（几何图形专项讲义）专题1+组合图形的个数-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、组合图形的概念。
圆，三角形，正多边形，梯形，平行四边形为基本图形其余的为组合图形，可以用辅助线分解为基本图。
2、组合图形的计数实质上就是分类数图形，解决方法。
（1）合理进行分类．
（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算．
（3）将所有的类的数量进行相加．
（4）仔细检查，防止遗漏。
【典例一】下图是由若干个小正方体组成的，数一数，一共有 个这样的小正方体。
A．10B．9C．8D．7
【分析】如图所示，根据立体图形数出每个位置上小正方体的个数，最后相加求和，据此解答。
【解答】解：如图：
（个
所以，一共有10个这样的小正方体。
故选：。
【点评】准确数出每个位置上小正方体的数量是解答题目的关键。
【典例二】数一数、算一算下图中一共有多少个正方形？
（请写出思考过程。例如：如果把最大的正方形的边长看成4，那么边长是4的正方形有1个；边长是
【分析】分别数出由小正方形拼成的正方形和由大正方形拼成的正方形的个数：小正方形拼成的正方形有（个；大正方形拼成的正方形有：（个。求和即可。
【解答】解：小正方形有（个，4个小正方形拼成的正方形有3个；
大正方形有16个；4个大正方形拼成的正方形有9个；
9个大正方形拼成的正方形有4个；
16个大正方形拼成的正方形有1个。
（个
（个
（个
答：图中一共有45个正方形。
【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。
一．选择题（共6小题）
1．在等腰三角形中，，两顶点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形（如图），已知顶点也在图中的格点上，那么满足条件的点位置有 个。
A．9B．7C．6D．5
【分析】根据等腰三角形的定义，依次找出点可能的位置后即可判断。
【解答】解：如下图所示，以为底边，以、为两腰的顶点在方格图左上到右下对角线上和小方格的格点处，共计有5个；
以、为腰，以为底边的等腰三角形如下图所示的2个；
以、为腰，以为底边的等腰三角形如下图所示的2个；
（个
答：满足条件的点位置有9个。
故选：。
【点评】本题考查了平面图形计数的应用。
2．图中一共有几个三角形？
A．15B．14C．6D．8
【分析】以为一边的三角形有5个。
在右侧，以为一边的三角形有4个。依次数出三角形的个数。
【解答】解：（个
答：一共有15个三角形。
故选：。
【点评】本题是一道有关基本图形的计数（奥数）的题目。
3．如图中共有 个三角形。
A．4B．6C．8D．10
【分析】三角形的底上有几条线段，就有几个三角形，每两个点都可以组成一条线段，据此数出即可。
【解答】解：（个
答：图中共有6个三角形。
故选：。
【点评】此题主要考查通过数线段找规律。
4．如图中有大小两个正方形，图中共有 个梯形。
A．2B．3C．4
【分析】梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。根据梯形的特征，数出图中梯形的个数即可。据此解答。
【解答】解：
由上图可知，图中一共有3个梯形，选项符合题意。
故选：。
【点评】本题主要考查梯形的特征，属于基础知识，要熟练掌握。在数梯形时，要注意做到不重不漏。
5．图中有 个长方形。
A．12B．13C．15D．18
【分析】根据长边的线段上有4个点，得出线段的条数为条，短边的线段有3个点，得出线段的条数为3条，从而得出长方形的个数。
【解答】解：因为长边的线段上有4个点，得出线段的条数为6条，短边的线段有3个点，得出线段的条数为3条；
长方形的个数为：（个
故选：。
【点评】利用点分成线段条数得出长方形个数，从而求出长方形的个数，题目有一定抽象性，应认真分析，从而确定解题思路。
6．如图是由正方体搭成的，图中有正方体 个。
A．10B．8C．6
【分析】观察图形可知，第一层有8个，第二层有2个，图中有个小正方体。
【解答】解：（个
故选：。
【点评】此题考查了不规则图形计数的灵活应用。
二．填空题（共6小题）
7．如图，连接一个正六边形的各顶点，图中共有 38 个等腰三角形（包括等边三角形）。
【分析】如解答图，分类讨论等边三角形和等腰非等边三角形个数，然后类类相加即可求解等腰三角形的个数。
【解答】解：如下图所示：
（1）先考虑其中的等边三角形：
图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且每个小号等边三角形有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号等边三角形；
图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形；
图③中，大号等边三角形有2个。
（2）再考虑其中非等边的等腰三角形：
图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，图④中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有6个小号等腰三角形；
中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图⑤，这样的弦共有6条，所以有12个中号的等腰三角形；
大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对应有2个大号三角形，如图⑥共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形。
所以图中等腰三角形共有：（个
答：图中共有38个等腰三角形（包括等边三角形）。
故答案为：38。
【点评】本题考查了平面图形计数。
8．如图，一条直线最多可以把圆分成2块，2条直线最多可以把圆分成块，以此类推，条直线最多可以把圆分成 块。
【分析】依据题意结合图示可知，一条直线最多可以把圆分成块，2条直线最多可以把圆分成块，3条直线最多可以把圆分成块，4条直线最多可以把圆分成块，条直线最多可以把圆分成块，由此解答本题。
【解答】解：由分析可知：条直线最多可以把圆分成：
（块
答：条直线最多可以把圆分成块。
故答案为：。
【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
9．如图正方形的数量是 13 个。
【分析】根据正方形的特征可知，如图：先数出图中小正方形的个数，共有6个，再数出由4个小三角形组成的正方形，共有4个，接着数出由8个小三角形组成的正方形，共有2个，最后还有16个小三角形组成的正方形，只有1个。据此解答。
【解答】解：根据分析是，正方形的数量一共有（个
故答案为：13。
【点评】此题的解题关键是理解正方形的特征，数出正方形的个数，不要遗漏。
10．如图是由3个边长为1的小正方形组成的平面图形，，，，，，均为小正方形的顶点，任取其中三个点为顶点画三角形，所得的三角形中，面积为1的有 10 个。
【分析】根据三角形的面积可知：面积为1的三角形底和高分别是2和1，据此找出符合题意的三角形即可。
【解答】解：面积是1的三角形有：三角形、三角形、三角形、三角形、三角形、三角形、三角形、三角形、三角形、三角形，一共有10个。
故答案为：10。
【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。
11．下面四个物体中，体积相等的两个物体是 ①和③ 。
【分析】通过观察图形发现：每个图形都是用相等的小正方体搭成，数一数哪两个图形用的正方体的个数相等即可。
【解答】解：①用10个正方体搭成；
②用12个正方体搭成；
③用10个正方体搭成；
④用11个正方体搭成；
答：体积相等的是①和③。
故答案为：①和③。
【点评】此题考查组合图形的计数，以及立体图形拼组的应用。
12．如图是秒针在钟面上运动后留下来的几个影子，这个图一共有 6 个锐角。
【分析】两条射线组成一个角，相当于两两组合，根据握手问题的公式解答。
【解答】解：
（个
答：这个图一共有6个锐角。
故答案为：6。
【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式解答。
三．解答题（共10小题）
13．直线，上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？
【分析】
如图，连接直线，上各点，分别数出以各点为顶点的三角形个数，再算出三角形总个数即可。
【解答】解：如图，连接直线，上各点，分别数出以各点为顶点的三角形个数；
其中、、、为顶点的三角形都是1个，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形个数相同；
以为顶点的三角形有6个，分别是、、、、、；
再计算出以各点为顶点的三角形总个数即可。
（个
答：以这些点为顶点可以画出16个三角形。
【点评】在图形的计数时，应注重分类讨论的方法，做到不遗漏，不重复。
14．如图，将棱长为2分米的若干小正方体堆放在墙角。
（1）一共堆放了 14 个小正方体，体积一共是 立方分米。
（2）至少再添 个这样的小正方体才能堆成一个大正方体。
（3）这堆小正方体露在外面的总面积是多少平方分米？
【分析】（1）最底层有8个小正方体，中层有5个小正方体，最上层1个小正方体，相加即可求出总个数；再用一个小正方体的体积乘小正方体的个数即可求出总体积。
（2）要堆成一个的大正方体，长宽高各由3块小正方体组成，共需等于27块，还需要块。
（3）数出一共露出了21个面，用一个面的面积乘21即可
【解答】解：（1）最底层有8个小正方体，中层有5个小正方体，最上层1个小正方体，共14个。
（立方分米）
（2）
（个
（3）从上面数共露出8个面，从侧面数共露出13个面，合起来共21个面。
（平方分米）
答：这堆小正方体露在外面的总面积是84平方分米。
故答案为：14，112；13。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征以及简单的立体切拼方法。
15．用棱长1厘米的小正方体摆成如图．如果想摆成一个长4厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体，还需要添加多少个同样的小正方体？
【分析】根据题意，要摆成一个长4厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体，需要小正方体个数：（个，图中已有个数为11个，所以还需要个数：（个．
【解答】解：
（个
答：还需要添加13个同样的小正方体．
【点评】本题主要考查组合图形的计数，关键根据题意算出共需多少小正方体，根据已有个数，求出还需的个数．
16．两个点可连一条线段，三个点可连3条线段，那么12个点可连多少条线段？14个点呢？写出推理过程．
【分析】因为两个点即可连成一条线段，所以把点的个数看作，即个点，那么最多可连线段的总条数就等于从1开始前个连续自然数的和，代入数据进行计算即可．
【解答】解：
（条
（条
答：12个点可连66条线段，1，4个点可连91条线段．
【点评】本题是探索规律题，有个点，过其中每两个点连线段，可以连条线段．
17． 一个由64个小正立方体组成的大正立方体，最少要拿走多少个小正立方体才可构成如图？
【分析】先数出如图的立体图形的第三层拿走小正立方体的个数，再数出如图的立体图形的第四层拿走小正立方体的个数，再相加即为所求．
【解答】解：观察图形可知，
第三层拿走小正立方体的个数是3个，第四层拿走小正立方体的个数是4个，
（个．
答：最少要拿走7个小正立方体才可构成如图．
【点评】这是一个组合图形计数问题，解题关键是从图中看出小立方体的叠放规律．
18．如图是由一些小正方体堆成的立体图形。继续堆下去（原来的小正方体不动），要堆成一个大长方体，至少还需要多少个小正方体？要堆成一个大正方体呢？
【分析】观察图形可知：要堆成一个大长方体，至少是长3、宽2、高3块小正方体，由此可以求出拼组后的大长方体中的小正方体的块数，再减去图中已有的小正方体块数块）即可。
拼组后的大正方体的每条棱长至少是由3块小正方体组成的，由此可以求出拼组后的大正方体中的小正方体的块数，再减去图中已有的小正方体块数即可。
【解答】解：
（块
（块
答：要堆成一个大长方体，至少还需要10个小正方体，要堆成一个大正方体，至少还需要19个小正方体。
【点评】此题主要考查了学生通过观察立体图形解决问题的能力，关键是根据已知图形确定出拼组后大图形的尺寸。
19．如图中的立体图形是由棱长为1厘米的小正方体组成的．还需要多少个小正方体才能使它成为一个高3厘米，长5厘米．宽5厘米的长方体？（写出计算过程）
【分析】通过观察图形，下层有25个小正方体，中间一层有9个小正方体，上面一层有3个小正方体，即原来共有个，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出这个长方体的体积是多少立方厘米，然后用这个长方体的体积减去原来小正方体的个数即可．
【解答】解：（个
（个
答：还需要38个小正方体才能使它成为一个高3厘米，长5厘米．宽5厘米的长方体．
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
20．欢欢拿来100个小正方体搭积木，搭出下图后，现在他还剩多少个小正方体？
【分析】根据题目所给图示可知，第一行有2个小正方体，往下每一行比上一行多2个小正方体，第九行有18个小正方体；要求搭完九行之后还剩下多少个小正方体，需要用小正方体的总个数减去搭积木用去的小正方体个数；由上步分析可列出算式，运用连减的性质和加法运算定律进行简便计算得出结果即可。
【解答】解：
（个
答：现在他还剩10个小正方体。
【点评】本题主要考查几何图形的计数，关键数出欢欢用的正方体个数。
21．1个角
3个角
6个角
10个角
那么从一个顶点引出的条射线能组成多少个角？
【分析】观察题干可知，角的总个数与这点引发射线组成的子角的个数有关：当从一点引发条射线时，子角的个数就是个，则一共有个角，据此即可解答．
【解答】解：根据题干分析可得：从一个顶点引出的条射线能组成个子角，所以组成的角的总个数为：
（个，
答：从一个顶点引出的条射线能组成个角．
【点评】考查了数角的个数，要有总结规律的能力或公式应用的能力．
22．仔细观察按规律摆放的积木，再完成填空．
（1）请在下表的空格里填写合适的数．
（2）下面是对上面积木摆放规律的说明．请在横线上填上正确的数或算式．
每增加一个阶段，就会增加 5 块积木，所以假设阶段的积木块数为，用算式表示和之间的关系是 ．
（3）如果像这样摆放积木，一共用了126块积木，摆到了第 个阶段．
【分析】根据图示，第1阶段积木的块数：6块；第2阶段积木的块数：（块；第3阶段积木的块数：（块；：第阶段积木的块数：块．
（1）根据上面的规律计数并完成填表．
（2）根据图示发现规律，完成填空．
（3）根据公式，计算126块积木是第几阶段．
【解答】解：第1阶段积木的块数：6块
第2阶段积木的块数：（块
第3阶段积木的块数：（块
第阶段积木的块数：块
（1）（块
填表如下：
（2）每增加一个阶段，就会增加5块积木，所以假设阶段的积木块数为，用算式表示和之间的关系是．
（3）
答：如果像这样摆放积木，一共用了126块积木，摆到了第25个阶段．
故答案为：5，；25．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．第几个阶段
1
2
3
4
8
积木的块数
6
11
16
21
第几个阶段
1
2
3
4
8
积木的块数
6
11
16
21
41