的最小值，必须奇数，且不能被3整除不能被3整除），，5，7，．代入后11合适．所以有糖296块；因此得解．
【解答】解：假设第四次五等份的一份是块，则由以上分析，则这一堆糖共有：
块，
要求它的值最小，且是整数，就是能被24整除的最小值，必须奇数，且不能被3整除不能被3整除），，5，7，．代入后11合适．所以有糖296块；
答：这堆糖至少296块．
【点评】此题采用逆推法，列出代数式，凑数得解．
一．填空题（共12小题）
1．把一篮鸭梨分给一些同学，每人3个多2个，每人4个少2个，鸭梨至少有 14 个．
【分析】每人3个多2个，每人4个少2个，即这些鸭梨减去两个就是3的倍数，加上两个就是4的倍数，由于求鸭梨至少有多少个，因此根据3、4的最小公倍数即求出至少有多少个鸭梨．
【解答】解：
，
（个．
故答案为：14．
【点评】由它们的余数得出鸭梨个数与所分个数最小公倍数的关系是完成本题的关键．
2．有一个数除以3余2，除以4余3，这个数除以12余 11 ．
【分析】一个数除以3余2，除以4余3，，，所以假设这个数再加上1就能被3和4整除；即这个自然数就是比3、4的公倍数少1的数；根据同余定理可知，这个数除以12的余数，就是比3、4的最小公倍数少1的数除以12的余数．据此解答即可．
【解答】解：假设这个数再加上1就能被3和4整除，
比3、4的最小公倍数少1的数是：
因为11小于12，所以11除以12的余数可以看作是11，
根据同余定理可知，这个数除以12余11．
答：这个数除以12余11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了公倍数问题与同余定理的综合应用，关键是理解这个数是比3、4的公倍数少1的数；难点是明确这个数除以12与谁同余．
3．有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1．这个自然数最小是 137 ．
【分析】被10除余7，被7除余4，被4除余1，如果加上3，就都正好整除，所以只要求出10，7，4的最小公倍数再减去3就可以了．
【解答】解：10、7、4的最小公倍数是140，
，
故答案为：137．
【点评】本题主要考查同余定理，将此问题转化为求3个数的最小公倍数问题是解答本题的关键．
4．用某数分别去除数560、906和1252，所得余数都相同，则这个数是 346或173 ．
【分析】因为560、906和1252被同一个数去除，所得的余数相同，根据同余定理可知，则其中任意两个数的差应是这个除数的整数倍，，，，，，所以这个数是346或173．
【解答】解：因为，，；
，，
所以这个数是346或173．
故答案为：346或173．
【点评】如果几个数被同一个数除余数相同，则这几个数两两相减的差是这个除数的整数倍．
5．一个数去除68、131、250所得的余数相同，这个数应是 7 ．
【分析】根据同余定理，68，131，250这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数．
【解答】解：，
，
；
所以这个整数为三个差的公有因数：7；
答：这个整数为7．
故答案为：7．
【点评】本题解答的依据是同余定理之一：、对于模同余的充要条件是：与的差能被整除．
6．一个自然数被4除余1，被5除余1，被6除余1，这个自然数至少是 61 ．
【分析】一个自然数被4除余1，被5除余1，被6除余1，如果这个自然数减去1就是4、5、6的公倍数，要求最小的，就是求4、5、6的最小公倍数，然后分解质因数解答即可．
【解答】解：
所以，4、5、6的最小公倍数是：
这个自然数至少是：
答：这个自然数至少是61．
故答案为：61．
【点评】本题考查了同余定理的灵活应用，关键是明确这个自然数减去1就是4、5、6的公倍数．
7．与的和除以7的余数是 5 ．
【分析】2的次方其实是有规律可循的，余2，余4，余1，余2，32除以7余4，余1，2的次方的余数是2，4，1循环的．余2，那么就是循环中第2个数，也就是4，余1，两个余数相加就是；由此得出2的2003次方与2003的2次方的和除以7的余数是5．
【解答】解：由2的次方的余数是2，4，1循环的可得：
，所以的余数是4；
因为，
余1，即余1，
所以与的和除以7的余数是，
故答案为：5．
【点评】解答此题的关键是根据2的次方余数发现规律，求出的余数是4．
8．一个自然数，被3除余2，被4除余2，被5除余2，那这个自然数最少是 62 ．
【分析】被3除余2，被4除余2，被5除余2，这个自然数减去2，就正好能被3、4、5整除，求出3、4、5的最小公倍数再加上2即可解答．
【解答】解：3、4、5的最小公倍数为：，
．
故答案为：62．
【点评】本题主要考查同余定理，去掉余数，转化为求最小公倍数问题是解答本题的关键．
9．用一个数分别去除151、109和172，余数都是4．这个数最大是 21 ．
【分析】151、109、172都减去余数4后得到的三个差能被这个数整除，所以先求出三个差：，，，这个数最大是147、105、168的最大公因数，然后把147、105、168分解质因数，求出147、105、168的最大公因数即为所求．
【解答】解：，
，
，
；
；
；
所以147、105、168的最大公因数是：．
答：这个数最大是21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了同余定理之一：同余的几个数减去余数后都能被除数整除．知识拓展：本题实际是“孙子定理”中余数相同情况的一种特殊应用．
10．442，297，210分别除以某个大于1的自然数，能得到相同的余数，则该自然数是 29 。
【分析】结合同余定理分析可知，因为442，297，210分别除以某个大于1的自然数，能得到相同的余数，则，，都能被该自然数整除，而，，，则这个除数为29。
【解答】解：
则这个除数为29。
故答案为：29。
【点评】本题考查同余定理。将有余数的问题转化为最大公约数问题解决即可。
11．小丽有一些画片，比20张多，比40张少，如果按5张一组来数，剩4张；如果按3张一组来数，剩1张．小丽有画片 34 张．
【分析】如果按5张一组来数，剩4张，符合条件的数有24，29，34，39四个，再找出符合按3张一组来数，剩1张的数即可解答．
【解答】解：因为如果按5张一组来数，剩4张，且图片张数比20张多，比40张少，
所以这些图片可能有24，29，34，39张；
24，39是3的倍数，不符合题意，
，不符合题意；
，符合题意；
故答案为：34．
【点评】本题主要考查同余定理，熟练掌握3和5的倍数特征是解答本题的关键．
12．小明的妈妈去市场买了葡萄、雪梨、苹果和芒果4种水果，每种都买了不止1斤，共花了34元．葡萄、雪梨、苹果和芒果每斤的单价分别是1.4元、2.2元、2.8元和4.2元，则小明的妈妈买了 4 斤雪梨．
【分析】通过观察，如果将葡萄、苹果和芒果每斤的单价扩大10倍，他们都是7的倍数，雪梨每斤的单价被7除余1，小明的妈妈花的钱也扩大10倍，则有等式，将上式两边同除以7，所以，所以，小明的妈妈买了4斤雪梨．
【解答】解：设葡萄、雪梨、苹果和芒果各买了、、、斤，
则有等式，将上式两边同除以7，
所以，
因为，每种水果都不止1斤，
所以，小明的妈妈买了4斤雪梨．
答：小明的妈妈买了4斤雪梨．
故答案为：4．
【点评】此题解答起来有一定的难度，须认真思考，灵活解答．
二．解答题（共8小题）
13．有一个数，它比30小，比20大，如果平均分成4份还余2，如果平均分成6份就余4，这个数是多少？
【分析】如果平均分成4份还余2，如果平均分成6份就余4，如果这个数加上2之后就能被4和6整除，即是4和6的公倍数，然后分解质因数求出比30小，比20大的公倍数即可．
【解答】解：根据分析可得，
4和6的最小公倍数：
答：这个数是30．
【点评】本题考查了余数问题，关键是明确这个数加上2之后是4和6的公倍数．
14．一堆糖，第一次把它五等份后剩1块，第二次把其中的四份再五等份后还剩1块，第三次把第二次中的三份再五等份后还剩1块，第四次把第三次中的二份再五等份后还剩1块，这堆糖至少有多少块？
【分析】采用逆推法，设最后一次5份，每份块，那分前为块，那第三次每份为块，分前为块，第二次每份为块，分前为块，第一次每份为块，分前为块，求最小值，就是能被24整除的最小值，必须奇数，且不能被3整除不能被3整除），，5，7，．代入后11合适．所以有糖296块；因此得解．
【解答】解：假设第四次五等份的一份是块，则由以上分析，则这一堆糖共有：
块，
要求它的值最小，且是整数，就是能被24整除的最小值，必须奇数，且不能被3整除不能被3整除），，5，7，．代入后11合适．所以有糖296块；
答：这堆糖至少296块．
【点评】此题采用逆推法，列出代数式，凑数得解．
15．有一袋苹果，数量在之间，每2个一盘余1个，每3个一盘余1个，每5个一盘也余1个，这袋苹果至少多少个？
【分析】每2个一盘余1个，每3个一盘余1个，每5个一盘也余1个，就是求出2、3、5三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、5的公倍数，然后加上1，再找到满足数量在之间的最小的数即可求解．
【解答】解：2、3、5三个数的最小公倍数是，
（个
（个
（个
答：这堆苹果最少有121个．
【点评】此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
16．求被5除余2，被6除余5，在100至200之间所有这样的数．
【分析】被6除余5，余数是5，如果减去5，这个数就是6的倍数，且被5除还余2，这样从最小的6的倍数开始寻找，；那么，符合被5除余2，所以这个数最小是，然后根据以后每30个和6的最小公倍数）有这样一个数，找出在100至200之间所有这样的数即可．
【解答】解：被6除余5，余数是5，如果减去5，这个数就是6的倍数，且被5除还余2，
这样从最小的6的倍数开始寻找，，不符合要求；
那么，，符合被5除余2，
所以这个数最小是：，
起始的一个是17，自此以后每30个和6的最小公倍数）有这样一个数，
所以是：17，47，77，107，137，167，197，
所以，在100至200之间这样的数有：107，137，167，197．
答：在100至200之间所有这样的数是107，137，167，197．
【点评】本题先根据余数的特点，找出符合要求的最小的这个数，再利用5和6的最小公倍数30按规律进行求解．
17．一堆桃子，2个一堆剩1个，3个一堆剩1个，4个一堆剩1个，这堆桃子至少有多少个？
【分析】一堆桃子，2个一堆剩1个，3个一堆剩1个，4个一堆剩1个，这堆桃子至少有多少个？余数相同，找到2、3、4的最小公倍数，再加上余数1，得解．
【解答】解：2、3、4的最小公倍数是（个，
（个．
答：这堆桃子至少有13个．
【点评】此题考查了孙子定理，即同余定理．
18．聪聪要把一堆小皮球分装成若干小袋，每6粒装一袋余5粒，每7粒装一袋也余5粒，每8粒装一袋还余5粒．这堆小皮球至少有多少粒？
【分析】余数都是5，此题是同余问题，只要求出6、7、8的最小公倍数，然后加上5，即可得解．
【解答】解：，
，
6、7、8的最小公倍数是：
，
（粒；
答：这堆小皮球至少有173粒．
【点评】此题考查了同余定理，解决此题的方法是先求出除数的最小公倍数，再加上余数，即是要求的解．
19．（1）163除以一个两位数，余数为13，那么这个两位数可能是多少？
（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0。这个除数可能是多少？
【分析】（1）先用163减去13，求出除以这个两位数，如果没有余数被除数是多少，也就是被除数是这个两位数的倍数，所以找出这个被除数的两位数的因数，且这个因数要大于13，由此求解即可；
（2）要求这个除数可能是多少，根据同余定理，先求出100和84这两个数的差，再求出这三差的公约数，然后找出不能整除100和84的数，即为这个除数。
【解答】解：（1）
150的两位数的因数有75，50，30，25，15，10，其中，除数不能是10。
答：这个两位数可能是75，50，30，25，15。
（2）余数相同，那么除数是的约数，
除数可能是1，2，4，8，16
其中不能整除100和84的有8和16
所以除数是8或者16。
答：这个除数可能是8或16。
【点评】解答此题的关键是明确有余数除法算式中各部分的关系，以及理解同余定理，求出两个数之差的公因数，进而解决问题。
20．动物宾馆来了不足30只小动物，每4只住一间或6只住一间最后都会余3只住一间，想一想，动物宾馆来了几只小动物？
【分析】先求出4和6的公倍数，然后加上3即可．
【解答】解：30以内，4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28；
6的倍数有：6、12、18、24、
4和6的公倍数是：12、24
（只，（只．
答：动物宾馆来了15或27只小动物．
【点评】解答此题的关键是先求出6和4的公倍数，然后加上3进行解答即可．