（几何图形专项讲义）专题8+最短线路问题-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的，人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．
如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究面仅限于可展开为平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段.
2、当我们遇到的球面是不能展成一个平面的．我们用过A、B两点及地球球心O的平面及截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短路程线。
【典例一】沿着格子线（如图），从点经过点到达点，沿最短路线走，有 种不同的走法．
【分析】要使行走的路线最短，只能横向向右行走或纵向向上行走，以此为依据，从到只有2种走法；然后利用求最短路线的方法，列举出即可．
【解答】解：由图可知：最短路线是7个格子，
路线为：①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
从点经过点到达点，沿最短路线走，有8种不同的走法；
故答案为：8．
【点评】此题考查了排列与组合问题，解题的关键是得到从经点到只能向右或向上，注意按顺序依次数出，做到不重复不遗漏．
【典例二】下图是一张道路图，每段路旁标注的数字表示小山羊走完这段路所需的分钟数。问：小山羊从出发走到最快需要多少分钟？
【分析】分经过左上角的点到，从经过中间的交叉点到，或从经过右下角的点到，三种情况求解。
【解答】解：从经过左上角的点到至少要：（分钟）
从经过中间的交叉点到至少要：（分钟）
从经过右下角的点到至少要：（分钟）
答：小山羊从出发走到最快需要18分钟。
【点评】本题是一道有关最短路线问题的题目，要注意分三种情况求解。
一、填空题
1．下图是聪聪家到学校的街道示意图，其中A处道路在维修无法通行，聪聪从家到学校的最短路线有 条。
【答案】36
【分析】
路线结点法，如上图所示，从A点到C点是1种，从A点到D点是1种，则A到F的路线有2种（1＋1，对角相加为A到F点的路线方式为2种）；A到C到E有1种路线，E、F是对角，则相加后另外一个对角路线为3种（1＋2）；A到D到H的路线有一种，则F和H对角相加就是A到G的路线为3种。照此类推。
用路线结点法解决本题时，如下图所示：
【解答】由分析得：
按照路线结点法可知，聪聪从家到学校的最短路线有36种。
2．强强和旺旺在长江上举行遥控船模竞赛。他们俩都开足马力，从A点对准B点驶去。但由于水流的冲击，强强船在C点靠岸，旺旺船在D点靠岸，用时最少的是 船模。
【答案】强强
【分析】路程越短，用时最少。两个人的两条船在到达B的过程中，强强的船下滑距离比旺旺船的下滑距离短。则甲船的用时少。
【解答】因为AC＜AD
则用时最少的是强强船模。
3．汤姆进入一座有20个房间的数字迷宫，每个房间中各有一张卡片，卡片上标的数如图所示，汤姆进入第一个房间收集卡片1，之后汤姆可以进入相邻房间，每个房间汤姆最多进入一次，只要房间里的卡片上标的数大于他手中任意一张卡片上标的数，就收集这张卡片，汤姆通过迷宫最多能收集到( )张卡片。
【答案】8
【分析】从1开始，可以进入相邻的4、9、17这三个房间，进入到17的话，最多还能收集到18、19、20三张，是比较少的，排除；然后考虑进入到4、9这两个房间的情况，找出最多能收集到几张卡片。
【解答】按照1，4，3，7，12，14，16，8，13，18，5，10，20的路线前进；
收集到1，4，7，12，14，16，18，20这8张卡片，这是最多的情况；
所以最多收集到8张卡片。
【点评】本题考查的是路线优化的问题，可以综合考虑每种情况，找出最优解。
4．小君家到学校的道路如图所示。从小君家到学校有( )种不同的走法。（只能沿图中向右向下的方向走）
【答案】10
【分析】只能沿图中向右、向下的方向走，也就是找出从小君家到学校的最短路线的条数，从小君家开始标数。
【解答】如图所示：
所以从小君家到学校有10种不同的走法。
【点评】本题考查的是不规则图形的标数法，第一步也是先确定标数的方向，然后注意这个点都可以从哪些点过来。
5．如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的处沿最短的路线走到东北角出，由于修路，十字路口不能通过，那么共有( )种不同走法。
【答案】120
【分析】求从A到B的最短路线的数量，顺序判断方向，向上、向右是允许的，另外两个方向是不允许的，从A开始依次标数，C处标0。
【解答】如图所示：
所以共有120种不同走法。
【点评】本题也可采用排除法，由于不能经过C，可以先计算出从A到C的最短路线有多少条，再去掉其中那些经过C的路线数，即得到所求的结果。
6．下图中的“我爱希望杯”有 种不同的读法。
【答案】16
【分析】“我爱希望杯”的读法也就是从“我”走到“杯”的方法，从“我”开始，向右下方进行标数，最后把到达每个“杯”的路线条数相加即可。
【解答】如图所示：
所以共16种方法。
【点评】对于这种标数法求最短路径的问题，最关键的是确定标数的方向。
二、解答题
7．如图所示，A、B两个村子之间隔了两条河，两条河的宽度相同，为了命名两个村子之间的行程最短，在这两条河上架桥的时候，应该把桥架在哪里？（两座桥分别垂直于两条河的对岸）．
【答案】见详解．
【解答】如图：
过A、B分别向两条河的河岸作垂线，并在垂线上截取，连接分别交两相邻河岸于C、D两点，分别过C、D两点间向两条河的另一岸作垂线，分别交另一岸于E、F两点．
连接AE、BF，则AE+EC+CD+DF+FB是两村庄交通的最短路程，从而架桥位置应该在CE和DF上．
8．少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发，跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B点．接着从B点再次跑到墙边用手触摸墙壁后，跑回C点，问如何选择最短路线以节省时间，请在图中标出来．
【答案】见详解．
【解答】解法一：如图所示：
作点B关于墙线的对称点，连接交墙线于点D，连接交墙线于点E，连接DB，BE，则最短路线即为AD+DB+BE+EC．
解法二：分别作点A、C关于墙线的对称点，连接，分别交墙于点D、E连接，AD、EC．则最短路线即为AD+DB+BE+EC．
9．如图，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？
【答案】侧面展开图中长方形的一条对角线
【解答】沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，从M点绕圆柱体的侧面到达N点．实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N．而两点间以线段的长度最短．所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见下图．
10．邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？
【答案】26千米．
【分析】本题考查了最短路线问题；画出相应图形，得到最短路线是解决本题的关键．
【解答】尽量少走重复的路线，找到走完全部路程的最短的路线：最少要重复一段路，一种走法是：→→→↑←↑→↑←↑←↓→↓←↑←↓→↓→↓←↑←↓．（注：用→表示走小段街道及方向）．
由图中可知，重复了一小段街道，所以最少要走26千米．
答：最少要走26千米．
11．如图所示，有一只圆柱形的无盖铁桶．有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短的路线，它应该怎样爬？最短的路程是多少厘米？
【答案】最短路程是25厘米．爬行过程见详解．
【分析】首先想到要将圆柱的侧面展开成为矩形平面图，如下图所示．由于B点在里面，不便于作图，可以设想将BD延长到，使，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点，用代替B，就可以找出最短路线了．
【解答】将圆柱面展开成为平面图形：
延长BD到，使，即作点B关于直线CD的对称点，连接，交直线CD于点O．连接OB，则折线AO+OB就是蚂蚁爬行的最短路线．这是因为桶口沿线CD是B、的对称轴，所以，而A、之间的最短路线是直线段，又，那么A、B之间的最短距离就是AO+OB，故蚂蚁应在桶外沿直线爬到O点后，转而沿直线向桶内B点爬去．
延长AC到E，使，易知直角三角形，是斜边，，根据勾股定理，
即，从而．
答：蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．
12．有A、B两个村庄，分别在一条河的两岸，如图所示，现在要在小河上架一座木桥，使它与河岸垂直．现在请你选择最合适的架桥地点，使A、B两上村庄之间的路最近．
【答案】见详解．
【分析】由于桥与河岸互相垂直，所以最短肯定是一和折线，要直接找出这条折线很困难，因此要想办法反折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽又是一个定值，所以桥长是一个定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取一段长度与河宽相等，就相当于把河宽预先扣除了，从而将折线问题转化为直线问题．
【解答】如下图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连接BC交右河岸于点D，作DE垂直于河岸，交左河岸于点E，连接AE．则D、E两点就是使两村庄行程最短的架桥地点，即两村庄的最短路程是AE+ED+DB．
【点评】巧妙地运用平移的思想，通过平移将桥的长度扣除了，从而化折线为直线．
13．图为某邮递员负责的邮区街道图，图中左下角处横线与竖线的交叉点为邮局，其余交叉点为邮户，每个小长方形的长为180米、宽为150米．如果邮递员每分钟行200米，在每个邮户停留半分钟，那么他从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少要用多少分钟?
【答案】31
【解答】此题关键是，求出最佳路径；显然不满足一笔画的条件，但是我们也只需将每个交点走过．
观察下列走法：
第1种方案，邮递员所需行走的路程为(180×5)×4+(150×3)×2＝4500米；
第2种方案，邮递员所需行走的路程为(180×5)×2+(3×150)×6＝4500米；
第3种方案，邮递员所需行走的路程为 (180×5)×2+(150×3)×2+(150×2)×4＝3900米；
第4种方案，邮递员所需行走的路程为(180×5)×2+(180×4)×2+(150×3)×2＝4140米；
所以，第3种方案所行路程最短，即至少需走3900米，有6×4－1＝23个邮户，所以所需时间为：
3900÷200＋(6×4－1)×0.5＝19.5＋11.5＝31分钟．
14．如图，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．
【答案】蚂蚁爬行路线的长度最短是5；一共有4条最短路线．如下图所示：
【解答】试题分析：蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．本题中蚂蚁要跑的路径有三种类型，求出每种类型的长度，比较大小即可求得最短的途径．
解：由分析可得：
类型一：（如前面与左面）根据勾股定理得：AB=5；
类型二：（如前面与上面）根据勾股定理得：AB=5；
类型三：（如下面与左面）根据勾股定理得：AB=；
5＜，即类型一，类型二最短，每种类型有两种路线，即一共有4条最短路线，如下图所示：
答：蚂蚁爬行路线的长度最短是5；一共有4条最短路线．
点评：解答本题的关键是知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．即蚂蚁爬的是展开图中一个长方形的对角线．
15．下图是某城市的道路图，每段路旁标注的数字表示走完这段路所需用的分钟数（单位：分钟）。邮递员从A点沿道路到达B点至少要经过多长时间？
【答案】18分钟
【分析】如图所示，从A到B的路线比较多，可以两两比较，舍弃时间较长的路线，留下时间较短的路线，直到最后，确定出最短路线。
【解答】简答：如图，逐步简化，去掉没有必要的路线。
答：至少需要18分钟
【点评】本题可以采取对比分析的方法，两两比较，留下较优解，知道最后寻找出最佳选择。
16．如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？
【答案】11种
【分析】沿着“北京欢迎你”的顺序沿水平或竖直方向走，北以后的每一个字都只能选择上面的或左右两边的字，从“北”开始标数。
【解答】如图所示：
答：一共有11种不同的走法。
【点评】本题考查的是最短路径的问题，标数法是求解此类问题常用的方法。
17．如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？
【答案】10条
【分析】图中B在A的右上方，因此从A出发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如果到达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这个点左边的点来的，要么是从这个点下边的点来的。从A开始，依次标数，然后确定从A到B的最短路径的条数。
【解答】如图所示：
答：沿线段从A到B有10条最短路线。
【点评】最短路线需要5步，所以最短路线的条数相当于是从5个元素中选出2个元素的方法数。
18．如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？
【答案】1155条
【分析】要求经过C点或D点的最近路线，那么可能是A→C→B，或者A→D→B，按照两种情况进行标数，两种的方法数相加得到总数。
【解答】如图所示：
735＋420＝1155（条）
答：要求经过C点或 D点的最近路线有1155条。
【点评】在用标数法求解最短路径的问题时，如果必须经过那个点，可以先标数到这个点，然后在此基础上再继续标数。