（计算问题专项讲义）专题3 小数的巧算-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、知识点。
（1）灵活运用小数点的移位：两数相乘，两数中的小数点反向移动相同的位数，其积不变；两数相除，两数中的小数点同向移动相同的位数，其商不变．
（2）补数：如果两数的和恰好能凑成10，100，1000，…，那么，就把其中一个数叫做另一个数的补数，且这两个数互为补数．例如：8和2互为补数，27.3和72.7互为补数．
（3）某些特殊小数相乘化整，8×0.125=1；4×0.25=1；
2、解题技巧。
小数“巧”算的基本途径还是灵活应用小数四则运算的法则、运算定律，使题目中的数尽可能转化为整数．在某种意义上讲，“化整”是小数运算技巧的灵魂．
常见方法（技巧）：
（1）交换、结合、分配等运算律；
（2）加括号或去括号；
（3）凑整；
（4）找基准数；
（5）拆数、
（6）分组、
（7）等差数列公式，平方差公式等方法．
【典例一】
．
【分析】通过观察，此题括号内的数字有相同的部分，因此可设，，然后代入计算．
【解答】解：设，，则
故答案为：14.64．
【点评】仔细观察数据，根据数字特点，通过设数的方法，使复杂的问题变得简单化．
【典例二】计算下面各题，怎样简便就怎样算．
【分析】（1）根据乘法分配律简便计算；
（2）根据连除的性质即可求解；
（3）变形为简便计算．
【解答】解：（1）
（2）
（3）
【点评】关于巧算的题目，数字都有一定的特点，所以要注意审题，从数字特点出发，巧妙灵活地应用运算性质、定律得以简算．
一．选择题（共5小题）
1．如果甲乙（甲、乙都不为，那么甲 乙。
A．B．C．D．无法确定
【分析】假设甲乙（甲数、乙数都不为，则甲数、乙数，由此即可得出甲数、乙数的大小。
【解答】解：假设甲乙（甲数、乙数都不为
则甲数、乙数
因为
则甲数乙数
故选：。
【点评】本题运用假设法，分别求出甲数、乙数的值，再比较大小，做出选择。
2．计算：
A．47.5B．48.5C．49.5
【分析】因为每一项都含有1.1，因此原式变为，括号内运用分组的方法，或用高斯求和公式求出结果，原式变为，进一步计算即可．
【解答】解：
故选：．
【点评】仔细观察题目中数字构成的特点和规律，运用运算定律或运算技巧，进行简便计算．
3．（浙江宁波鄞州区期末真题）已知；；；；则 ．
A．5B．6C．7
【分析】算式的规律是：都和第一个算式比较，除数不变，被除数分别扩大2、3、4、5倍，那么循环节09也分别扩大2、3、4、5倍；那么循环节，所以，可得被除数是第一个算式被除数的6倍，即是6．
【解答】解：；
；
；
；
那么：．
故选：．
【点评】“式”的规律：关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题．
4．已知，，则
A．1.25B．12.5C．125D．1250
【分析】小数除法计算方法：在计算除数是小数的除法时根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，转化成除数是整数的除法进行计算。
【解答】解：把的小数点向右平移2024位变为4，的小数点也向右移动2024位变为50；
故选：。
【点评】本题考查的主要内容是小数除法，商不变的性质的应用问题。
5．已知，，若，则
A．2021B．2022C．4041D．4042
【分析】根据题意，可知是小数点后有位的小数，是小数点后有位的小数，求和的积，把12和3相乘，是2022位小数，是2022位小数，再在12和3相乘的积36，往前数个0，即。
【解答】解：由分析可知：和的积是4044位小数，应是；
故选：。
【点评】小数乘法先按照整数乘法的计算，再数出两个小数中一共有几位小数，再在积里数出几位小数，点上小数点。
二．填空题（共9小题）
6． 170 ．
【分析】先运用乘法分配律变为原式，把37.5拆成，变为，再次运用乘法分配律，计算即可．
【解答】解：
故答案为：170．
【点评】完成此题，应仔细分析数据，多次运用运算定律进行简算．
7． 8200 ．
【分析】通过观察，如果直接计算，计算量较大，因此可通过数字拆分，运用运算定律简算．
【解答】解：

故答案为：8200．
【点评】要想算得快、算得巧，就要仔细观察题目中数字构成的特点和规律，运用运算定律或运算技巧，进行简便计算．
8．计算： 2007 ．
【分析】根据乘法分配律，可简便运算，再根据乘法交换律，可得答案．
【解答】解：原式
，
故答案为：2007．
【点评】本题考查了有理数的乘法，利用乘法分配律是解题关键．
9．计算： 4.8 ．
【分析】由于本题中0.048、0.024、0.096具有倍数关系，所以根据将乘法算式中的一个因数扩大（或缩小）多少倍，另一个因数相应的缩小（或扩大）相同的倍数这一性质，将三个乘法算式其中的一个因数化为相同的数值，然后再据分配律进行巧算．
【解答】解：
，
，
，
．
故答案为：4.8．
【点评】认真分析式中数据，发现式中数据的特点及内在联系是完成此类题目的关键．
10．计算： 49.5 ．
【分析】通过观察，把这些加数同时扩大100倍，则它们的和也扩大了100倍，则这组加数就变成了，这是一个等差数列，数列的首项是1，末项是99，公差是1，根据高斯求和公式就可以直接求出等差数列的和．
【解答】解：
．
故答案为：49.5．
【点评】本题的知识点为：高斯求和的项数公式：公差；求和的公式为：项数．
11．若，，则 0.625 ，若，，则 ．
【分析】根据小数除法的计算法则：； 若，扩大10000000000倍为0.25，扩大10000000000倍为0.04，根据商不变的性质进行计算．
【解答】解：；
根据商不变的性质：，
故答案为：0.625，6.25．
【点评】重点考查商不变的性质在小数除法计算中的应用．
12． 2.77 ．
【分析】相邻的两个加数之间都相差0.01，可以根据奇数项等差数列求和公式来求解。
【解答】解：
故答案为：2.77，5，13.85。
【点评】本题主要考查了小数的巧算，需要学生熟记奇数项等差数列的求和公式。
13．问的千分位上的数字是什么？ 2、3、6、9 ．
【分析】由题意知：只要分析千分位上的数字和万分位上的数字变化规律即可．根据题中数字特点发现，万分位上的3比千分位上的3少1个，如果有个加数相加，则千分位上有个3，万分位上有个3；如果具体知道有几个3，分别算出万分位和千分位上所有3的和，再看万分位上进几，加在千分位上，看千分位个位上的数是几就行．比如：若有8个加数，则，万分位上所有3的和是：，应向千分位进1，千分位上所有3的和是：，，19的个位上数字是9，则的千分位上的数字是
【解答】解：因为根据发现的方法知：
千分位上所有3的和是：，
万分位所有3的和是：，
若有：①是3个加数相加：，
千分位上所有3的和是，万分位所有3的和是，则的千分位上的数字是3；
②是4个加数相加：，
千分位上所有3的和是，万分位所有3的和是，则的千分位上的数字是6；
③是5个加数相加：，
千分位上所有3的和是，万分位所有3的和是，则的千分位上的数字是9；
④是6个加数相加：，
千分位上所有3的和是，万分位所有3的和是，则的千分位上的数字是2；
⑤是7个加数相加：，
千分位上所有3的和是，万分位所有3的和是，，则的千分位上的数字是6；
⑥是8个加数相加：，
千分位上所有3的和是，万分位所有3的和是，，则的千分位上的数字是9；
⑦是9个加数相加：，
千分位上所有3的和是，万分位所有3的和是，，则的千分位上的数字是2；
⑧是10个加数相加：，
千分位上所有3的和是，万分位所有3的和是，，则的千分位上的数字是6；
⑨是11个加数相加：，
千分位上所有3的和是，万分位所有3的和是，，则的千分位上的数字是9；
⑩是12个加数相加：，
千分位上所有3的和是，万分位所有3的和是，，则的千分位上的数字是2；
所以的千分位上的数字先是3、6、9后按2、6、9、2、6、9、2、6、循环出现．
所以的千分位上的数字是2、3、6、9．
答：的千分位上的数字可能是2、3、6、9．
故答案为：2、3、6、9．
【点评】此题解决的关键所在是能理清千分位和万分位3的个数之间的关系，注意万分位向千分位进几．
14．与的计算结果最接近的整数是 3 ．
【分析】，
，
，
差的小数的位数和最后一个减数相同，而且差的整数部分是0，小数部分最后一位是9，其它位上的数都是8；由此求解．
【解答】解：
故答案为：3．
【点评】本题先观察算式，找出差是怎样变化的，再由变化的规律求解．
三．计算题（共8小题）
15．脱式计算，能简算的要简算。
【分析】（1）根据除法的性质进行计算；
（2）根据加法交换律和结合律进行计算；
（3）先算小括号里面的加法，再算括号外面的除法；
（4）根据乘法分配律进行计算。
【解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。
16．已知，，试求：，，，．
【分析】，前面的2是小数点后面第2007位上的数，后面的2是小数点后面第2008位上的数；，5是小数点后面第2009位上的数，由此即可求出，，，的值．
【解答】解：，，
则；
；
；
．
【点评】此题属于小数的巧算，明确小数加、减、乘、除法的计算方法，是解答此题的关键．
17．计算：．
【分析】观察得知：相邻两个数字之间相差0.2，那么从2.1到5.9是个数，利用高斯求和公式即可．
【解答】解：从2.1到5.9是个数
．
【点评】本题相邻两个数字之间相差0.2，也可以利用等差数列公式求和．
18．
【分析】，首先根据加法交换律调整运算顺序，，由此发现第二个加数是第一个加数的2倍，第三个加数是第一加数的3倍，第四个加数是第一个加数的4倍，第五个加数是第一个加数的6倍，然后运用乘法分配律简算．
【解答】解：
．
【点评】此题解答关键是找出规律，也就是把后面的每个加数拆分为第一个加数的几倍，再运用乘法分配律进行简算．
19．
【分析】，，，然后根据减法结合律和乘法分配律进行简算．
【解答】解：
【点评】考查了运算定律与简便运算，注意灵活运用所学的运算定律进行简便计算．
20．计算下面各题。
【分析】把看作，看作，然后得和，利用乘法分配律展开，然后再进一步解答即可。
【解答】解：设，。
原式
【点评】本题是一道有关小数的简便运算、乘法的分配律的题目。
21．猜一猜：的和是 3 位小数．请你用学过的方法来验证你猜的结果是否正确．
【分析】根据题意，是321个0.123相加，写成乘法算式就是，计算即可．
【解答】解：因为的和等于，因此和是3位小数．
．
故答案为：3．
【点评】把加法算式写成乘法算式进行验算即可．
22．简便计算：
．
【分析】①可将算式中的转化为，把转化为，然后再据分配律进行巧算；
②可将算式中的分解为，进而转化为，然后再据分配律进行巧算．
【解答】解：①，
，
，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
，
．
【点评】完成本题要认真分析式中数据，然后找出合适的巧算方法．